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在解某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象依照一定的标准分成若干类,然后逐类加以讨论,最终才能得出正确的解答,这种方法称为分类讨论法.它既是一种逻辑方法，也是数学中的一种重要思想方法和解题的策略.这一思想方法的运用已成为近年来中考的一大热点.以下就2010年中考中函数部分几种分类讨论加以剖析．
一、 根据函数的性质分类
例1（2010四川乐山） 已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4，则kb的值为（）
A. 12 B. －6
C. －6或－12 D. 6或12
分析本题需要考虑k＞0和k＜0两种情况，若k＞0时，函数图象y随x的值增大而增大，所以将x=0y=-2，x=2y=4代入到一次函数y＝kx+b中,得出k和b的值.
若k＜0时，函数图象y随x的值增大而减小，所以将x=0y=４，x=2y=－２代入到一次函数y＝kx+b中，得出k和b的值.
答案: C．
点评本题应该考虑到一次函数的增减性，分k＞0和k＜0两种情况进行讨论.
二、 根据函数的类型分类
例2（2010黑龙江）函数与y=ax2+（3-a）x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标．
分析当a=0时，此函数就是一次函数，y=3x+1，与x轴只有一个交点,符合题意．
当a≠0时.此函数为二次函数，若与x轴只有一次交点，b2-4ac=0则易求出a的值．
答案：a=0交点坐标为（-，０）或a=1时交点坐标为（-1，0）、a=9时交点坐标为（，０）．
点评在解决这种类型的函数题时,要判断a是否可以为0，即函数是否有必要分为一次函数和二次函数两种情况分别进行讨论．
三、 根据函数图象的特征分类
例3（2010吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）.
（1） 求直线AB的解析式；
（2） 求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
（3） 过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析第（3）题中 ，设P点的纵坐标为yp，分p点在x轴上方和x轴下方两种情况时，根据S△PAG=S△PEH可以分别求出yp．
答案：（1）（2）略.（3）当p点在x轴上方时P点坐标为（-1+，２）、（-1－，２），当p点在x轴下方时点P不存在．
点评根据函数的图像特征分为x轴上方和下方两种情况分别进行讨论,这样得出的结果才能全面、准确．
四、 根据函数图象与几何图形的关系分类
例4（2010江苏常州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx＋３的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（－，０），且△AOB∽△BOC．
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3 的关系式.
（2） 在线段AC上是否存在点M（m，０）.使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
分析第（2）题中要使点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形,则分PC=PO、CO=CP、OP=OC三种情况运用三角形相似求出m的值．
答案:（1）略（2）m=或-1．
点评在函数图象中进行几何图形的分类讨论是中考压轴题最常用的一种题型．分类时要注意不重复、不遗漏，并要符合函数图象的特征要求．
五、 根据运动题型的函数变化范围分类
例5（2010江苏扬州）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1） 求线段AD的长；
（2） 若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
① 求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
② 当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3） 若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），點E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
分析第（2）题①中当E在线段AD上即0＜x≤时，由EF∥CD可得△AEF∽△ADC.当E在线段BD上即＜x≤5时易得△BEF∽△BDC，从而分别得出y与x的函数关系式.
答案: （1）略（2）①当0＜x≤时y=•x•x=x2.当＜x≤5时y=-x2+x≤.
点评解运动型题目时一定要观察运动的整个过程,得出相应的函数取值范围再一一解答．
六、 根据函数应用题的题意分类
例（2010江苏常州）向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰，其单价为：玫瑰4元/株，百合5元/株.如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200株，那么每株玫瑰可以降价1元，某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000株～1500株，百合若干株，此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000元.然后再以玫瑰5元，百合6.3元的价格卖出.问：此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得毛利润最大？
（注：1000株～1500株，表示大于或等于1000株，且小于或等于1500株，毛利润=鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额-购进百合和玫瑰的所需的总金额.）
分析设采购玫瑰x株,百合y株,并将玫瑰采购株数分为1000≤x≤1200和1200＜x≤1500两种情况，依据题意得出函数关系式，从而求出毛利润的最大值．
答案:采购玫瑰1500株，百合900株时毛利润最大，为4350元．
点评解函数应用型综合题时应根据题目实际意义合理确定相关范围,再列出函数关系式．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 根据函数的性质分类
例1（2010四川乐山） 已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4，则kb的值为（）
A. 12 B. －6
C. －6或－12 D. 6或12
分析本题需要考虑k＞0和k＜0两种情况，若k＞0时，函数图象y随x的值增大而增大，所以将x=0y=-2，x=2y=4代入到一次函数y＝kx+b中,得出k和b的值.
若k＜0时，函数图象y随x的值增大而减小，所以将x=0y=４，x=2y=－２代入到一次函数y＝kx+b中，得出k和b的值.
答案: C．
点评本题应该考虑到一次函数的增减性，分k＞0和k＜0两种情况进行讨论.
二、 根据函数的类型分类
例2（2010黑龙江）函数与y=ax2+（3-a）x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标．
分析当a=0时，此函数就是一次函数，y=3x+1，与x轴只有一个交点,符合题意．
当a≠0时.此函数为二次函数，若与x轴只有一次交点，b2-4ac=0则易求出a的值．
答案：a=0交点坐标为（-，０）或a=1时交点坐标为（-1，0）、a=9时交点坐标为（，０）．
点评在解决这种类型的函数题时,要判断a是否可以为0，即函数是否有必要分为一次函数和二次函数两种情况分别进行讨论．
三、 根据函数图象的特征分类
例3（2010吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O（0，0），B（0，3），D（-2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）.
（1） 求直线AB的解析式；
（2） 求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
（3） 过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析第（3）题中 ，设P点的纵坐标为yp，分p点在x轴上方和x轴下方两种情况时，根据S△PAG=S△PEH可以分别求出yp．
答案：（1）（2）略.（3）当p点在x轴上方时P点坐标为（-1+，２）、（-1－，２），当p点在x轴下方时点P不存在．
点评根据函数的图像特征分为x轴上方和下方两种情况分别进行讨论,这样得出的结果才能全面、准确．
四、 根据函数图象与几何图形的关系分类
例4（2010江苏常州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx＋３的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（－，０），且△AOB∽△BOC．
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3 的关系式.
（2） 在线段AC上是否存在点M（m，０）.使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
分析第（2）题中要使点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形,则分PC=PO、CO=CP、OP=OC三种情况运用三角形相似求出m的值．
答案:（1）略（2）m=或-1．
点评在函数图象中进行几何图形的分类讨论是中考压轴题最常用的一种题型．分类时要注意不重复、不遗漏，并要符合函数图象的特征要求．
五、 根据运动题型的函数变化范围分类
例5（2010江苏扬州）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1） 求线段AD的长；
（2） 若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
① 求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
② 当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3） 若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），點E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
分析第（2）题①中当E在线段AD上即0＜x≤时，由EF∥CD可得△AEF∽△ADC.当E在线段BD上即＜x≤5时易得△BEF∽△BDC，从而分别得出y与x的函数关系式.
答案: （1）略（2）①当0＜x≤时y=•x•x=x2.当＜x≤5时y=-x2+x≤.
点评解运动型题目时一定要观察运动的整个过程,得出相应的函数取值范围再一一解答．
六、 根据函数应用题的题意分类
例（2010江苏常州）向阳花卉基地出售两种花卉——百合和玫瑰，其单价为：玫瑰4元/株，百合5元/株.如果同一客户所购的玫瑰数量大于1200株，那么每株玫瑰可以降价1元，某鲜花店向向阳花卉基地采购玫瑰1000株～1500株，百合若干株，此鲜花店本次用于采购玫瑰和百合恰好花去了9000元.然后再以玫瑰5元，百合6.3元的价格卖出.问：此鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得毛利润最大？
（注：1000株～1500株，表示大于或等于1000株，且小于或等于1500株，毛利润=鲜花店卖出百合和玫瑰所获的总金额-购进百合和玫瑰的所需的总金额.）
分析设采购玫瑰x株,百合y株,并将玫瑰采购株数分为1000≤x≤1200和1200＜x≤1500两种情况，依据题意得出函数关系式，从而求出毛利润的最大值．
答案:采购玫瑰1500株，百合900株时毛利润最大，为4350元．
点评解函数应用型综合题时应根据题目实际意义合理确定相关范围,再列出函数关系式．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文