课本习题中的小秘密

• 作 者: 卓雅
• 出 处: 中学教学参考·语英版
• 发表日期: 2013年3期
• 关键词: 课本习题 直线方程 秘密 苏教版

　　苏教版必修二课本第77页有这样一道习题：已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过定点A（1，2），求过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程.本题的解法是：因为两直线都过A（1，2），所以a1+2b1+1=0，a2+2b2+1=0.由于（a1，b1）和（a2，b2）均适合方程x+2y+1=0，所以所求直线方程为x+2y+1=0.这种求直线方程的方法不同于我们求直线方程的常规方法，它是从一个式子中抽象出一个直线方程，从而得到某个点在该直线上.当从两个式子中抽象出来的直线方程相同时，就可以得到某两个点在同一条直线上.由于两点确定一条直线，所以该直线就是经过这两个点的直线.那么如何由一个式子抽象出直线方程来呢？其实只需将所给式子中的某两个数换成x，y即可.举个例子：从2×7-3×4-2=0中可以抽象出很多直线方程，如直线2x-3y-2=0，并可以得到点（7，4）在该直线上；再如还可以抽象出直线2x-4y-2=0，并得到点（7，3）在该直线上.对于上面习题中的a1+2b1+1=0，我们其实还可以抽象出很多直线方程.如直线x+b1y+1=0，且可知点（a1，2）在该直线上.当从两个式子中抽象出同一条直线方程时，这两个式子必然有着相同的形式.我们只需保留两个式子中的相同元素并用x，y替换掉不同的元素，就可以得到同一个直线方程了.利用这种思想来求直线方程是一种新的方法，我们不妨把它称为“抽象法”.下面我们就来看看抽象法的应用.
　　苏教版必修二课本第105页习题第7题：已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点M（x0，y0）的切线方程是x0x+y0y=r2.证明如下：因为M（x0，y0）是圆C上的点，所以x20+y20=r2，（根据上面抽象直线方程的方法）由此可得M（x0，y0）在直线l：x0x+y0y=r2上，又因为圆心（0，0）到l的距离d=|r2|x20+y20=r2r=r，所以直线l与圆C相切，因此x0x+y0y=r2就是过M（x0，y0）且与圆C相切的直线方程.
　　利用结论：“过圆C：x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2”及求直线方程的抽象法我们来解决下面的问题.
　　已知圆C：x2+y2=4，过圆C外一点P（3，4）作圆的两条切线PA、PB，切点为A、B，求AB所在直线方程.解法如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为x1x+y1y=4，直线PB的方程为x2x+y2y=4，因为P（3，4）在两直线PA，PB上，所以有：3x1+4y1=4，3x2+4y2=4，由抽象法可得A（x1，y1）和B（x2，y2）都在直线3x+4y=4上，因此AB所在直线方程为3x+4y-4=0.用这种方法可以证明过圆C：x2+y2=r2外一点P（x0，y0）作圆的切线，则两个切点所在的直线方程为：x0x+y0y=r2.
　　苏教版必修二课本第106页习题第8题的第二问是：已知圆C：x2+y2=r2，直线l：ax+by=r2，当P（a，b）在圆外时，直线l具有什么特点？教参上的解答是：因为P（a，b）在圆外，所以，a2+b2>r2，又因为圆心到直线l的距离d=r2a2+b2　　由上面对课本习题的深刻研究可以看出教材习题的编写真是层层递进，只要我们回归课本深挖教材，一定会有不小的收获.
　　（责任编辑 黄桂坚）