论文部分内容阅读
摘 要：数学解题能力是衡量学生数学能力高低的一个重要指标，当前高考的能力立意命题也说明高中数学教学要更多的关注学生的数学能力。现就高中数学解题策略略谈一二。
一、数学思维的变通性——根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案.
（1）善于观察
例：若a，b，b>0，且<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image2.pdf>则<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image3.pdf>的最小值为（ ）
A.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image4.pdf>B.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image5.pdf>C.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image6.pdf>D.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image7.pdf>
分析：看到给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值，但变形过程受阻，得不到待求的结构.
点拨：由<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image8.pdf>且<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image2.pdf>得： <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image9.pdf>.
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image10.pdf>
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image111.pdf>
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image12.pdf>
∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image13.pdf>，则（<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image3.pdf>）≥<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image7.pdf>.
或者由<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image14.pdf>
得<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image15.pdf>.
又<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image8.pdf>，∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image16.pdf>当且仅当<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image17.pdf>时取等号.
∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image18.pdf>
解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系。
答案D
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系.要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.
（2）善于联想
例：已知函数[fx=x21+x2]，那么
[f1+f2+f12+f3+f13+f4+f14=]_____。
分析：由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和;但问题是，如果待求的和式较复杂怎么办？
点拨：联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image21.pdf>。
答案：<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image22.pdf>。
联想是问题转化的桥梁.稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的.因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.
（3）善于将问题进行转化
例：已知[a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca]的最小值为（）
A.[3]-[12] B.[12]-[3] C.-[12]-[3] D.[12]+[3]
分析：由于受给定条件的暗示，考生多第一感觉选择利用重要不等式求最值.
于是联想到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image26.pdf>，只能得到ab+bc+ca的最大值，似乎求最小值还需更进一步变形，结果走上不归路，求解失败。
点拨：再次研究给定的条件，发现由<E：＼123456＼速讀·上旬201602＼Image＼image28.pdf>可以得到a、b、c的值，即待求目标只能取有限个值，从其中挑选最大的得到最大值，挑选最小的得到最小值.
答案：B
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势.思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题.它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服. 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现.要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练.
二、数学思维的反思性――提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信
例：已知椭圆[x216+y29=1]的左、右焦点分别为[F1]、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到[x]軸的距离为
（A）[95] （B）3（C）[977] （D）[94]
分析：学生一般会认为P为直角顶点，从而公式<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image35.pdf>，求解得到答案C;
点拨：通过选项分析，若直角顶点不确定，则应有多个值可选择，而答案没有提供多值选项，因此，直角顶点是确定的.从图形分析可知，必为焦点，因为有的椭圆并不存在张角为直角的点，于是得到正确答案半个通径.
答案：D
例：直线[l]：[y=kx+1]与双曲线C：[2x2-y2=1]的右支交于不同的两点A、B.求实数[k]的取值范围;
解析：将直线[l]的方程[y=kx+1]代入双曲线C的方程[2x2-y2=1]后，整理得：
[（k2-2）x2+2kx+2=0].
依题意，直线[l]与双曲线C的右支交于不同两点，注意到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image43.pdf>，应该利用根的分布求解.而我们多利用韦达定理求解.
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image44.pdf>，
解得[k]的取值范围为<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image45.pdf>.
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性.因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维.
三、数学思维的严密性――考察问题严格、准确，运算和推理精确无误
例：已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通项公式。
分析：对a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1认识不清，看不到本质，没法进行下去。
利用条件an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1①，
得到an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2②，
两式相减得到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image46.pdf>，即<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image47.pdf>③ ，
再由迭乘法
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image48.pdf>，
于是<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image49.pdf>.
点拨：数列是一类特殊的函数，研究数列也应有定义域优先意识，利用给定的条件
an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1 ①，得到an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2 ②，它们都是有条件的，并不是对所有的正自然数都成立的.对数列而言，一般要考虑小项数从1开始，因此①、②、③的成立条件分别是n≥2、n≥3、n≥3.忽视对项数的限制，必然得到错误的结果。
答案 <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image50.pdf>.
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误.数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 ：概念是数学理论体系中十分重要的组成部分.它是构成判断、推理的要素.因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础.概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误.
判断错误 ：判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式.数学中的判断通常称为命题.在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误.例如，“函数[y=（13）-x]是一个减函数”就是一个错误判断。
推理错误：推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式.它是判断和判断的联合.任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密.
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的.通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
参考文献：
[1]数学家G . 波利亚在《怎样解题》
[2]波利亚的《怎样解题》
一、数学思维的变通性——根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案.
（1）善于观察
例：若a，b，b>0，且<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image2.pdf>则<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image3.pdf>的最小值为（ ）
A.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image4.pdf>B.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image5.pdf>C.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image6.pdf>D.<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image7.pdf>
分析：看到给定的条件，感觉应该使用均值不等式求最小值，但变形过程受阻，得不到待求的结构.
点拨：由<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image8.pdf>且<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image2.pdf>得： <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image9.pdf>.
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image10.pdf>
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image111.pdf>
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image12.pdf>
∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image13.pdf>，则（<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image3.pdf>）≥<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image7.pdf>.
或者由<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image14.pdf>
得<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image15.pdf>.
又<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image8.pdf>，∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image16.pdf>当且仅当<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image17.pdf>时取等号.
∴ <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image18.pdf>
解题的关键是发现已知条件和待证结论的变形的具体方向，发现两者之间的关系。
答案D
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系.要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.
（2）善于联想
例：已知函数[fx=x21+x2]，那么
[f1+f2+f12+f3+f13+f4+f14=]_____。
分析：由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和;但问题是，如果待求的和式较复杂怎么办？
点拨：联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image21.pdf>。
答案：<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image22.pdf>。
联想是问题转化的桥梁.稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的.因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入.
（3）善于将问题进行转化
例：已知[a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca]的最小值为（）
A.[3]-[12] B.[12]-[3] C.-[12]-[3] D.[12]+[3]
分析：由于受给定条件的暗示，考生多第一感觉选择利用重要不等式求最值.
于是联想到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image26.pdf>，只能得到ab+bc+ca的最大值，似乎求最小值还需更进一步变形，结果走上不归路，求解失败。
点拨：再次研究给定的条件，发现由<E：＼123456＼速讀·上旬201602＼Image＼image28.pdf>可以得到a、b、c的值，即待求目标只能取有限个值，从其中挑选最大的得到最大值，挑选最小的得到最小值.
答案：B
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势.思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题.它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服. 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现.要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练.
二、数学思维的反思性――提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信
例：已知椭圆[x216+y29=1]的左、右焦点分别为[F1]、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到[x]軸的距离为
（A）[95] （B）3（C）[977] （D）[94]
分析：学生一般会认为P为直角顶点，从而公式<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image35.pdf>，求解得到答案C;
点拨：通过选项分析，若直角顶点不确定，则应有多个值可选择，而答案没有提供多值选项，因此，直角顶点是确定的.从图形分析可知，必为焦点，因为有的椭圆并不存在张角为直角的点，于是得到正确答案半个通径.
答案：D
例：直线[l]：[y=kx+1]与双曲线C：[2x2-y2=1]的右支交于不同的两点A、B.求实数[k]的取值范围;
解析：将直线[l]的方程[y=kx+1]代入双曲线C的方程[2x2-y2=1]后，整理得：
[（k2-2）x2+2kx+2=0].
依题意，直线[l]与双曲线C的右支交于不同两点，注意到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image43.pdf>，应该利用根的分布求解.而我们多利用韦达定理求解.
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image44.pdf>，
解得[k]的取值范围为<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image45.pdf>.
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思性.因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维.
三、数学思维的严密性――考察问题严格、准确，运算和推理精确无误
例：已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通项公式。
分析：对a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1认识不清，看不到本质，没法进行下去。
利用条件an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1①，
得到an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2②，
两式相减得到<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image46.pdf>，即<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image47.pdf>③ ，
再由迭乘法
<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image48.pdf>，
于是<E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image49.pdf>.
点拨：数列是一类特殊的函数，研究数列也应有定义域优先意识，利用给定的条件
an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1 ①，得到an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2 ②，它们都是有条件的，并不是对所有的正自然数都成立的.对数列而言，一般要考虑小项数从1开始，因此①、②、③的成立条件分别是n≥2、n≥3、n≥3.忽视对项数的限制，必然得到错误的结果。
答案 <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image50.pdf>.
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误.数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 ：概念是数学理论体系中十分重要的组成部分.它是构成判断、推理的要素.因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础.概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误.
判断错误 ：判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式.数学中的判断通常称为命题.在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误.例如，“函数[y=（13）-x]是一个减函数”就是一个错误判断。
推理错误：推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式.它是判断和判断的联合.任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密.
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的.通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
参考文献：
[1]数学家G . 波利亚在《怎样解题》
[2]波利亚的《怎样解题》