论文部分内容阅读
摘要：教师要在概念教学、解题思维训练、“反思整理课”、写数学日记、“作业三部曲”等实践教学中，培养学生不断进行反思的习惯，做到举一反三，触类旁通，提高学习数学的效率。
关键词：数学；教学实践；学生反思
作者简介：梁惠华（1969-），女，河南商丘人，上海龙茗中学，高级教师。（上海 201102）
中图分类号：G642.42 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）11-0135-02
在教学实践中，笔者发现，很多学生解了很多题，陷在题山书海中，而解题能力却未见提高。也会遇到这样的情况，学生听明白了，但是很快就遗忘了，特别是基础薄弱的学生，遗忘性更快。如何引导学生摆脱这种困境，提高学生解决数学问题的能力，不断提高学生的数学素养，笔者认为：教师要在教学实践中培养学生不断进行反思的习惯，做到举一反三，触类旁通。有了反思，就会既见树木，又见森林，有了反思，才能避免陷入重复性和盲目性，才能提高效率。
一、在概念教学中培养反思习惯
学生对概念学习普遍感到困难。一方面，数学概念是数学知识之本，解题之源，理解掌握概念的过程是学生提高学习能力的重要途径，所以学好数学概念极为重要。[1]但同时数学概念具有高度的抽象性，如何根据学生的智力水平，使学生轻松愉快地理解、掌握并能很好地运用数学概念呢？笔者的做法如下。
1.注意概念的生成
不仅要重视结论的证明和应用，重视探索发现的过程，要让学生沿着“再发现”的道路去探索和发现规律，不断反思，形成概念。在“有理数的乘方”一节的设计中，笔者建议用“爱心金字塔”工程来帮助那些贫困的孩子。让我们从力所能及的2元钱做起，从我做起：第一年我捐款2元，第二年我和李老师各捐款2元，第三年我们两个各带动一个朋友各捐款2元，第四年我们四个人再分别带动一个朋友各捐款2元……以此类推，请你研究一下，第十年我们的“爱心金子塔”工程能向贫困山区捐款多少元？第二十年呢？请你列出算式。学生列出算式：第一年：2元；第二年2×2元；第三年2×2×2元；第四年2×2×2×2元；第五年2×2×2×2×2元……第十年2×2×2×2×2…2元（共10个2相乘），第二十年呢？并与学生共同反思：列算式的难度在哪里？计算的难度在哪里？这些算式的规律是什么？算式很长，计算起来很繁，能否用简洁的方法来表示？从繁到简，以简驭繁。让学生体会到，学习有理数乘方后，相同因数的成绩的运算用乘方来表示，看上去更加简明，计算的结果用幂表示，使运算更加的简洁，这就是数学的魅力所在，提高学习数学的兴趣。
2.注重对概念分析，引导学生反思
（1）怎样用自己的语言来叙述概念？概念的关键词是哪几个？（2）为什么要引入这个概念？（3）我能举几个符合概念的例子吗？（4）这个概念的本质是什么？（5）我能举几个不符合概念的例子吗？（6）这个概念和以前学过的哪些概念有关系？有什么样的关系？（7）有哪些事项需要注意？例如对“二次函数”定义的理解，可提出以下问题：研究对象是什么？研究对象之间有什么关系？有了上述对应关系后，Y和X间的这种关系叫做什么关系？这个概念和以前学过的哪些概念有关系？有什么区别?经过反思，深化了学生对初中函数定义的理解，并在头脑中形成较完整的概念。
二、解题思维训练中及时反思
著名数学家波利亚在《怎样解题》中把数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。[2]解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段。通过反思，有利于学生深层次的建构。
1.解题过程中反思
教学中在情感的基础上激发学生反思的热情，着力营造一个促进学生反思的学习氛围，以激发学生的反思动机。在教学中经常问学生“你还有其他解法吗？”、“你的想法与别人的有什么不同？”、“这种方法好在哪里？”“为什么没有做出来？”“想到哪个环节了？”“要解决的关键点是什么？”等。这样的提问，有助于诱发学生反思和优化自己的思考过程。有时学生通过解题方法的交流，体会不同的思路，自己和别人解题方法的优劣，从中受到启发，获得启迪，寻找到解决问题的最佳方案。教学反馈理论告诉我们，反馈交流是实现“智慧共享 ”，一方面要让学生暴露思维过程，另一方面要努力培养学生认真倾听和善于反思的习惯。
2.题目的延伸中反思
改变题目的条件会导出什么新结论，保留题目的条件，结论能否进一步加强，条件做类似变换，结论能扩大到一般，等，像这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。学习勾股定理后，笔者设计了这样一个题目：请大家想一想：如何求边长为2的等边三角形的面积？如何求边长为5的等边三角形面积……如果等边三角形的边长为a，那么面积S又是多少？通过研究你又发现了什么？如果把上述的等边三角形变为有一个角是30°的直角三角形，你能研究出直角边与直角边的比值分别是多少吗？这两个比值与三角形的大小有关系吗？两条直角边与斜边的比值呢？在探究和孕伏中，为初三的锐角三角比打下基础。
3.在解题过程中，培养思维自我监控习惯
解题的过程中难免发生一些错误，及时纠正错误是获得成功的宝贵经验。因此，在解题过程中，要加强思维自我监控习惯的培养。就是指对自身所从事的解题活动应有清醒的自我意识。[3]例如：（1）我选择的是怎样一条解题途径？（2）为什么作出这样的选择？（3）现在已进行到哪个阶段？（4）这一步的实施在整个解题过程中占有怎样的地位？（5）目前所面临的主要困难是什么？（6）解题的前景如何？（7）是否全面了解题意？（8）是否按照题目的要求解答？答题的表达是否清楚？计算的结果是否合理?
4.解题后，引导学生及时总结反思
归纳总结，是解题的最后一步，也是提高解题能力的关键一步。答案出来了，并不意味解题过程的结束。除了深刻理解题意并知道自己的解法为什么是正确的或者是错误的，还应考虑是否能用不同的方式去解决？当一个解法比较复杂时，是否存在更简洁明了的解法？即使已经得到一个漂亮的解法，也应考虑，“还有别的解法吗？”然后对不同的解法加以比较，哪个更本质？哪个更简单？哪个更完美?
例如图1，已知⊿ABC中，AB=AC，P是BC边上一点，
PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，求证：PE+PF=CD.
引导学生：
（1）作PM⊥CD（截长）；
（2）作CN⊥PE（补短）；
（3）联接AP（面积法）；
（4）若点P在BC的延长线上，结论如何变化？
解题后，横向、纵向分析比较，提炼一般解法，体会简洁，领悟数学思想方法。
5.建立反思记录本
要求学生建立反思记录本，是养成良好反思习惯的有效途径。
（1）记录本节课的疑难问题。学生回顾反思本节课的知识点和解题方法或学习方法、容易解错的习题、教师讲之前不会做的习题，学习失败的教训等记录下来进行研究。由于学生的认知能力不强，缺乏自我评价意识和能力，他们做完作业往往不检查，不善于寻找和纠正自己的错误，因此，在解题过程中易出错，所以教师督促学生记录下来，找出错的原因，就会培养学生自我评价意识和能力，从而提高学习效率。
（2）典型误解题分析。在这个环节上要求比较细致。首先，先把做错的解答原封不动地抄下来，用彩笔标出错的地方。看到出现过的问题，随时翻看课本里面相应的内容，并记录一边。其次，再认真做一遍，把正确的解答写在自己所犯错误的下面。并尝试用不同的方法去解决，举一反三。弄清思路是如何打通的。最后，归纳出错误的类型和失败的原因，总结规律。反思是一种学习方式，也是一种习惯和意识，不断地反思，促使不断进步。经过两个月的训练，很多学生都建立了经典习题档案。归纳反思能力有了很大提高。
三、反思整理课，互相反思交流
反思整理课的基本程序如下。
（1）教师提出问题：如，如何添加辅助线证明三角形全等？有哪几种基本方法？课本中的基本图形有哪些？本周感到最困难的题目？出错最多的知识点？找出解法相似的题目？等等。
（2）学生分组讨论，每个小组按好、中、差搭配，每个小组的侧重点不同。
（3）小组代表将讨论结果展示，讲给全班听。学生在反思过程中，如果得到提示或与他人合作进行，就会加深理解，在教学过程中，教师多创造让学生相互交流、讨论的机会（一般采用同桌和四人小组合作学习），营造探求反思的交流氛围，通过讨论、交流，学生可以发现自己数学学习上的优点和缺点，正确地看待自己的进步状况，使学生在交流中学会反思，让交流得以升值。在反思整理课上，经常让学生互校，让他们在互相督促、互相竞争、互帮互助的气氛下感受到解题的无穷乐趣。
四、提倡写数学日记，在数学日记中学会反思
培养反思习惯的措施是全方位、多角度、多层次的。笔者近期正在尝试让学生写反思日记。像课堂上例题解答，学生在反思解题过程中自己想到，但未与教师交流的问题；作业中对某些不同解法的探讨、体验的感受，以及自我评价，学习习惯、合作意识等，都可以通过反思日记的形式表达。实践证明，反思日记能在师生之间搭桥铺路，让教师及时了解学生的学习情况、情感态度及困惑，便于采取针对性的措施加以解决，使师生的情感更加融洽。同时，写反思日记也可以培养学生的反思能力。不仅仅提倡、鼓励学生写，还要定期检查，好的表扬，不足的给予指导帮助，以便提高日记的质量。
五、倡导作业“三部曲”，让反思成为自觉行动
在教学实践中，笔者发现就题论题，缺少对题目的深入思考，学生不清楚如何改进自己的数学学习，因而致使学习很努力，效果却不理想。因此，笔者开始实践对学生作业实行“三步曲”的要求：第一步，先写解题的思路，以及有哪些可能解决的途径？需要解决的关键问题？第二步，优选一种解法规范书写出来（中学数学解体研究）。第三步，解题后的回顾反思，包括解题用的方法，用到的知识点，改变题目的条件和结论又会如何？如何一题多变，一题多思，有没有其他的发现？体会？有没有创新？很多学生在刚开始时很不习惯，因为以前只要求做第二步，能坚持做下来的学生，其学习效果比较明显，数学思维能力得到提升。部分学习困难的学生，逐步在解题之前、解题之后评价反思的习惯中进步。
综上所述，教师在教学中要逐渐培养学生的反思习惯，走一走，停一停，让学生有时间、有机会对自己数学学习的思维过程加以反思，从中总结发现和解决问题的基本方法、技能技巧以及经验教训，让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，培养思维能力，提高数学素养。重视培养学生的反思习惯，不仅可以使学生牢固掌握数学知识，而且可以使学生获得数学学习的有效策略，为学生可持续发展奠定良好的基础。
参考文献：
[1]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海：上海科技教育出版社,2009.
[2]波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京：科学出版社1984.
[3]王林全.中学数学解题研究[M].北京：科学出版社,2009.
（责任编辑：苏宇嵬）
关键词：数学；教学实践；学生反思
作者简介：梁惠华（1969-），女，河南商丘人，上海龙茗中学，高级教师。（上海 201102）
中图分类号：G642.42 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）11-0135-02
在教学实践中，笔者发现，很多学生解了很多题，陷在题山书海中，而解题能力却未见提高。也会遇到这样的情况，学生听明白了，但是很快就遗忘了，特别是基础薄弱的学生，遗忘性更快。如何引导学生摆脱这种困境，提高学生解决数学问题的能力，不断提高学生的数学素养，笔者认为：教师要在教学实践中培养学生不断进行反思的习惯，做到举一反三，触类旁通。有了反思，就会既见树木，又见森林，有了反思，才能避免陷入重复性和盲目性，才能提高效率。
一、在概念教学中培养反思习惯
学生对概念学习普遍感到困难。一方面，数学概念是数学知识之本，解题之源，理解掌握概念的过程是学生提高学习能力的重要途径，所以学好数学概念极为重要。[1]但同时数学概念具有高度的抽象性，如何根据学生的智力水平，使学生轻松愉快地理解、掌握并能很好地运用数学概念呢？笔者的做法如下。
1.注意概念的生成
不仅要重视结论的证明和应用，重视探索发现的过程，要让学生沿着“再发现”的道路去探索和发现规律，不断反思，形成概念。在“有理数的乘方”一节的设计中，笔者建议用“爱心金字塔”工程来帮助那些贫困的孩子。让我们从力所能及的2元钱做起，从我做起：第一年我捐款2元，第二年我和李老师各捐款2元，第三年我们两个各带动一个朋友各捐款2元，第四年我们四个人再分别带动一个朋友各捐款2元……以此类推，请你研究一下，第十年我们的“爱心金子塔”工程能向贫困山区捐款多少元？第二十年呢？请你列出算式。学生列出算式：第一年：2元；第二年2×2元；第三年2×2×2元；第四年2×2×2×2元；第五年2×2×2×2×2元……第十年2×2×2×2×2…2元（共10个2相乘），第二十年呢？并与学生共同反思：列算式的难度在哪里？计算的难度在哪里？这些算式的规律是什么？算式很长，计算起来很繁，能否用简洁的方法来表示？从繁到简，以简驭繁。让学生体会到，学习有理数乘方后，相同因数的成绩的运算用乘方来表示，看上去更加简明，计算的结果用幂表示，使运算更加的简洁，这就是数学的魅力所在，提高学习数学的兴趣。
2.注重对概念分析，引导学生反思
（1）怎样用自己的语言来叙述概念？概念的关键词是哪几个？（2）为什么要引入这个概念？（3）我能举几个符合概念的例子吗？（4）这个概念的本质是什么？（5）我能举几个不符合概念的例子吗？（6）这个概念和以前学过的哪些概念有关系？有什么样的关系？（7）有哪些事项需要注意？例如对“二次函数”定义的理解，可提出以下问题：研究对象是什么？研究对象之间有什么关系？有了上述对应关系后，Y和X间的这种关系叫做什么关系？这个概念和以前学过的哪些概念有关系？有什么区别?经过反思，深化了学生对初中函数定义的理解，并在头脑中形成较完整的概念。
二、解题思维训练中及时反思
著名数学家波利亚在《怎样解题》中把数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾，其中“回顾”就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。[2]解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段。通过反思，有利于学生深层次的建构。
1.解题过程中反思
教学中在情感的基础上激发学生反思的热情，着力营造一个促进学生反思的学习氛围，以激发学生的反思动机。在教学中经常问学生“你还有其他解法吗？”、“你的想法与别人的有什么不同？”、“这种方法好在哪里？”“为什么没有做出来？”“想到哪个环节了？”“要解决的关键点是什么？”等。这样的提问，有助于诱发学生反思和优化自己的思考过程。有时学生通过解题方法的交流，体会不同的思路，自己和别人解题方法的优劣，从中受到启发，获得启迪，寻找到解决问题的最佳方案。教学反馈理论告诉我们，反馈交流是实现“智慧共享 ”，一方面要让学生暴露思维过程，另一方面要努力培养学生认真倾听和善于反思的习惯。
2.题目的延伸中反思
改变题目的条件会导出什么新结论，保留题目的条件，结论能否进一步加强，条件做类似变换，结论能扩大到一般，等，像这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。学习勾股定理后，笔者设计了这样一个题目：请大家想一想：如何求边长为2的等边三角形的面积？如何求边长为5的等边三角形面积……如果等边三角形的边长为a，那么面积S又是多少？通过研究你又发现了什么？如果把上述的等边三角形变为有一个角是30°的直角三角形，你能研究出直角边与直角边的比值分别是多少吗？这两个比值与三角形的大小有关系吗？两条直角边与斜边的比值呢？在探究和孕伏中，为初三的锐角三角比打下基础。
3.在解题过程中，培养思维自我监控习惯
解题的过程中难免发生一些错误，及时纠正错误是获得成功的宝贵经验。因此，在解题过程中，要加强思维自我监控习惯的培养。就是指对自身所从事的解题活动应有清醒的自我意识。[3]例如：（1）我选择的是怎样一条解题途径？（2）为什么作出这样的选择？（3）现在已进行到哪个阶段？（4）这一步的实施在整个解题过程中占有怎样的地位？（5）目前所面临的主要困难是什么？（6）解题的前景如何？（7）是否全面了解题意？（8）是否按照题目的要求解答？答题的表达是否清楚？计算的结果是否合理?
4.解题后，引导学生及时总结反思
归纳总结，是解题的最后一步，也是提高解题能力的关键一步。答案出来了，并不意味解题过程的结束。除了深刻理解题意并知道自己的解法为什么是正确的或者是错误的，还应考虑是否能用不同的方式去解决？当一个解法比较复杂时，是否存在更简洁明了的解法？即使已经得到一个漂亮的解法，也应考虑，“还有别的解法吗？”然后对不同的解法加以比较，哪个更本质？哪个更简单？哪个更完美?
例如图1，已知⊿ABC中，AB=AC，P是BC边上一点，
PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，求证：PE+PF=CD.
引导学生：
（1）作PM⊥CD（截长）；
（2）作CN⊥PE（补短）；
（3）联接AP（面积法）；
（4）若点P在BC的延长线上，结论如何变化？
解题后，横向、纵向分析比较，提炼一般解法，体会简洁，领悟数学思想方法。
5.建立反思记录本
要求学生建立反思记录本，是养成良好反思习惯的有效途径。
（1）记录本节课的疑难问题。学生回顾反思本节课的知识点和解题方法或学习方法、容易解错的习题、教师讲之前不会做的习题，学习失败的教训等记录下来进行研究。由于学生的认知能力不强，缺乏自我评价意识和能力，他们做完作业往往不检查，不善于寻找和纠正自己的错误，因此，在解题过程中易出错，所以教师督促学生记录下来，找出错的原因，就会培养学生自我评价意识和能力，从而提高学习效率。
（2）典型误解题分析。在这个环节上要求比较细致。首先，先把做错的解答原封不动地抄下来，用彩笔标出错的地方。看到出现过的问题，随时翻看课本里面相应的内容，并记录一边。其次，再认真做一遍，把正确的解答写在自己所犯错误的下面。并尝试用不同的方法去解决，举一反三。弄清思路是如何打通的。最后，归纳出错误的类型和失败的原因，总结规律。反思是一种学习方式，也是一种习惯和意识，不断地反思，促使不断进步。经过两个月的训练，很多学生都建立了经典习题档案。归纳反思能力有了很大提高。
三、反思整理课，互相反思交流
反思整理课的基本程序如下。
（1）教师提出问题：如，如何添加辅助线证明三角形全等？有哪几种基本方法？课本中的基本图形有哪些？本周感到最困难的题目？出错最多的知识点？找出解法相似的题目？等等。
（2）学生分组讨论，每个小组按好、中、差搭配，每个小组的侧重点不同。
（3）小组代表将讨论结果展示，讲给全班听。学生在反思过程中，如果得到提示或与他人合作进行，就会加深理解，在教学过程中，教师多创造让学生相互交流、讨论的机会（一般采用同桌和四人小组合作学习），营造探求反思的交流氛围，通过讨论、交流，学生可以发现自己数学学习上的优点和缺点，正确地看待自己的进步状况，使学生在交流中学会反思，让交流得以升值。在反思整理课上，经常让学生互校，让他们在互相督促、互相竞争、互帮互助的气氛下感受到解题的无穷乐趣。
四、提倡写数学日记，在数学日记中学会反思
培养反思习惯的措施是全方位、多角度、多层次的。笔者近期正在尝试让学生写反思日记。像课堂上例题解答，学生在反思解题过程中自己想到，但未与教师交流的问题；作业中对某些不同解法的探讨、体验的感受，以及自我评价，学习习惯、合作意识等，都可以通过反思日记的形式表达。实践证明，反思日记能在师生之间搭桥铺路，让教师及时了解学生的学习情况、情感态度及困惑，便于采取针对性的措施加以解决，使师生的情感更加融洽。同时，写反思日记也可以培养学生的反思能力。不仅仅提倡、鼓励学生写，还要定期检查，好的表扬，不足的给予指导帮助，以便提高日记的质量。
五、倡导作业“三部曲”，让反思成为自觉行动
在教学实践中，笔者发现就题论题，缺少对题目的深入思考，学生不清楚如何改进自己的数学学习，因而致使学习很努力，效果却不理想。因此，笔者开始实践对学生作业实行“三步曲”的要求：第一步，先写解题的思路，以及有哪些可能解决的途径？需要解决的关键问题？第二步，优选一种解法规范书写出来（中学数学解体研究）。第三步，解题后的回顾反思，包括解题用的方法，用到的知识点，改变题目的条件和结论又会如何？如何一题多变，一题多思，有没有其他的发现？体会？有没有创新？很多学生在刚开始时很不习惯，因为以前只要求做第二步，能坚持做下来的学生，其学习效果比较明显，数学思维能力得到提升。部分学习困难的学生，逐步在解题之前、解题之后评价反思的习惯中进步。
综上所述，教师在教学中要逐渐培养学生的反思习惯，走一走，停一停，让学生有时间、有机会对自己数学学习的思维过程加以反思，从中总结发现和解决问题的基本方法、技能技巧以及经验教训，让学生在反思中真正领悟数学的思想、方法，优化数学认知结构，培养思维能力，提高数学素养。重视培养学生的反思习惯，不仅可以使学生牢固掌握数学知识，而且可以使学生获得数学学习的有效策略，为学生可持续发展奠定良好的基础。
参考文献：
[1]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海：上海科技教育出版社,2009.
[2]波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京：科学出版社1984.
[3]王林全.中学数学解题研究[M].北京：科学出版社,2009.
（责任编辑：苏宇嵬）