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数学建模是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻画的数学符号、数学式子、程序或图形，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。它的灵魂是数学的运用，它就像阵阵微风，不断地将数学的种子吹撒在时间和空间的每一个角落，从而让数学之花处处绽放。那么课堂教学中，我们该怎样发挥教师的主导地位，帮助学生积极主动地“体会和理解数学与外部世界的联系”呢？
1 需要，体验建模的必要
2011年版《义务教育数学课程标准》指出：“课程内容要反映社会的需要”。是的，如果问题的情境是学生们生活中所熟知的，那么学生就会产生一种强烈的我需要了解这个知识的欲望。当学生的头脑激活了已有的生活经验，并使用积累的经验来解决数学问题时，发现不是件容易的事情，数学模型的建立变成了问题解决的必要条件。所以在《找规律》一课，我呈现了如下主题图进行教学。
老师提出：“记得吧，国庆节时，学校像上图一样，在大门口摆放了很多盆花？”同学们“记得！”的声音悦耳动听，老师接着问：“那按照从左到右的顺序排列，第10盆花是什么颜色？”一个学生答道：“蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花。第十盆是红花。”老师再问：“第100盆呢？”下面有了议论：“再这样数，太麻烦了吧？”学生们自我否定了较为低级的思维品质，（当然，这也是一种思维，尤其是在数量较少的情况下，反能体现这种思维的优越性。）一会儿，又一个学生举起了手：“我发现蓝花是单数盆，红花是双数盆，100是双数，所以第100盆是红花。”学生的建模有了雏形，套用单数、双数的解题策略，无论是第几盆花，都可判断盆花的颜色。
紧接着，老师出示图2：
“这个情形大家也熟悉吧？那请同学们应答：从左往右数，第100只灯笼是什么颜色？”显然，刚刚塑造的模型已经无法适用，现实的情境“引诱”着学生不得不思考更为普遍性的模型。
2 兴趣，维系建模的欲望
三十多年的从教经验告诉自己：数学教育教学的第一哲学命题是趣味，即对于小学生而言，趣味性是第一位的，所以，数学建模活动也可以籍学生感兴趣的事物去维系学生建模的欲望。怎样的知识学生感兴趣呢？按心理学家的研究发现，有两种：一种是好玩的知识，一种是有一定挑战性的知识。
以此为出发点，在《找规律》的教学中，学生作答下题时，如下图：
当学生说自己11岁，属龙，23岁、35岁……的人与自己属相相同后，我提出问题：“假如2012年出生的人属鼠，那么2100年出生的人属什么？”通过前文主题图的学习，学生们已经找出了周期问题的模型：“规律总数÷一个周期的量数=几个周期余几”，且“余数‘几’，就和这个周期中的‘几’相同”。依据解题模型，学生列出（2100-2012+1）÷12=7……5，可观察出周期的第5个生肖属龙后，我又出示一个问题：“事实上2012年出生的人属龙，那么2100年出生的人属什么？”针对前一个比较好玩的问题，后一个问题带有了一定的挑战性。
因为虽然解题的模型是一样的，但是对照模型，尽管除数的量都是12，即12生肖周期循环，可周期的顺序发生了变化，第一个问题中的周期顺序是“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。”第二个问题中的周期顺序是“龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔。”在学生还用同样的模型结构解题后，显然出现了矛盾，有了矛盾就有了争论，也正是知识挑战，带来了学生继续去构建完整模型的动力。经过一番常识错误到再出发，学生们兴奋地交流着发现：“虽然算式还是原来的算式，答案也是原来的答案，余数5对应的却不再是龙，而是猴。”周期问题的解题模型至此才算臻于完美。
3 时间，保障建模的形成
“教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦的任务要他去负担。”这是爱因斯坦的告诫。可是，为了一味追求所谓的教学有效性，现在的课堂流行快节奏，老师一张PPT接着一张PPT地展示，同时辅以大题量的练习，美名曰高密度。这样的课堂，学生只有紧张，只有惶恐，可谓苦不堪言。教育不是流水线，不能以单位时间里做题量的多寡来定性有效；教育必须是慢的艺术，如古人云：“慢工出细活。”
例如上文《找规律》的习题教学，正是因为我给了学生足够的时间去辨别“假如2012年出生的人属鼠，那么2100年出生的人属什么？”和“事实上2012年出生的人属龙，那么2100年出生的人属什么？”的同与不同，学生才能水到渠成地发现周期数量相同但是周期顺序不同，而顺序决定了余数的用处。也正是充裕时间的保障，学生才能又机会辨析自己模型是否健全，是否符合普遍性原理；当模型需要修正的时候，也只有充裕的时间，才能保障学生自己去再度探索，否则，只能走回老师强行灌输的老路。
4 对话，支持有效建模
2011年版《义务教育数学课程标准》阐述了这样的观点——“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立数学问题中数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”但是，学生求索模型的过程必定是曲折的，模型的构建也必定是从残缺到完善，所以老师需要不断地与学生以对话支持。
回到《找规律》主题图2的教学：
老师提问：“从左往右数，第100只灯笼是什么颜色？”
一学生：“单数可以是红灯笼，也可以是紫灯笼，这种方法不适合，但我可以知道红、紫、黄三种颜色的灯笼可以圈出成一组，并且一组一组地依次出现。”
这赢得了不少学生的赞成，我依势佯问：“如果第100只灯笼出现在第10组的第2，那是什么颜色？”
学生们欣喜若狂：“明白了，只要看第100灯笼出现在哪一组，排第几就好了。”学生们列出算式：100÷3=33……1，我追问：“借你們的话，第100灯笼出现在哪一组，排第几？”
学生自信满满地答道：“第34组，第1只，也就是红灯笼。”
我不依不饶：“从左往右数，第200只灯笼是什么颜色？”
学生们愈发得意了：“200÷3=66……2，第200只灯笼是第67组的第2只，也就是紫灯笼。”
“都是老师在提问，难道你们就没有什么问题？”我装出一脸的无奈。学生们笑了，一个抢着问：“从左往右数，第90只灯笼是什么颜色？”另一个抢着答：“90÷3=30，从左往右数，第90只灯笼出现在第30组的……”停顿了一下，“第30组的最后一个。”
又一个学生提出：“那我来问吧，你们根据余数发现了什么？”模型结构的重点就这样由学生提了出来。
……
恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏，而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”这句话道出了数学模型思想的核心，启迪着我们数学教师，帮助学生找寻到建模的支点，用数学模型的杠杆，享受数学知识带来的无穷魅力。
（作者单位：怀宁县独秀小学）
1 需要，体验建模的必要
2011年版《义务教育数学课程标准》指出：“课程内容要反映社会的需要”。是的，如果问题的情境是学生们生活中所熟知的，那么学生就会产生一种强烈的我需要了解这个知识的欲望。当学生的头脑激活了已有的生活经验，并使用积累的经验来解决数学问题时，发现不是件容易的事情，数学模型的建立变成了问题解决的必要条件。所以在《找规律》一课，我呈现了如下主题图进行教学。
老师提出：“记得吧，国庆节时，学校像上图一样，在大门口摆放了很多盆花？”同学们“记得！”的声音悦耳动听，老师接着问：“那按照从左到右的顺序排列，第10盆花是什么颜色？”一个学生答道：“蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花；蓝花，红花。第十盆是红花。”老师再问：“第100盆呢？”下面有了议论：“再这样数，太麻烦了吧？”学生们自我否定了较为低级的思维品质，（当然，这也是一种思维，尤其是在数量较少的情况下，反能体现这种思维的优越性。）一会儿，又一个学生举起了手：“我发现蓝花是单数盆，红花是双数盆，100是双数，所以第100盆是红花。”学生的建模有了雏形，套用单数、双数的解题策略，无论是第几盆花，都可判断盆花的颜色。
紧接着，老师出示图2：
“这个情形大家也熟悉吧？那请同学们应答：从左往右数，第100只灯笼是什么颜色？”显然，刚刚塑造的模型已经无法适用，现实的情境“引诱”着学生不得不思考更为普遍性的模型。
2 兴趣，维系建模的欲望
三十多年的从教经验告诉自己：数学教育教学的第一哲学命题是趣味，即对于小学生而言，趣味性是第一位的，所以，数学建模活动也可以籍学生感兴趣的事物去维系学生建模的欲望。怎样的知识学生感兴趣呢？按心理学家的研究发现，有两种：一种是好玩的知识，一种是有一定挑战性的知识。
以此为出发点，在《找规律》的教学中，学生作答下题时，如下图：
当学生说自己11岁，属龙，23岁、35岁……的人与自己属相相同后，我提出问题：“假如2012年出生的人属鼠，那么2100年出生的人属什么？”通过前文主题图的学习，学生们已经找出了周期问题的模型：“规律总数÷一个周期的量数=几个周期余几”，且“余数‘几’，就和这个周期中的‘几’相同”。依据解题模型，学生列出（2100-2012+1）÷12=7……5，可观察出周期的第5个生肖属龙后，我又出示一个问题：“事实上2012年出生的人属龙，那么2100年出生的人属什么？”针对前一个比较好玩的问题，后一个问题带有了一定的挑战性。
因为虽然解题的模型是一样的，但是对照模型，尽管除数的量都是12，即12生肖周期循环，可周期的顺序发生了变化，第一个问题中的周期顺序是“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。”第二个问题中的周期顺序是“龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔。”在学生还用同样的模型结构解题后，显然出现了矛盾，有了矛盾就有了争论，也正是知识挑战，带来了学生继续去构建完整模型的动力。经过一番常识错误到再出发，学生们兴奋地交流着发现：“虽然算式还是原来的算式，答案也是原来的答案，余数5对应的却不再是龙，而是猴。”周期问题的解题模型至此才算臻于完美。
3 时间，保障建模的形成
“教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦的任务要他去负担。”这是爱因斯坦的告诫。可是，为了一味追求所谓的教学有效性，现在的课堂流行快节奏，老师一张PPT接着一张PPT地展示，同时辅以大题量的练习，美名曰高密度。这样的课堂，学生只有紧张，只有惶恐，可谓苦不堪言。教育不是流水线，不能以单位时间里做题量的多寡来定性有效；教育必须是慢的艺术，如古人云：“慢工出细活。”
例如上文《找规律》的习题教学，正是因为我给了学生足够的时间去辨别“假如2012年出生的人属鼠，那么2100年出生的人属什么？”和“事实上2012年出生的人属龙，那么2100年出生的人属什么？”的同与不同，学生才能水到渠成地发现周期数量相同但是周期顺序不同，而顺序决定了余数的用处。也正是充裕时间的保障，学生才能又机会辨析自己模型是否健全，是否符合普遍性原理；当模型需要修正的时候，也只有充裕的时间，才能保障学生自己去再度探索，否则，只能走回老师强行灌输的老路。
4 对话，支持有效建模
2011年版《义务教育数学课程标准》阐述了这样的观点——“建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立数学问题中数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”但是，学生求索模型的过程必定是曲折的，模型的构建也必定是从残缺到完善，所以老师需要不断地与学生以对话支持。
回到《找规律》主题图2的教学：
老师提问：“从左往右数，第100只灯笼是什么颜色？”
一学生：“单数可以是红灯笼，也可以是紫灯笼，这种方法不适合，但我可以知道红、紫、黄三种颜色的灯笼可以圈出成一组，并且一组一组地依次出现。”
这赢得了不少学生的赞成，我依势佯问：“如果第100只灯笼出现在第10组的第2，那是什么颜色？”
学生们欣喜若狂：“明白了，只要看第100灯笼出现在哪一组，排第几就好了。”学生们列出算式：100÷3=33……1，我追问：“借你們的话，第100灯笼出现在哪一组，排第几？”
学生自信满满地答道：“第34组，第1只，也就是红灯笼。”
我不依不饶：“从左往右数，第200只灯笼是什么颜色？”
学生们愈发得意了：“200÷3=66……2，第200只灯笼是第67组的第2只，也就是紫灯笼。”
“都是老师在提问，难道你们就没有什么问题？”我装出一脸的无奈。学生们笑了，一个抢着问：“从左往右数，第90只灯笼是什么颜色？”另一个抢着答：“90÷3=30，从左往右数，第90只灯笼出现在第30组的……”停顿了一下，“第30组的最后一个。”
又一个学生提出：“那我来问吧，你们根据余数发现了什么？”模型结构的重点就这样由学生提了出来。
……
恩格斯曾说过：“由一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏，而是数学的杠杆，如果没有它，就不能走很远。”这句话道出了数学模型思想的核心，启迪着我们数学教师，帮助学生找寻到建模的支点，用数学模型的杠杆，享受数学知识带来的无穷魅力。
（作者单位：怀宁县独秀小学）