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一、主要知识结构图
复习这一部分内容,第一要熟悉各图形本身所涉及的知识,第二要理顺各个图形之间的联系,领会知识之间演变衍生的关系.请同学们仔细观察上面三个框内的图形,及时将图形语言转化成文字或符号语言,真正将所学知识串起来.
例如:看到线段,要想到线段是轴对称图形,垂直平分线是它的对称轴,垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;根据垂直平分线的性质作图,可得到一个等腰三角形,进而想到等腰三角形的性质“等边对等角”等.
要学会用“看到……,想到……”的叙述方式展开对基本内容的复习.
复习重点:1. 等腰三角形和平行四边形部分;2. 这一部分内容与全等三角形、相似三角形之间的联系.
复习难点:1.图形变换方法的掌握;2.转化思想在解决问题中的灵活运用.
下面用两个中考题进行分析,看一看考了哪些几何知识,以怎样的形式在考,我们如何正确解答.
例1(2009江苏省中考试题)如图1,已知EF是梯形ABCD的中位线,△DEF的面积为4cm2,则梯形ABCD的面积为cm2.
解析本题重点考查图形面积的转化.将△AED绕点E旋转180°得△EBD′,△EBD′与△EAD关于点E成中心对称,这时EF就转化为△DCD′的中位线,所以梯形ABCD的面积=△DCD′的面积.△DCD′的面积=4倍△DEF的面积=16,梯形ABCD的面积为16cm2 .
学习中要注重知识之间的互相联系,图形的旋转改变了图形的位置,将梯形ABCD的面积转化为△DCD′的面积,又将梯形ABCD的中位线EF转化为三角形的中位线.在学习中要能熟练地对某些图形进行简单的变换,反复领会 “转化”这一数学思想的作用.
例2(2009江苏省中考试题)如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由;
(2)当AB=DC时,求证:?荀AEFD是矩形.
解析读题是理解问题的关键.此题考查平行四边形的性质与判定,并要求用“中间等量”实施转换.
(1)AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,根据平行四边形的判定推出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,又因为已知四边形AEFD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,得出AD=BE,AD=FC,AD=EF, 所以AD=BE=FC=EF,即得AD=BC.
(2)已知“四边形AEFD是平行四边形”,所以可从判定矩形的两个方法入手:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形.自己提出必须要解决的问题:存在一个内角为90°吗?或AF=ED吗?
①当AB=DC时,推得△DEC是等腰三角形,因为FC=EF,根据“三线合一”推得DF⊥EC.所以平行四边形AEFD是矩形.
②因为AB=DE,AF=DC,再通过新的已知条件AB=DC,得DE=AF.所以平行四边形AEFD是矩形.通过以上分析可知:在复习的过程中应重视知识的理解和思想方法的积累,解决问题的过程中应学会分析法和综合法交替使用.
二、基本知识点的运用
例3图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是.
考点说明:理解折叠——只改变图形的位置不改变图形的大小.
解析图a:∠EFB=∠DEF=20°,∠EFC=160°;图b:∠EFB=20°,得∠GFC
=140°;图c:∠CFE=∠GFC -∠EFB=120°.
例4(2009宜昌市中考试题)已知,如图3, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB与线段CF、 AF分别相交于P、M.
(1)求证:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
考点说明:(1)掌握等腰三角形的性质——三线合一.
(2)理解轴对称性质——对称轴垂直平分对应点连成的线段.
(3)掌握垂直平分线性质——垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.
(4)掌握三角形外角的性质——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
解析(1)点D与点A关于点E对称,可知 CE垂直平分AD,所以CA=CD.
AF平分∠BAC,BC⊥AF,可得AF垂直平分BC,所以CA=BA.由等量代换得出 AB=CD.
(2)∵AF垂直平分BC,∴MB=MC,∴∠AMC
=∠AMB .
∵∠BAC=2∠MPC,∴∠CAD=∠MPC.
∵∠F=∠MPC-∠PMF,∠MCD=∠CDE-∠AMC,∴∠F=∠MCD.
在解决第(2)小题时要善于观察发现图形中相等的角.例如∠CMA=∠AMB
=∠PMF,∠CAD=∠BAD=∠MPC.
例5已知,如图4,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
考点说明:(1)掌握矩形判定定理—— ①有三个内角是直角的四边形是矩形;②有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(2)掌握正方形判定定理——有一组邻边相等的矩形是正方形.
解析∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC.
∵∠CAM+∠BAC=180°,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠DAE =90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴四边形ADCE为矩形.
换一种想法,如果能证明AE∥BC,则易证ADCE为平行四边形,这样也能证明四边形ADCE为矩形.思考一下:如何证明AE∥BC?
(2)四边形ADCE为矩形,只要有AD=DC,就能证得它是正方形.
如果AD=DC,得∠DAC=∠ACD=45°,所以△ABC应满足的条件为∠BAC
=90°.
第(2)小题的设问形式考查了探究问题时逆向思维活动的过程.
例6如图5,点A是∠MON边OM上一点,AE∥ON.
(1)在图中作∠MON的角平分线OB,交AE于点B(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)在(1)中,过点A画OB的垂线,垂足为点D,交ON于点C,连接CB,将图形补充完整,并证明四边形OABC是菱形.
考点说明:(1)会用尺规作图作角平分线;
(2)掌握菱形的判定:①对角线互相垂直的平行四边形为菱形;②对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
解析理解作图语句和准确使用作图工具是解决问题的关键.这类中考题不再是单纯考查几何作图,而是和几何证明有机结合在一起,试题既考查同学们的动手能力,也考查思维能力.对这类考题在复习中要引起重视.第(2)小题请同学们自己思考解决.
四、从中考题看试题出处
在复习中你是否经常会想一个个新颖、灵活的中考试题是从哪里来的?它们的原型在哪里?了解一些考题的来历,对自己的复习方向也会有积极的指引意义.
例6(2009潜江市中考试题)如图6所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:若AB=AC,请探究下列数量关系:(1)在图②中,BD与CE的数量关系是;
(2)在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
原题如图7,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,度量并比较AD与BE的大小.你能对所得结论说明理由吗?(苏科版八年级教材(上))
我们可以发现例6就是将课本习题经过精心设计得到的, 将“等边三角形”这个条件换成“等腰三角形”,静止的图形改成运动的图形.
说明:教材上的习题拓展变化后改编成考题,对这些问题我们有一种似曾相识的感觉.如果熟悉教材上习题的解法,就容易找到解题的“突破口”,这就需要同学们在复习的过程中善于思考,举一反三,明确这类问题的共同特征.
例7(2009广州市中考试题)如图8,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P.
(1)若AG=AE,证明:AF=AH;
(2)若∠FAH=45°,证明:AG+AE=FH;
(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积.
分析(1)四边形ABFE是矩形,可利用勾股定理直接计算AF=,同理AH=. ∵AG=AE,∴AF=AH.
(2)延长CB至M,使BM=DH,连接MA.
得△ADH≌△ABM,∴∠DAH=∠BAM,∴∠FAM=45°.
∵△AHF≌△AMF,∴FH=FM.
∴FH=BF+BM= AE +DH =AG+AE,即AG+AE=FH.
(3)设BF=x,BG=y,则GF=1-x-y. ∴ x2+y2=(1-x-y)2,∴ x+y-xy=.
矩形EPHD的面积=(1-x)(1-y)=1-(x+y)+xy=.
说明:(1)线段相等一般会考虑通过全等三角形来证明,这个问题也可以利用勾股定理通过计算来解决.另外这里的辅助线添加还可以采用旋转的方法,即将△ADH绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM,∵∠MBF=180°,所以M、B、F三点成一直线.
(2)证明AG+AE=FH,可以转化为求证HD+BF=FH.这时发现在一个新的背景下装进去的其实是一个已研究过的典型习题:如图(a),已知正方形ABCD,∠FAH=45°,求证: HD+BF=FH.现在我们所要做的是“旋转”或“截长补短”,就可解决线段和差问题.
(3)一些相关的几何计算题通常可利用勾股定理、相似性质列方程来解决,这道题借助方程和整体代入思想求出矩形EPHD的面积.
问题拓展(2009嵊州市中考试题)如图(b),在四边形ABDC中,∠B
+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
在复习知识的过程中要善于在现有的已知条件下通过变式拓展对问题进行深入的思考,在考试过程中要善于捕获新问题背景下所蕴含的基本题型,学会将陌生题转变成熟悉题或辨认出基本图形,从而迅速找到解题的“突破口”.
五、从中考题看试题走向
现在几何中的基本概念、三角形、四边形部分是必考内容,这一部分相关内容在各地的中考试卷中均占有一定的比例.比如在2009年江苏省初中数学考试卷中共出现了3小题2大题,占29分,既考基础题也考探究题.初三同学在复习这一部分内容时,除了牢固掌握几何基本概念、解常规题的一般方法外,还应多关注下面三个方面的题型变化.
(1)条件(结论)开放——探究题
例8如图8,已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF.
(1)添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,
求证:AB=DC.
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF
=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是命题,命题2是命题(选择“真”或“假”填入空格).
这是一个缺少“结论”的开放题,结论要自己先观察、猜测,然后再证明.一旦对问题方向判断出现失误,就容易将自己的思路引入歧途,所以要在认真分析各个条件后对问题作好判断.快速构建反例对做出正确的选择常常是十分有效的.
(2)动手动脑——操作题
例9将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
用平移、旋转、折叠等方法进行操作,只改变图形位置,图形的大小是不改变的.这样的操作有时就是构造全等图形的过程.学习中要突出对操作过程中所隐含的数学思想和方法的归纳,同时初三复习阶段要逐步将动手操作向头脑操作转变,在运动中体会探究问题的思维方法.
(3)图形变化——变式题
例10在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F,如图a.
(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系.若点P在DC的延长线上,如图b,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢(如图c)?请分别直接写出结论.
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.
这一题通过几个点位置的变化,由一种情形变化出另外一种情形,在改变的过程中可以体会到变的是外在的“形”,而不变的是内在的“法”,这个“法”就是思考问题的方法,解决问题的手法.
复习这一部分内容,第一要熟悉各图形本身所涉及的知识,第二要理顺各个图形之间的联系,领会知识之间演变衍生的关系.请同学们仔细观察上面三个框内的图形,及时将图形语言转化成文字或符号语言,真正将所学知识串起来.
例如:看到线段,要想到线段是轴对称图形,垂直平分线是它的对称轴,垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;根据垂直平分线的性质作图,可得到一个等腰三角形,进而想到等腰三角形的性质“等边对等角”等.
要学会用“看到……,想到……”的叙述方式展开对基本内容的复习.
复习重点:1. 等腰三角形和平行四边形部分;2. 这一部分内容与全等三角形、相似三角形之间的联系.
复习难点:1.图形变换方法的掌握;2.转化思想在解决问题中的灵活运用.
下面用两个中考题进行分析,看一看考了哪些几何知识,以怎样的形式在考,我们如何正确解答.
例1(2009江苏省中考试题)如图1,已知EF是梯形ABCD的中位线,△DEF的面积为4cm2,则梯形ABCD的面积为cm2.
解析本题重点考查图形面积的转化.将△AED绕点E旋转180°得△EBD′,△EBD′与△EAD关于点E成中心对称,这时EF就转化为△DCD′的中位线,所以梯形ABCD的面积=△DCD′的面积.△DCD′的面积=4倍△DEF的面积=16,梯形ABCD的面积为16cm2 .
学习中要注重知识之间的互相联系,图形的旋转改变了图形的位置,将梯形ABCD的面积转化为△DCD′的面积,又将梯形ABCD的中位线EF转化为三角形的中位线.在学习中要能熟练地对某些图形进行简单的变换,反复领会 “转化”这一数学思想的作用.
例2(2009江苏省中考试题)如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由;
(2)当AB=DC时,求证:?荀AEFD是矩形.
解析读题是理解问题的关键.此题考查平行四边形的性质与判定,并要求用“中间等量”实施转换.
(1)AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,根据平行四边形的判定推出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形,又因为已知四边形AEFD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,得出AD=BE,AD=FC,AD=EF, 所以AD=BE=FC=EF,即得AD=BC.
(2)已知“四边形AEFD是平行四边形”,所以可从判定矩形的两个方法入手:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形.自己提出必须要解决的问题:存在一个内角为90°吗?或AF=ED吗?
①当AB=DC时,推得△DEC是等腰三角形,因为FC=EF,根据“三线合一”推得DF⊥EC.所以平行四边形AEFD是矩形.
②因为AB=DE,AF=DC,再通过新的已知条件AB=DC,得DE=AF.所以平行四边形AEFD是矩形.通过以上分析可知:在复习的过程中应重视知识的理解和思想方法的积累,解决问题的过程中应学会分析法和综合法交替使用.
二、基本知识点的运用
例3图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是.
考点说明:理解折叠——只改变图形的位置不改变图形的大小.
解析图a:∠EFB=∠DEF=20°,∠EFC=160°;图b:∠EFB=20°,得∠GFC
=140°;图c:∠CFE=∠GFC -∠EFB=120°.
例4(2009宜昌市中考试题)已知,如图3, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB与线段CF、 AF分别相交于P、M.
(1)求证:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
考点说明:(1)掌握等腰三角形的性质——三线合一.
(2)理解轴对称性质——对称轴垂直平分对应点连成的线段.
(3)掌握垂直平分线性质——垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等.
(4)掌握三角形外角的性质——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
解析(1)点D与点A关于点E对称,可知 CE垂直平分AD,所以CA=CD.
AF平分∠BAC,BC⊥AF,可得AF垂直平分BC,所以CA=BA.由等量代换得出 AB=CD.
(2)∵AF垂直平分BC,∴MB=MC,∴∠AMC
=∠AMB .
∵∠BAC=2∠MPC,∴∠CAD=∠MPC.
∵∠F=∠MPC-∠PMF,∠MCD=∠CDE-∠AMC,∴∠F=∠MCD.
在解决第(2)小题时要善于观察发现图形中相等的角.例如∠CMA=∠AMB
=∠PMF,∠CAD=∠BAD=∠MPC.
例5已知,如图4,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
考点说明:(1)掌握矩形判定定理—— ①有三个内角是直角的四边形是矩形;②有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(2)掌握正方形判定定理——有一组邻边相等的矩形是正方形.
解析∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC.
∵∠CAM+∠BAC=180°,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠DAE =90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴四边形ADCE为矩形.
换一种想法,如果能证明AE∥BC,则易证ADCE为平行四边形,这样也能证明四边形ADCE为矩形.思考一下:如何证明AE∥BC?
(2)四边形ADCE为矩形,只要有AD=DC,就能证得它是正方形.
如果AD=DC,得∠DAC=∠ACD=45°,所以△ABC应满足的条件为∠BAC
=90°.
第(2)小题的设问形式考查了探究问题时逆向思维活动的过程.
例6如图5,点A是∠MON边OM上一点,AE∥ON.
(1)在图中作∠MON的角平分线OB,交AE于点B(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)在(1)中,过点A画OB的垂线,垂足为点D,交ON于点C,连接CB,将图形补充完整,并证明四边形OABC是菱形.
考点说明:(1)会用尺规作图作角平分线;
(2)掌握菱形的判定:①对角线互相垂直的平行四边形为菱形;②对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
解析理解作图语句和准确使用作图工具是解决问题的关键.这类中考题不再是单纯考查几何作图,而是和几何证明有机结合在一起,试题既考查同学们的动手能力,也考查思维能力.对这类考题在复习中要引起重视.第(2)小题请同学们自己思考解决.
四、从中考题看试题出处
在复习中你是否经常会想一个个新颖、灵活的中考试题是从哪里来的?它们的原型在哪里?了解一些考题的来历,对自己的复习方向也会有积极的指引意义.
例6(2009潜江市中考试题)如图6所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:若AB=AC,请探究下列数量关系:(1)在图②中,BD与CE的数量关系是;
(2)在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
原题如图7,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在一条直线上,度量并比较AD与BE的大小.你能对所得结论说明理由吗?(苏科版八年级教材(上))
我们可以发现例6就是将课本习题经过精心设计得到的, 将“等边三角形”这个条件换成“等腰三角形”,静止的图形改成运动的图形.
说明:教材上的习题拓展变化后改编成考题,对这些问题我们有一种似曾相识的感觉.如果熟悉教材上习题的解法,就容易找到解题的“突破口”,这就需要同学们在复习的过程中善于思考,举一反三,明确这类问题的共同特征.
例7(2009广州市中考试题)如图8,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P.
(1)若AG=AE,证明:AF=AH;
(2)若∠FAH=45°,证明:AG+AE=FH;
(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积.
分析(1)四边形ABFE是矩形,可利用勾股定理直接计算AF=,同理AH=. ∵AG=AE,∴AF=AH.
(2)延长CB至M,使BM=DH,连接MA.
得△ADH≌△ABM,∴∠DAH=∠BAM,∴∠FAM=45°.
∵△AHF≌△AMF,∴FH=FM.
∴FH=BF+BM= AE +DH =AG+AE,即AG+AE=FH.
(3)设BF=x,BG=y,则GF=1-x-y. ∴ x2+y2=(1-x-y)2,∴ x+y-xy=.
矩形EPHD的面积=(1-x)(1-y)=1-(x+y)+xy=.
说明:(1)线段相等一般会考虑通过全等三角形来证明,这个问题也可以利用勾股定理通过计算来解决.另外这里的辅助线添加还可以采用旋转的方法,即将△ADH绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM,∵∠MBF=180°,所以M、B、F三点成一直线.
(2)证明AG+AE=FH,可以转化为求证HD+BF=FH.这时发现在一个新的背景下装进去的其实是一个已研究过的典型习题:如图(a),已知正方形ABCD,∠FAH=45°,求证: HD+BF=FH.现在我们所要做的是“旋转”或“截长补短”,就可解决线段和差问题.
(3)一些相关的几何计算题通常可利用勾股定理、相似性质列方程来解决,这道题借助方程和整体代入思想求出矩形EPHD的面积.
问题拓展(2009嵊州市中考试题)如图(b),在四边形ABDC中,∠B
+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
在复习知识的过程中要善于在现有的已知条件下通过变式拓展对问题进行深入的思考,在考试过程中要善于捕获新问题背景下所蕴含的基本题型,学会将陌生题转变成熟悉题或辨认出基本图形,从而迅速找到解题的“突破口”.
五、从中考题看试题走向
现在几何中的基本概念、三角形、四边形部分是必考内容,这一部分相关内容在各地的中考试卷中均占有一定的比例.比如在2009年江苏省初中数学考试卷中共出现了3小题2大题,占29分,既考基础题也考探究题.初三同学在复习这一部分内容时,除了牢固掌握几何基本概念、解常规题的一般方法外,还应多关注下面三个方面的题型变化.
(1)条件(结论)开放——探究题
例8如图8,已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF.
(1)添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,
求证:AB=DC.
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF
=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加条件①、③,以②为结论构成命题1,添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是命题,命题2是命题(选择“真”或“假”填入空格).
这是一个缺少“结论”的开放题,结论要自己先观察、猜测,然后再证明.一旦对问题方向判断出现失误,就容易将自己的思路引入歧途,所以要在认真分析各个条件后对问题作好判断.快速构建反例对做出正确的选择常常是十分有效的.
(2)动手动脑——操作题
例9将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立;
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF、EF与DE之间的关系,并说明理由.
用平移、旋转、折叠等方法进行操作,只改变图形位置,图形的大小是不改变的.这样的操作有时就是构造全等图形的过程.学习中要突出对操作过程中所隐含的数学思想和方法的归纳,同时初三复习阶段要逐步将动手操作向头脑操作转变,在运动中体会探究问题的思维方法.
(3)图形变化——变式题
例10在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F,如图a.
(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系.若点P在DC的延长线上,如图b,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢(如图c)?请分别直接写出结论.
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.
这一题通过几个点位置的变化,由一种情形变化出另外一种情形,在改变的过程中可以体会到变的是外在的“形”,而不变的是内在的“法”,这个“法”就是思考问题的方法,解决问题的手法.