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内容摘要：当代著名的数学教育学家波利亚（G。Polya）强调指出：“小学数学的首要任务就是加强解题训练……掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。”可见：在数学教学中，解题是基本的和主要的活动形式。无论是概念的引入、定义的解释、公式的推导、定理的证明，还是知识的应用，都必须通过解题活动来实现。因此，必须在教学的整个过程中培养学生的解题能力，把培养学生的解题能力视为数学能力培养的最终目标，在培养各种数学基本功的同时，逐步提高学生的解题能力。
关键词：掌握知识；能力培养；情感因素
【中图分类号】G630
一、做好数学基础知识掌握
数学基础知识是数学思维最基本的要素。小学数学教学大纲中要求掌握的基本概念、定义、性质、公式、定理等用来表达数学事实的陈述性知识，是进行推理、判断、演算、解题的依据。因此，只有把数学基础知识正确的掌握好，才有可能做到思维条理分明，思路易于展开，找到解决问题的突破口。再说，基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为学生进一步认识新对象、解决新问题的逻辑思维工具。反过来，如果对这些基础知识的掌握只是粗枝大叶、蜻蜓点水，就会陷入一知半解、思路混乱不清的泥沼中。可见：如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提，要进行分析、判断、推理等解题思维活动是很困难的。当然，这里要求掌握的数学基础知识，不仅是指组成概念体系的定义、性质、公式和定理，而且还包括运算法则、运算步骤、数学方法及解题策略等这些展示如何进行操作与运演的程序性知识。
二、做好数学思维能力的培养
数学思维能力有多种表现形式，这里重点讨论逻辑推理能力、直觉思维能力、发散思维能力的培养。
（一）、逻辑推理能力的培养
数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律与形式对数学对象的属性或数学问题进行综合分析、推理证明的能力，它是学生必须具有的基本数学能力之一。
（1）重视基本概念和基本原理的教学。
数学知识并不是定义、法则、定理的堆砌，每章每节的内容既自成系统又相互联系，形成结构严谨的整体。在这个整体中，基本概念、基本原理和基本方法就是它的核心内容。基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为学生进一步认识新对象、解决新问题的逻辑思维工具。反之，如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提，要进行分析、判断、推理等思维活动是很困难的。
（2）有计划、有步骤地进行逻辑推理的训练。
数学推理即具有推理的一般性，又具有其特殊性。其特殊主要表现在两个方面。其一、数学推理的对象是数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象的事物，而不是日常生活经验；其二、数学推理过程是一连串的，前一个推理的结论可能是下一个推理的前提，并且推理的依据必须从众多的公理、定理、条件、已知结论中提取出来的。可见，数学推理的这些特性会给学生在推理论证的学习中带来困难。有关心理实验表明：初中生已初步掌握了普通逻辑的基本规律和某些推理形式，但还必须依赖于生活经验的支撑。例如：他们从“爸爸比妈妈高，妈妈比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的结论。但有些刚学习平面几何的学生从前提推得的结论却感到困难。由此可以看到，如果不经过有计划、有步骤的训练和培养，学生是不可能对这种新的严密的推理方法予以掌握的。
在学生已经掌握了推理基本技能之后，高中的推理论证教学，侧重于正题方法和思考方法的掌握、选择与应用。通过练习，使学生能正确地应用直接法和间接法，能熟练的掌握分析法、综合法、特殊化法、类比法等。除了注意继续提高学生形式逻辑的推理能力外，还要注意培养他们的辨证逻辑思维，从整体、联系、转化的角度进行推理；注意培养他们运用整体—部分—整体的观点去研究问题的习惯；增强把复杂问题转化为简单问题，未知问题转化为已知问题的能力，学会在矛盾发展变化中探求规律的思想方法。
（二）直觉思维能力的培养
逻辑思维是数学思维的核心，而直觉思维是导致数学发现的关键，两者构成数学认识活动的双翼，缺一不可。因此，我们在训练和培养逻辑推理思维的同时，还应重视直觉思维的训练与培养。
（1）鼓励学生猜想，以形成朦胧的直觉。
美国数学家兼数学教育家波利亚十分重视学习过程中的猜想，他认为：“一旦学生有了某种猜想。他的自尊心、好奇心能否得到满足在一定程度上取决于该题的最终结果，他会急切地想知道他的猜想正确与否。于是他便主动关心这个问题，关心课堂上的进展，他就不会打瞌睡或做小动作……让学生猜想，不仅激发他们努力解题，而且教会他们一种应用的思维方式”。可见鼓励学生猜想，不仅可以激发学生思维欲望，还可以使学生掌握一种重要的思维方式
（2）重视基本图形、基本模式的教学，帮助学生形成知识组块。
数学中有许多含有较多信息量的基本图形、模式、方法，在解决问题时反复运用这些知识与方法。使得他们之间的连结得以加强，形成一个个知识组块。这些知识组块经过反复运用，从显意识不同程度地转入潜意识贮存在记忆系统中，当遇到有关问题时便能迅速联想起知识组块，直觉敏锐的进行识别、分析：形成对问题的综合判断，从而得到解决方法与思路。
华南师范大学傅学顺先生把知识组块在直觉中的作用形象的比拟为“火车站出口处接亲人”。他发现：人们常常能够在火车站出口处人头攒动的人流中迅速、准确地认出亲人，认亲人之所以快，是因为脑子里存有亲人的整体形象。类似地，拔尖学生的思维反应敏捷是因为他们头脑中积累了较多的由基本图形、基本模式、基本方法构成的知识组块（注意！不是零散的、杂乱的知识推砌），一旦遇到有关问题，储存的内容便迅速提取出来，并做出反应，萌生预感，把握解题方向。
（三）发散思维能力的培养
在数学教学中，一方面，要重视聚合思维的训练，提高训练的质量，提高概括的层次，从方法论的角度加深对解题规律、解题方法的认识，不断地探求和揭示数学问题的共性和解决问题的办法；另一方面，也要突出发展思维的训练，通过对具体问题的分析和联想，培养学生思维灵活性与独创性。
（1）给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会，最后全班集体讨论，汇总结果。发散思维是从给定的信息出发，尽可能获得多种结果。
（2）适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动。一题多变，是通过题目的引申、变化、发散、提供问题的背景，揭示问题间的逻辑关系；一题多解，多角度地考虑同个问题，找出各方法间的关系与优劣；一法多用，目的则是求得应用范围的变化。这些学习活动对发散思维的训练与培养有着一定的积极作用。
（3）运用开放型问题进行发散思维训练、所谓开放型问题，是条件不充分、结论不确定，或解题策略多种多样的新题型。
三、注意情感因素的作用
除了解题者的认知因素外，影响解题效果的还有解题者的个人情感因素，比如自信心、好奇心、求知欲、学习态度、审美情绪、数学观念等。
有个教授是这样评价情感因素在认知学习中的重要作用：“情感，以其与个性生命活生生的联系，以其比逻辑─理智现在的地位，以其作为人的动力系统的优势，打通了通往价值理性的通路。也就是说，知识与认知的学习，如果不伴随积极的情感活动，它对人的生命价值，对社会的功效都是不能实现的”。
因此，教师在日常工作中，不仅要关心学生掌握了哪些知识、哪些技能，会解决哪些问题，还要关心学生学习过程学习数学知识、解决问题过程中的种种情绪感受。由于丰富的情绪感受是抽象的、形式化的数学材料无法表明的。因此老师应发挥主导作用，创设一个既有利于知识学习又有利于学生情感发展的教学环境，使学生能以积极主动的状态参与学习活动，能自然放松地、真实流畅的表达情感，从而逐步养成自我负责、积极进取和开拓创新的个性。显然，这种个性无疑会对问题解决的成功起着积极的作用，最终导致解决问题能力的提高与发展。
关键词：掌握知识；能力培养；情感因素
【中图分类号】G630
一、做好数学基础知识掌握
数学基础知识是数学思维最基本的要素。小学数学教学大纲中要求掌握的基本概念、定义、性质、公式、定理等用来表达数学事实的陈述性知识，是进行推理、判断、演算、解题的依据。因此，只有把数学基础知识正确的掌握好，才有可能做到思维条理分明，思路易于展开，找到解决问题的突破口。再说，基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为学生进一步认识新对象、解决新问题的逻辑思维工具。反过来，如果对这些基础知识的掌握只是粗枝大叶、蜻蜓点水，就会陷入一知半解、思路混乱不清的泥沼中。可见：如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提，要进行分析、判断、推理等解题思维活动是很困难的。当然，这里要求掌握的数学基础知识，不仅是指组成概念体系的定义、性质、公式和定理，而且还包括运算法则、运算步骤、数学方法及解题策略等这些展示如何进行操作与运演的程序性知识。
二、做好数学思维能力的培养
数学思维能力有多种表现形式，这里重点讨论逻辑推理能力、直觉思维能力、发散思维能力的培养。
（一）、逻辑推理能力的培养
数学中的逻辑推理能力是指正确地运用思维规律与形式对数学对象的属性或数学问题进行综合分析、推理证明的能力，它是学生必须具有的基本数学能力之一。
（1）重视基本概念和基本原理的教学。
数学知识并不是定义、法则、定理的堆砌，每章每节的内容既自成系统又相互联系，形成结构严谨的整体。在这个整体中，基本概念、基本原理和基本方法就是它的核心内容。基本概念、基本原理一旦为学生所掌握，就成为学生进一步认识新对象、解决新问题的逻辑思维工具。反之，如果没有系统的科学概念和原理的掌握作为前提，要进行分析、判断、推理等思维活动是很困难的。
（2）有计划、有步骤地进行逻辑推理的训练。
数学推理即具有推理的一般性，又具有其特殊性。其特殊主要表现在两个方面。其一、数学推理的对象是数学表达式、图形中的元素符号、逻辑符号等抽象的事物，而不是日常生活经验；其二、数学推理过程是一连串的，前一个推理的结论可能是下一个推理的前提，并且推理的依据必须从众多的公理、定理、条件、已知结论中提取出来的。可见，数学推理的这些特性会给学生在推理论证的学习中带来困难。有关心理实验表明：初中生已初步掌握了普通逻辑的基本规律和某些推理形式，但还必须依赖于生活经验的支撑。例如：他们从“爸爸比妈妈高，妈妈比我高”的前提很容易推出“我比爸爸矮”的结论。但有些刚学习平面几何的学生从前提推得的结论却感到困难。由此可以看到，如果不经过有计划、有步骤的训练和培养，学生是不可能对这种新的严密的推理方法予以掌握的。
在学生已经掌握了推理基本技能之后，高中的推理论证教学，侧重于正题方法和思考方法的掌握、选择与应用。通过练习，使学生能正确地应用直接法和间接法，能熟练的掌握分析法、综合法、特殊化法、类比法等。除了注意继续提高学生形式逻辑的推理能力外，还要注意培养他们的辨证逻辑思维，从整体、联系、转化的角度进行推理；注意培养他们运用整体—部分—整体的观点去研究问题的习惯；增强把复杂问题转化为简单问题，未知问题转化为已知问题的能力，学会在矛盾发展变化中探求规律的思想方法。
（二）直觉思维能力的培养
逻辑思维是数学思维的核心，而直觉思维是导致数学发现的关键，两者构成数学认识活动的双翼，缺一不可。因此，我们在训练和培养逻辑推理思维的同时，还应重视直觉思维的训练与培养。
（1）鼓励学生猜想，以形成朦胧的直觉。
美国数学家兼数学教育家波利亚十分重视学习过程中的猜想，他认为：“一旦学生有了某种猜想。他的自尊心、好奇心能否得到满足在一定程度上取决于该题的最终结果，他会急切地想知道他的猜想正确与否。于是他便主动关心这个问题，关心课堂上的进展，他就不会打瞌睡或做小动作……让学生猜想，不仅激发他们努力解题，而且教会他们一种应用的思维方式”。可见鼓励学生猜想，不仅可以激发学生思维欲望，还可以使学生掌握一种重要的思维方式
（2）重视基本图形、基本模式的教学，帮助学生形成知识组块。
数学中有许多含有较多信息量的基本图形、模式、方法，在解决问题时反复运用这些知识与方法。使得他们之间的连结得以加强，形成一个个知识组块。这些知识组块经过反复运用，从显意识不同程度地转入潜意识贮存在记忆系统中，当遇到有关问题时便能迅速联想起知识组块，直觉敏锐的进行识别、分析：形成对问题的综合判断，从而得到解决方法与思路。
华南师范大学傅学顺先生把知识组块在直觉中的作用形象的比拟为“火车站出口处接亲人”。他发现：人们常常能够在火车站出口处人头攒动的人流中迅速、准确地认出亲人，认亲人之所以快，是因为脑子里存有亲人的整体形象。类似地，拔尖学生的思维反应敏捷是因为他们头脑中积累了较多的由基本图形、基本模式、基本方法构成的知识组块（注意！不是零散的、杂乱的知识推砌），一旦遇到有关问题，储存的内容便迅速提取出来，并做出反应，萌生预感，把握解题方向。
（三）发散思维能力的培养
在数学教学中，一方面，要重视聚合思维的训练，提高训练的质量，提高概括的层次，从方法论的角度加深对解题规律、解题方法的认识，不断地探求和揭示数学问题的共性和解决问题的办法；另一方面，也要突出发展思维的训练，通过对具体问题的分析和联想，培养学生思维灵活性与独创性。
（1）给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会，最后全班集体讨论，汇总结果。发散思维是从给定的信息出发，尽可能获得多种结果。
（2）适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动。一题多变，是通过题目的引申、变化、发散、提供问题的背景，揭示问题间的逻辑关系；一题多解，多角度地考虑同个问题，找出各方法间的关系与优劣；一法多用，目的则是求得应用范围的变化。这些学习活动对发散思维的训练与培养有着一定的积极作用。
（3）运用开放型问题进行发散思维训练、所谓开放型问题，是条件不充分、结论不确定，或解题策略多种多样的新题型。
三、注意情感因素的作用
除了解题者的认知因素外，影响解题效果的还有解题者的个人情感因素，比如自信心、好奇心、求知欲、学习态度、审美情绪、数学观念等。
有个教授是这样评价情感因素在认知学习中的重要作用：“情感，以其与个性生命活生生的联系，以其比逻辑─理智现在的地位，以其作为人的动力系统的优势，打通了通往价值理性的通路。也就是说，知识与认知的学习，如果不伴随积极的情感活动，它对人的生命价值，对社会的功效都是不能实现的”。
因此，教师在日常工作中，不仅要关心学生掌握了哪些知识、哪些技能，会解决哪些问题，还要关心学生学习过程学习数学知识、解决问题过程中的种种情绪感受。由于丰富的情绪感受是抽象的、形式化的数学材料无法表明的。因此老师应发挥主导作用，创设一个既有利于知识学习又有利于学生情感发展的教学环境，使学生能以积极主动的状态参与学习活动，能自然放松地、真实流畅的表达情感，从而逐步养成自我负责、积极进取和开拓创新的个性。显然，这种个性无疑会对问题解决的成功起着积极的作用，最终导致解决问题能力的提高与发展。