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“数”与“形”是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辨证关系。数形結合是一种重要的数学思想，是人们认识、理解、掌握数学的意识，它是我们解题的重要手段，是根据数理与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻求解决问题的方法的一种数学思想。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的。它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，觖决数学问题能起到促进和深化的作用。切实把握好数形结合的思想是学好数学的关键之一。
一、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、运用数形结合思想方法一般要遵循以下二个原则
（一）等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的反差关系应具有一致性，有时，由于图形的局限性、构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
（二）、双向性原则
双向性原则是指几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
三、数形结合思想在高中数学教学中重要作用
（一）从新课程标准对“双基”的要求来看数形结合思想
首先引用一下《数学新课程标准》对数学中的“双基”的理解：教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，具体来说是：
1、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。
2、重视基本技能训练。要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。
3、与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，高中数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。
（二）从新课程标准对思维能力的要求来看数形结合思想
数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生 从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
四、解题方法指导
1.转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
五、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点
在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题.
1、注意图象延伸趋势2、注意图象伸展“速度”3、注意数形等价转化4、注意仔细观察图象5. 数形结合也有简繁之分。
总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。在平日的教学中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。
一、数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、运用数形结合思想方法一般要遵循以下二个原则
（一）等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的反差关系应具有一致性，有时，由于图形的局限性、构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
（二）、双向性原则
双向性原则是指几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
三、数形结合思想在高中数学教学中重要作用
（一）从新课程标准对“双基”的要求来看数形结合思想
首先引用一下《数学新课程标准》对数学中的“双基”的理解：教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能，具体来说是：
1、强调对基本概念和基本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想（如函数，空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。
2、重视基本技能训练。要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。
3、与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，高中数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可从不同视角展开。从整体到局部，从具体到抽象，从一般到特殊，而且应注意用向量方法（代数方法）处理有关问题；不等式教学要关注它的几何背景及应用；三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明……由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能。
（二）从新课程标准对思维能力的要求来看数形结合思想
数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生 从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
四、解题方法指导
1.转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
五、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点
在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题.
1、注意图象延伸趋势2、注意图象伸展“速度”3、注意数形等价转化4、注意仔细观察图象5. 数形结合也有简繁之分。
总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。所以要认真上好每一堂课，深入学习新教材的系统知识，掌握各种函数的图象特点，理解各种几何图形的性质。教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决。在平日的教学中，要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。只有这样，运用数形结合才能不断深化提高。