巧用面积法证题

• 作 者: 侯国兴
• 出 处: 今日中学生(初二版)
• 发表日期: 2009年5期
• 关键词: 面积法 巧用 证明方法 平行四边形 等腰三角形 举例说明 面积公式 几何

　　面积法是利用几何面积公式证题的一种证明方法.运用此法证明涉及等腰三角形或平行四边形相关的部分题目,既省时简捷,又让人一目了然.
　　一、解答涉及等腰三角形问题
　　例1 如图1,已知△ABC中,AB=BC=AC,P为BC上一点,PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为D、E、F.求证:BF=PD+PE.
　　证明:连接AP.
　　∵ S= S+ S,
　　∴AC•BF=AB•PD+AC•PE.
　　∵ AB=BC=AC,
　　∴ BF=PD+PE.
　　评注:此题若用常规证法,则需要过点P作PG⊥BF于G,利用全等三角形及矩形的性质进行证明.
　　二、解答涉及平行四边形问题
　　例2 已知,如图2,在ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,且BF=DE,又BF、DE相交于点G.求证:CG平分∠BGD.
　　证明:作CK⊥BF,CH⊥DE,垂足分别为K、H,连接CE、CF.
　　∵S=BF•CK=S,S=DE•CH=S,
　　又 BF=DE,∴CK=CH.
　　∴ Rt△CKG≌Rt△CHG.(HL)
　　∴ ∠CGK=∠CGH,即CG平分∠BGD.
　　评注:此题若按常规证法,则很难证明CK=CH.
　　三、解答涉及菱形问题
　　例3 如图3,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥BC , OG⊥CD, OH⊥AD,垂足分别为E、F、G、H,求证:OE=OF=OG=OH.
　　证明:由菱形ABCD知:AB=BC=CD=AD,OA=OC,OB=OD,
　　∴ △OAB≌△OCB≌△OCD≌△OAD,
　　∴S=S=S=S.
　　∴ AB•OE=BC•OF=CD•OG=AD•OH.
　　∴OE=OF=OG=OH.
　　评注:此题若用常规证法,则需要结合菱形的性质,利用全等三角形性质或角平分线的性质进行证明.
　　四、解答涉及四边形问题
　　例4 已知,如图4,在四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,求证:AD∥BC.
　　证明:作AE⊥BC,DF⊥BC, 垂足分别为E、F,则AE∥DF.
　　∵AB=DC,AC=BD, BC=CB,
　　∴△ABC≌△DCB.(SSS)
　　∴ S=S .
　　∴BC•AE=BC•DF,
　　∴ AE=DF.
　　∴四边形AEFD为平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)
　　∴ AD∥BC.