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摘 要：初中数学是数学学习的基础，特别初中几何是初中数学的重要部分，对数学技能要求较高。文章对数学能力、技能、焦虚及初中几何教学与探索进行了论述。通过几何教学的案例及2021年福建省中考几何综合试题的解题分析，进行初中几何试题研制及应用研究。
关键词：初中几何;数学能力;数学技能;数学焦虚
作为初中数学老师的我们，已任教多年，谈一谈初中几何教学之我见：
数学是一门古老而常新的工具学科，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。数学有七大能力，包括：抽象概括能力、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识、创新意识，其中运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力是数学的三大基本能力。
初中数学是数学的基础，特别初中几何是初中数学的重要部分，属于平面几何，对数学技能要求较高，其中解题过程经常要做好几条辅助线，遇到解决问题困难会产生“数学焦虚”。
数学技能是指通过学习而形成的合法则的数学活动方式，属于动作经验。它所要解决的是完成活动所要求的动作会不会与熟不熟练的问题，一般分为操作性技能（如使用运算工具的技能、测量技能、作图技能等）和心智技能（如审题技能、解析技能、运算技能、檢验技能等）。
数学焦虑是指学习数学的过程中产生的一种忧虑等紧张状态，主要源于对数学的错误认知以及过去的消极经验。实际教学中应首先从矫正学生对数学的认知偏差入手，并贯穿教材选编、教学活动安排，教学成效评估等各方面。
作为数学教师具有专业知识后，还要学习了解最新的学科研究成果，懂得教育规律，研究学生的心理状况。教学中还要做到语言幽默和正确运用教育理论，关注教材知识点的变化与更新，及时学习和掌握新知，充实丰富本学科的专业知识。
其次，师者，所以传道授业解惑也。顾名思义，在数学教学中首先培养学生对数学感兴趣，与学生打成一片，通过现实生活实例来学习数学、研究初中几何。授课中要循循善诱，给学生一定的思考时间，比如以案例一进行授课。以北师大七年级下册第四章第3节第1课时探索三角形全等条件（SSS）为例：
提出几个问题让学生思考并解决。问题1：什么是全等图形？问题2：全等三角形有什么性质？问题3：对两个三角形来说，以下六个条件中至少要满足几个条件，才能确保△ABC≌△A′B′C′呢？
AB=A′B′;BC=B′C′;AC=A′C′;∠A=∠A′;∠B=∠B′;∠C=∠C′。（此处的问题设置非常到位，目标精准明确，有的放矢。）
让学生思考几分钟并解决问题：问题1答案：能够完全重合的两个图形，是全等图形。问题2答案：全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等。
教师引导探究：问题4：问至少需要几个条件，我们应该从几个条件开始探究呢？问题5：探究哪个呢，怎么分类探究呢？问题6：只满足一个条件时，能否保证两个三角形全等？（让学生黑板上画图演示，加深理解和记忆）问题7：接下来该怎样探究呢？问题8：两个条件怎么选取和分类呢？问题9：只满足两个条件时，能否保证两个三角形全等呢？（让学生黑板上画图演示，加深理解和记忆）
让学生思考几分钟并解决问题：问题4答案：一个。问题5答案：一组角相等或一组边相等。问题6答案：一组角相等或一组边相等。问题7答案：探究只满足两个条件时，能否保证两个三角形全等？问题8答案：一组角对应相等，一组边对应相等;两组角对应相等;两组边对应相等。问题9答案：不能。
教师引导探究：问题10：接下来该怎样探究呢？问题11：三个条件怎么选取和分类呢？问题12：三组角对应相等两三角形全等吗？
让学生思考几分钟并解决问题：问题10答案：探究满足三个条件时，能否保证两个三角形全等？问题11答案：三组角对应相等;三组边对应相等;两组角对应相等，一组边对应相等;两组边对应相等，一组角对应相等。问题12答案：不能。教师：你能举出反例吗？学生：老师的大三角板和学生的小三角板。
教师引导探究：问题13：三组边对应相等，能否保证两个三角形全等？（学生动手实践：将课前准备的小纸条分折成三段长，并将其围成三角形，并观察与同桌之间的三角形存在什么样的关系。）
最后教师引导：1）你能把你的发现和同学们分享一下吗？2）能够把这一事实用文字语言准确描述出来吗？学生回答（教师帮助解决）：学生1：会全等。学生2：三边对应相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS”。
以上是几何教学探索过程。这样学生通过理解后，会牢固掌握知识。学生学习数学符号后，教师要求学生用数学符号表示初中几何的定理且熟练掌握数学符号表示的内容和写好初中几何的证明格式。
学生学好初中几何知识后，要教会学生怎么运用所学初中几何知识去分析及解决问题。以2021年福建省中考试卷第24题的几何题为例分析如何解决初中几何问题。下面文章从不同的角度来解析问题：
24. 在正方形ABCD中，E、F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G。
（1）求证：DE∥A′F;
（2）求∠GA′B的大小;
（3）求证：A′C=2A′B。
方法一：
先分析：（1）根据已知条件中正方形ABCD可推出四个角都是直角，四条边都相等，点A关于DE的对称点为A′，则根据对称的知识可得DE⊥AA′于点T，AT=A′T;E、F为AB的三等分点，则可推出AE=EF=FB，由平行线等分线段性质可推出DE∥A′F。
（2）要求∠GA′B的大小，看图预测其角度大约为45度，题中又有好几个直角，作BM⊥AG于M（先试下不行再用其他路径，作辅助线要先用铅笔画下，若行不通再更改），若能证明A′M=BM，又由∠A′MB=90°，问题就解决了，因为DE∥A′F，可证DE∥A′F∥BM，由平行线等分线段性质可得AT=TA′=A′M，由证明△DAT≌△ABM可得AT=BM=TA′=A′M，又由∠A′MB=90°可得△A′BM为等腰直角三角形，∠GA′B=45°，则就解决问题了。 （3）要证明A′C=2A′B，要运用（1）第题和第（2）题的结论当成已知条件来辅助证明，因为∠GA′B=45°，联想到正方形的对角线平分对角且平分的两个角都为45°，就做辅助线连接AC，可证：△TAE≌△MBG则可得∠TAE=∠MBG，则∠CAA′=45°-∠TAE，∠A′BA=∠ABG-∠MBG=90°-45°-∠MBG，则∠CAA′=∠ABA′，其中A′C与A′B分别是△CAA′和△ABA′的两条边，△CAA′与△ABA′形状相似，若能证明△CAA′∽△ABA′且相似比为2，问题就解决了。
由（2）的证明可知并设AT=AA′=A′M=BM=t，则由勾股定理可得，A′B=2t，AB=10t，AC=25t，则利用两边成比例且夹角相等的判定，ACAB=25t10t=2，AA′A′B=2t2t=2，又因为∠CAA′=∠ABA′，则△CAA′∽△ABA′且相似比为2，∴CA′AA′=ACAB，CA′2t=25t10t，则CA′=22t。又∵A′B=2t，∴CA′=2A′B（解题过程不写出来了）
“横看成岭侧成峰，远近高地各不同。”分析的角度不同解法就不同，就有方法二（中考试卷的标准答案），解题分析：
第（2）题（如上图）连接FG，先利用正方形的性质证明△DAE≌△ABG，可得AE=BG，又FB=BG可得△FBG是等腰直角三角形，∠GFB=45°，取FG的中点O，连接OA′，OB，在Rt△A′FG和Rt△BFG中，由斜边上的中线等于斜边的一半可得OA′=OF=OG=12FG，OB=OF=OG=12FG，则OA′=OF=OG=OB，所以点A′，F，B，G都在以FG为直径的⊙O上，即四点同圆，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠GA′B=∠GFB=45°。
第（3）题设AB=3b，则AD=BC=3b，AF=2b，AE=BF=b。
由（2）得BG=AE=b，利用三角函数可求∠BAG=∠A′AF且正切值為13，可得A′FAA′=13，设A′F=t，则AA′=3t，在Rt△A′AF中，由勾股定理，得AF=10t，则10t=2b，t=10b5，A′F=10b5，在Rt△ABG中，由勾股定理AG=10t。利用两边成比例且夹角相等的判定，A′FA′G=BFCG=12，∠A′FB=∠A′GC，可证△A′FB∽△A′GC则A′BA′C=BFCG=12，所以A′C=2A′B。（利用三角函数、勾股定理和证明△A′FB∽△A′GC相似来解决问题。）
学生学习数学的目的是使自己掌握一项技能，为祖国的建设做贡献，应该满怀信心奋发拼搏，为祖国贡献自己的力量。我们通过不断学习、实践、反思、总结，形成具有独特的教育教学风格，有效提高自己的课堂教学效率，掌握最新教学理念和方法，在课堂实践中努力提高驾驭课堂能力和亲和力，与学生打成一片，提高反思能力。加强个人修养，提高个人师德水平，做一个学生喜欢，家长满意、领导放心的好教师——“三尺讲台，志树十万英才”。
参考文献：
[1]林崇德，杨治良，黄希庭.心理学大辞典[M].上海：上海教育出版社，2003.
[2]宋宜桦.韩愈《师说》的当代教育启示[J].品位·经典，2021（17）：9-11+28.
作者简介：
郭国盛，福建省漳州市，漳州台商投资区华侨中学;
王亚坤，福建省厦门市，厦门大学附属实验中学。
关键词：初中几何;数学能力;数学技能;数学焦虚
作为初中数学老师的我们，已任教多年，谈一谈初中几何教学之我见：
数学是一门古老而常新的工具学科，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。数学有七大能力，包括：抽象概括能力、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识、创新意识，其中运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力是数学的三大基本能力。
初中数学是数学的基础，特别初中几何是初中数学的重要部分，属于平面几何，对数学技能要求较高，其中解题过程经常要做好几条辅助线，遇到解决问题困难会产生“数学焦虚”。
数学技能是指通过学习而形成的合法则的数学活动方式，属于动作经验。它所要解决的是完成活动所要求的动作会不会与熟不熟练的问题，一般分为操作性技能（如使用运算工具的技能、测量技能、作图技能等）和心智技能（如审题技能、解析技能、运算技能、檢验技能等）。
数学焦虑是指学习数学的过程中产生的一种忧虑等紧张状态，主要源于对数学的错误认知以及过去的消极经验。实际教学中应首先从矫正学生对数学的认知偏差入手，并贯穿教材选编、教学活动安排，教学成效评估等各方面。
作为数学教师具有专业知识后，还要学习了解最新的学科研究成果，懂得教育规律，研究学生的心理状况。教学中还要做到语言幽默和正确运用教育理论，关注教材知识点的变化与更新，及时学习和掌握新知，充实丰富本学科的专业知识。
其次，师者，所以传道授业解惑也。顾名思义，在数学教学中首先培养学生对数学感兴趣，与学生打成一片，通过现实生活实例来学习数学、研究初中几何。授课中要循循善诱，给学生一定的思考时间，比如以案例一进行授课。以北师大七年级下册第四章第3节第1课时探索三角形全等条件（SSS）为例：
提出几个问题让学生思考并解决。问题1：什么是全等图形？问题2：全等三角形有什么性质？问题3：对两个三角形来说，以下六个条件中至少要满足几个条件，才能确保△ABC≌△A′B′C′呢？
AB=A′B′;BC=B′C′;AC=A′C′;∠A=∠A′;∠B=∠B′;∠C=∠C′。（此处的问题设置非常到位，目标精准明确，有的放矢。）
让学生思考几分钟并解决问题：问题1答案：能够完全重合的两个图形，是全等图形。问题2答案：全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等。
教师引导探究：问题4：问至少需要几个条件，我们应该从几个条件开始探究呢？问题5：探究哪个呢，怎么分类探究呢？问题6：只满足一个条件时，能否保证两个三角形全等？（让学生黑板上画图演示，加深理解和记忆）问题7：接下来该怎样探究呢？问题8：两个条件怎么选取和分类呢？问题9：只满足两个条件时，能否保证两个三角形全等呢？（让学生黑板上画图演示，加深理解和记忆）
让学生思考几分钟并解决问题：问题4答案：一个。问题5答案：一组角相等或一组边相等。问题6答案：一组角相等或一组边相等。问题7答案：探究只满足两个条件时，能否保证两个三角形全等？问题8答案：一组角对应相等，一组边对应相等;两组角对应相等;两组边对应相等。问题9答案：不能。
教师引导探究：问题10：接下来该怎样探究呢？问题11：三个条件怎么选取和分类呢？问题12：三组角对应相等两三角形全等吗？
让学生思考几分钟并解决问题：问题10答案：探究满足三个条件时，能否保证两个三角形全等？问题11答案：三组角对应相等;三组边对应相等;两组角对应相等，一组边对应相等;两组边对应相等，一组角对应相等。问题12答案：不能。教师：你能举出反例吗？学生：老师的大三角板和学生的小三角板。
教师引导探究：问题13：三组边对应相等，能否保证两个三角形全等？（学生动手实践：将课前准备的小纸条分折成三段长，并将其围成三角形，并观察与同桌之间的三角形存在什么样的关系。）
最后教师引导：1）你能把你的发现和同学们分享一下吗？2）能够把这一事实用文字语言准确描述出来吗？学生回答（教师帮助解决）：学生1：会全等。学生2：三边对应相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS”。
以上是几何教学探索过程。这样学生通过理解后，会牢固掌握知识。学生学习数学符号后，教师要求学生用数学符号表示初中几何的定理且熟练掌握数学符号表示的内容和写好初中几何的证明格式。
学生学好初中几何知识后，要教会学生怎么运用所学初中几何知识去分析及解决问题。以2021年福建省中考试卷第24题的几何题为例分析如何解决初中几何问题。下面文章从不同的角度来解析问题：
24. 在正方形ABCD中，E、F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G。
（1）求证：DE∥A′F;
（2）求∠GA′B的大小;
（3）求证：A′C=2A′B。
方法一：
先分析：（1）根据已知条件中正方形ABCD可推出四个角都是直角，四条边都相等，点A关于DE的对称点为A′，则根据对称的知识可得DE⊥AA′于点T，AT=A′T;E、F为AB的三等分点，则可推出AE=EF=FB，由平行线等分线段性质可推出DE∥A′F。
（2）要求∠GA′B的大小，看图预测其角度大约为45度，题中又有好几个直角，作BM⊥AG于M（先试下不行再用其他路径，作辅助线要先用铅笔画下，若行不通再更改），若能证明A′M=BM，又由∠A′MB=90°，问题就解决了，因为DE∥A′F，可证DE∥A′F∥BM，由平行线等分线段性质可得AT=TA′=A′M，由证明△DAT≌△ABM可得AT=BM=TA′=A′M，又由∠A′MB=90°可得△A′BM为等腰直角三角形，∠GA′B=45°，则就解决问题了。 （3）要证明A′C=2A′B，要运用（1）第题和第（2）题的结论当成已知条件来辅助证明，因为∠GA′B=45°，联想到正方形的对角线平分对角且平分的两个角都为45°，就做辅助线连接AC，可证：△TAE≌△MBG则可得∠TAE=∠MBG，则∠CAA′=45°-∠TAE，∠A′BA=∠ABG-∠MBG=90°-45°-∠MBG，则∠CAA′=∠ABA′，其中A′C与A′B分别是△CAA′和△ABA′的两条边，△CAA′与△ABA′形状相似，若能证明△CAA′∽△ABA′且相似比为2，问题就解决了。
由（2）的证明可知并设AT=AA′=A′M=BM=t，则由勾股定理可得，A′B=2t，AB=10t，AC=25t，则利用两边成比例且夹角相等的判定，ACAB=25t10t=2，AA′A′B=2t2t=2，又因为∠CAA′=∠ABA′，则△CAA′∽△ABA′且相似比为2，∴CA′AA′=ACAB，CA′2t=25t10t，则CA′=22t。又∵A′B=2t，∴CA′=2A′B（解题过程不写出来了）
“横看成岭侧成峰，远近高地各不同。”分析的角度不同解法就不同，就有方法二（中考试卷的标准答案），解题分析：
第（2）题（如上图）连接FG，先利用正方形的性质证明△DAE≌△ABG，可得AE=BG，又FB=BG可得△FBG是等腰直角三角形，∠GFB=45°，取FG的中点O，连接OA′，OB，在Rt△A′FG和Rt△BFG中，由斜边上的中线等于斜边的一半可得OA′=OF=OG=12FG，OB=OF=OG=12FG，则OA′=OF=OG=OB，所以点A′，F，B，G都在以FG为直径的⊙O上，即四点同圆，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠GA′B=∠GFB=45°。
第（3）题设AB=3b，则AD=BC=3b，AF=2b，AE=BF=b。
由（2）得BG=AE=b，利用三角函数可求∠BAG=∠A′AF且正切值為13，可得A′FAA′=13，设A′F=t，则AA′=3t，在Rt△A′AF中，由勾股定理，得AF=10t，则10t=2b，t=10b5，A′F=10b5，在Rt△ABG中，由勾股定理AG=10t。利用两边成比例且夹角相等的判定，A′FA′G=BFCG=12，∠A′FB=∠A′GC，可证△A′FB∽△A′GC则A′BA′C=BFCG=12，所以A′C=2A′B。（利用三角函数、勾股定理和证明△A′FB∽△A′GC相似来解决问题。）
学生学习数学的目的是使自己掌握一项技能，为祖国的建设做贡献，应该满怀信心奋发拼搏，为祖国贡献自己的力量。我们通过不断学习、实践、反思、总结，形成具有独特的教育教学风格，有效提高自己的课堂教学效率，掌握最新教学理念和方法，在课堂实践中努力提高驾驭课堂能力和亲和力，与学生打成一片，提高反思能力。加强个人修养，提高个人师德水平，做一个学生喜欢，家长满意、领导放心的好教师——“三尺讲台，志树十万英才”。
参考文献：
[1]林崇德，杨治良，黄希庭.心理学大辞典[M].上海：上海教育出版社，2003.
[2]宋宜桦.韩愈《师说》的当代教育启示[J].品位·经典，2021（17）：9-11+28.
作者简介：
郭国盛，福建省漳州市，漳州台商投资区华侨中学;
王亚坤，福建省厦门市，厦门大学附属实验中学。