离离原上草

• 作 者: 孙维梓
• 出 处: 科学大众（中学）
• 发表日期: 2007年7期
• 关键词: 离离原上草 赋得古原草送别 野火烧不尽 数学竞赛 分解质因数 阶乘数 除尽 岁月流逝 题目要求 令人

　　唐朝白居易在16岁时就写下了《赋得古原草送别》这首诗，前四句是：“离离原上草，一岁一枯荣；野火烧不尽，春风吹又生”。他歌颂的是那坚韧不拔的野草，具有无穷旺盛的生命力。然而每年我们接触到当年的公元年份趣题时，不免也会浮现出这样的感慨。
　　什么是公元年份题？原来每年的公元数都不相同。有的是质数、有的是合数、还能分成奇数或偶数，于是数学竞赛就喜欢用它们来命题，每年推陈出新，旧貌换新颜。其中不乏绝妙的好题，值得赏玩。这些题也像野草，具有极强的生命力，生生不息，永无止境。
　　今年是2007年，那么能用2007来出题吗？答案是肯定的。
　　例如可以问：“能否从某个自然数中去减掉它的全部数字，从而使结果等于2007？如果可能，那么会有多少个答案？”
　　不难看出这种数起码是四位数。不妨设它为:
　　1000a 100b 10c d
　　在减掉它拥有的四个数字a，b，c，d后，就能得到：
　　1000a 100b 10c d-(a b c d)
　　=999a 99b 9c=9(111a 11b c)
　　据题意，可列出方程999a 99b 9c=2007，化简后是：
　　111a 11b c=223
　　显然a比1要大，但比3要小，所以a只能等于2。接着就有11b c=1。由于b和c都是数字，所以只能有b=0与c=1。但是d呢？原来它竟然能等于任何数字！敢情从2010直到2019，不管你取那个数都行。不妨就取2018吧，这时就有2018-(2 0 1 8)=2007。
　　还有人提出：是否有这样的自然数，它既是2007的倍数，而它全部数字的总和也等于2007。其实我们只要注意2007=3×3×223，于是200720072007……2007（这里的2007被重复了223次）就是能满足题目要求的，你想，223个(2 7)不就是2007了吗？本题妙趣横生，令人叫绝。
　　下面我们再来介绍1×2×3×4×……×2006×2007这个数，它叫阶乘数，用2007！来表示。请问这个数能被2007除尽吗？如果连续用2007去除这个数，那么能整除多少次？
　　由于2007分解质因数是3×3×223，所以如果让2007！也来分解质因数时，因数3就会出现极多的次数，其频率大大高于223。所以我们只需考虑在1×2×3×……×2006×2007中能出现几个223的倍数就可以了。它们当然就是223、446、669、……直至2007为止，总数只有9个。所以2007！肯定能被20079整除，但无法被200710除尽。
　　以上介绍的是几则2007的公元题，尽管岁月流逝，这类题同样是一岁一枯荣，真所谓“公元年代题，岁岁放异彩；待到风流尽，春风吹又生”呢。