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【摘要】对于知识点庞杂但是系统性极强的数学学科而言，理解知识只是学习数学的第一步.学会用联系的观点看问题，并运用数学知识解答相关数学问题，才是真正掌握了数学知识.而在数学解题教学过程中，对于师生而言起到了同等重要作用的概念图，是将抽象知识转化为具体解题过程和思路的重要策略.因此，教师将概念图应用到数学解题教学当中，是帮助学生寻找灵活的解题思路、提高数学教学效率的重要教学手段.
【关键词】概念图;初中数学;解题教学
一、引言
初中数学在学生系统性数学学习中起到承上启下的作用，其对学生未来更深层次的数学学习而言是至关重要的存在.作为评价学生数学知识掌握情况的参照物——解题情况，也成为教师评判学生是否足够认识所学知识的指标.解题是对课堂知识的检验和复习，是数学学科重要的学习策略.在解题过程中，学生若能充分利用概念图，则能够更好地将所学数学知识联系到题目中，形成敏捷、灵活的数学思维.
二、利用概念图帮助学生梳理知识结构，明确知识点之间的联系
（一）培养学生解题时串联数学知识点的能力
概念图有一个基本的脉络框架，其实就是概念图在帮助学生解题时存在的两个基本组成要素——前因、后果.前因是数学问题提供的前提条件，后果是需要运用数学知识解出来的数学目标.利用概念图的这个框架，教师应该先列举出题目明确给出的前提条件及题目问题，并在前提条件和最终问题之间展开相关解题所需数学知识点的梳理和关系整理.然后让学生自己根据讲解绘制概念图，理清知识脉络，探索相关知识点组合形成的尽可能多的解题办法.学生在绘制概念图的过程中，可以增强串联数学知识的能力，提高解题的能力.
概念图在几何证明数学问题上的应用能够较好地体现其串联知识的优势.几何图形的相关证明在整个初中数学知识中占比较大，但是相关知识点和定理比较零碎、分散.学生常常因为不能很好地串联起几何定理中的知识点而在几何证明时漏洞百出.为了解决这个问题，教师在开展解题教学时，需要为学生展示几何图形的直观逻辑关系和理论体系.
比如，在“直角三角形全等的判定”这一章节中，教师利用例题向学生展示证明直角三角形全等的解答过程时，为了让学生对每个步骤对应的原理有清晰的认识，可以用概念图做证明步骤的划分.先证明三角形为直角，再证明任意一对应边和角是相等的，最后综合得出全等的结论.首先教师可以为学生展示单独证明三角形为直角的过程，并和题目中给出的数据结合起来，写出解题过程;然后在三角形全等的解题过程中，要先忽略已证的直角条件，将其看作一般三角形全等证明来解答.最后，將它们结合起来，这样既可以回顾证明三角形为直角三角形的解题过程，也可以回顾一般三角形全等的证明解题过程.教师从最开始划分三大步骤逐渐展开，形成了清晰完整的可视化知识网络图.
学生能够从概念图中直观地认识到证明直角三角形全等就是证明一般三角形全等的一个特殊情况.证明直角三角形全等时已经省略了一个证明一般三角形全等的对应角相等的条件，只需要证明任意一条对应边相等，就可以得出结论.因此，教师通过概念图梳理证明直角三角形全等的思路，能够帮助学生在解题出现记忆空白时，重新回到题目，并按部就班地求解.
（二）培养学生举一反三的敏捷思维
初中数学主观题的解答过程通常需要学生利用概念图梳理其中涉及数学知识点之间的关系，并按照顺序，明确地标注好解题步骤以及每个步骤需要展开的工作.这样能够使整个大题的解题过程框架被剥离出来，形成一套独立的解题思路，强化学生的解题能力，总结出适合学生自己的解题技巧.
但是，为了保证学生总结出的适合自己的解题技巧是正确规范的，教师在使用概念图展开解题教学时，要尽量规范概念图的绘制和逻辑关系的推理方向以及知识点的互相关系在图中的位置关系等.这样不是为了刻板化学生对概念图的认知，而是为了提醒学生在自己绘制概念图时要注意严谨、规范.只有这样，才能避免解题从一开始就出现方向性错误的情况.同时，教师要鼓励学生在课下的习题练习中，也尽可能地用绘制概念图的方法分析问题，从而提高运用概念图分析问题的能力，理顺知识点之间逻辑关系的熟练程度，培养举一反三的解题能力和敏捷的思辨能力.
比如，在求解以勾股定理为核心知识点的题目时，学生只要能够按照用勾股定理求解三角形的方法和顺序对遇到的问题进行简单分析，并用可视化的方式将知识点和对应的解题步骤用概念图的方式直观地展示在问题旁边，便能够解决大部分相关的问题.初中数学教材给出的用勾股定理求解三角形的解题思路是比较简单的，但也是最基础的.教材先回顾三角形的相关知识，再给出直角三角形的勾股定理定义，最后用例题将勾股定理的使用方法直观地表达出来.
有这样一道例题：在一块形状为直角梯形的草坪边上修建了一条从A到D到C的小路，AB为直角梯形两个直角的共同直角边.已知AB=12 m;AD=4 m;BC=9 m，一些路人为了走捷径，沿路线AC行走破坏了草坪，他们实际只少走了多少米？我们可以通过分析发现，其核心考查点就是勾股定理，如果将直角梯形补成长方形，就能用勾股定理求出DC的长度为13 m，而以AC构建在直角梯形内部的直角三角形又可以得到其长度为15 m，因此实际上破坏草坪少走的路为4 m 13 m-15 m=2 m.在此基础上，还会有相对而言更复杂的变形问题，但其实其核心考查内容并没有发生变化.如果学生会用概念图分析问题，不仅能够实现复杂问题的简单化，还能够从相关的变形题中剥离出最根本的考查点，从而按照逻辑顺序完成解答.
三、学生在解题中借助概念图增强解题基础和准确性
（一）更好地掌握基础知识，降低解题难度
初中数学需要记忆的知识点内容并不少，大部分都是数学专有名词的概念或定义、原理、数学计算公式等，内容枯燥，且比较容易出现知识点记混乱的状况.对于内容前后联系要求较高的数学学科，并不能像其他学科一样，将大知识块割裂成小知识块分开独立记忆.学生在求解综合性较强的数学问题时，需要不同知识点的环环相扣和层层递进.解答涉及知识点较多的题目时，教师应该用统筹的思想，用概念图的格式简单快速地罗列关键知识点和核心定义，以增强学生对知识的记忆.这样的方式能够较大程度地提高解题准确率，降低因为忘记数学公式或者定义而出现解题错误的概率.同时，利用概念图，学生可增强知识记忆，唤醒所学内容，能够在既定的数学解题过程中综合更多的数学知识点，以降低解题难度. （二）避免解题时出现思维定式，提高解题效率
学生在解答某些较为常见问题时会出现思维定式，这在初中阶段表现得尤为明显.在初中阶段，学生为了获得优异的成绩，继续下一阶段的学习，不仅需要教师的敦促，还需要自我监督和坚持.因此，学生在应试教育的约束和不正确的数学学习过程中接触的题型都较为固定，变化程度不大，这不利于培养学生解题的灵活思维，容易使学生形成思维定式.
思维定式是由于知识掌握得过于刻板，数学知识的日常运用不够灵活，解题时常常不愿创新思考而形成的一种潜意识的行为，这非常不利于学生数学素养的提升.因此，学生和教师都应该尽可能避免形成思维定式，应以综合、全面并且灵活的思维思考问题，避免由思维定式产生的习惯性或者由主观以为产生的解题失误.而概念图作为一种网络结构的知识导图，在数学解题时主要起到强化知识理解、梳理知识内容和关系的作用，其能够帮助学生在此基础上实现顺利解题.
比如，当教师教授完“比零小的数”这部分知识后，学生解答题目时就必须考虑数字前面的符号和数学运算符号的关系了，不能再以之前认知的那样，把所有数字都当作正数进行运算.教师在为学生讲解关于不等式求解的解题方法时，一定要先做概念图分析，让学生重视正负號的作用，明确不等式计算时的符号变化法则，避免学生因为思维定式而产生符号错误的问题.
学生在解题之前，做出关于正负数对比的概念图，并以此作为解题的参考，既清晰明了又极少出错.概念图只是简单地表达逻辑关系和重点知识之间联系的网络图，非常简单，并不会花费过多时间.因此，在数学解题教学时，教师选择将概念图应用到具体的题目解答讲解中，可向学生展示逻辑关系，指引解题方向，这是非常有价值的.
四、结束语
初中数学内容相对于未来更深层次的数学知识而言是比较基础的，但是初中数学知识内容也并不少.随着学习内容的增多，数学涵养会随之增加，学生的解题经验应该也会增加.但是，随着知识的积累，学生反而发现解题变得越来越困难，这是因为越简单的题目，能够行得通的道路往往越少;而积累的知识越多，解题的可行道路也会增多.学生靠混乱的知识记忆解题当然是很困难的，因此教师需要运用概念图展开解题教学，帮助学生整理知识，梳理知识脉络.学生通过教师教授的解题方法，绘制概念图，概括知识点，梳理步骤，可以找出适合自己的解题方法.总而言之，概念图是能够提高解题效率和准确度的具有重要影响力的学习策略，应该被广泛地应用到数学解题教学中去.
【参考文献】
[1]姜莺.概念图在初中数学教学中的实践[J].课程教育研究：外语学法教法研究，2019（24）：241.
[2]潘一跃.探讨初中数学解题教学中如何培养学生的纠错能力[J].当代家庭教育，2019（8）：89-90.
[3]彭中华.概念图在中小学数学教学中的应用策略探析[J].中华少年，2019（9）：66.
[4]聂永圣.概念图在初中数学单元复习课中的应用与探究[J].读天下（综合），2019（7）：125.
【关键词】概念图;初中数学;解题教学
一、引言
初中数学在学生系统性数学学习中起到承上启下的作用，其对学生未来更深层次的数学学习而言是至关重要的存在.作为评价学生数学知识掌握情况的参照物——解题情况，也成为教师评判学生是否足够认识所学知识的指标.解题是对课堂知识的检验和复习，是数学学科重要的学习策略.在解题过程中，学生若能充分利用概念图，则能够更好地将所学数学知识联系到题目中，形成敏捷、灵活的数学思维.
二、利用概念图帮助学生梳理知识结构，明确知识点之间的联系
（一）培养学生解题时串联数学知识点的能力
概念图有一个基本的脉络框架，其实就是概念图在帮助学生解题时存在的两个基本组成要素——前因、后果.前因是数学问题提供的前提条件，后果是需要运用数学知识解出来的数学目标.利用概念图的这个框架，教师应该先列举出题目明确给出的前提条件及题目问题，并在前提条件和最终问题之间展开相关解题所需数学知识点的梳理和关系整理.然后让学生自己根据讲解绘制概念图，理清知识脉络，探索相关知识点组合形成的尽可能多的解题办法.学生在绘制概念图的过程中，可以增强串联数学知识的能力，提高解题的能力.
概念图在几何证明数学问题上的应用能够较好地体现其串联知识的优势.几何图形的相关证明在整个初中数学知识中占比较大，但是相关知识点和定理比较零碎、分散.学生常常因为不能很好地串联起几何定理中的知识点而在几何证明时漏洞百出.为了解决这个问题，教师在开展解题教学时，需要为学生展示几何图形的直观逻辑关系和理论体系.
比如，在“直角三角形全等的判定”这一章节中，教师利用例题向学生展示证明直角三角形全等的解答过程时，为了让学生对每个步骤对应的原理有清晰的认识，可以用概念图做证明步骤的划分.先证明三角形为直角，再证明任意一对应边和角是相等的，最后综合得出全等的结论.首先教师可以为学生展示单独证明三角形为直角的过程，并和题目中给出的数据结合起来，写出解题过程;然后在三角形全等的解题过程中，要先忽略已证的直角条件，将其看作一般三角形全等证明来解答.最后，將它们结合起来，这样既可以回顾证明三角形为直角三角形的解题过程，也可以回顾一般三角形全等的证明解题过程.教师从最开始划分三大步骤逐渐展开，形成了清晰完整的可视化知识网络图.
学生能够从概念图中直观地认识到证明直角三角形全等就是证明一般三角形全等的一个特殊情况.证明直角三角形全等时已经省略了一个证明一般三角形全等的对应角相等的条件，只需要证明任意一条对应边相等，就可以得出结论.因此，教师通过概念图梳理证明直角三角形全等的思路，能够帮助学生在解题出现记忆空白时，重新回到题目，并按部就班地求解.
（二）培养学生举一反三的敏捷思维
初中数学主观题的解答过程通常需要学生利用概念图梳理其中涉及数学知识点之间的关系，并按照顺序，明确地标注好解题步骤以及每个步骤需要展开的工作.这样能够使整个大题的解题过程框架被剥离出来，形成一套独立的解题思路，强化学生的解题能力，总结出适合学生自己的解题技巧.
但是，为了保证学生总结出的适合自己的解题技巧是正确规范的，教师在使用概念图展开解题教学时，要尽量规范概念图的绘制和逻辑关系的推理方向以及知识点的互相关系在图中的位置关系等.这样不是为了刻板化学生对概念图的认知，而是为了提醒学生在自己绘制概念图时要注意严谨、规范.只有这样，才能避免解题从一开始就出现方向性错误的情况.同时，教师要鼓励学生在课下的习题练习中，也尽可能地用绘制概念图的方法分析问题，从而提高运用概念图分析问题的能力，理顺知识点之间逻辑关系的熟练程度，培养举一反三的解题能力和敏捷的思辨能力.
比如，在求解以勾股定理为核心知识点的题目时，学生只要能够按照用勾股定理求解三角形的方法和顺序对遇到的问题进行简单分析，并用可视化的方式将知识点和对应的解题步骤用概念图的方式直观地展示在问题旁边，便能够解决大部分相关的问题.初中数学教材给出的用勾股定理求解三角形的解题思路是比较简单的，但也是最基础的.教材先回顾三角形的相关知识，再给出直角三角形的勾股定理定义，最后用例题将勾股定理的使用方法直观地表达出来.
有这样一道例题：在一块形状为直角梯形的草坪边上修建了一条从A到D到C的小路，AB为直角梯形两个直角的共同直角边.已知AB=12 m;AD=4 m;BC=9 m，一些路人为了走捷径，沿路线AC行走破坏了草坪，他们实际只少走了多少米？我们可以通过分析发现，其核心考查点就是勾股定理，如果将直角梯形补成长方形，就能用勾股定理求出DC的长度为13 m，而以AC构建在直角梯形内部的直角三角形又可以得到其长度为15 m，因此实际上破坏草坪少走的路为4 m 13 m-15 m=2 m.在此基础上，还会有相对而言更复杂的变形问题，但其实其核心考查内容并没有发生变化.如果学生会用概念图分析问题，不仅能够实现复杂问题的简单化，还能够从相关的变形题中剥离出最根本的考查点，从而按照逻辑顺序完成解答.
三、学生在解题中借助概念图增强解题基础和准确性
（一）更好地掌握基础知识，降低解题难度
初中数学需要记忆的知识点内容并不少，大部分都是数学专有名词的概念或定义、原理、数学计算公式等，内容枯燥，且比较容易出现知识点记混乱的状况.对于内容前后联系要求较高的数学学科，并不能像其他学科一样，将大知识块割裂成小知识块分开独立记忆.学生在求解综合性较强的数学问题时，需要不同知识点的环环相扣和层层递进.解答涉及知识点较多的题目时，教师应该用统筹的思想，用概念图的格式简单快速地罗列关键知识点和核心定义，以增强学生对知识的记忆.这样的方式能够较大程度地提高解题准确率，降低因为忘记数学公式或者定义而出现解题错误的概率.同时，利用概念图，学生可增强知识记忆，唤醒所学内容，能够在既定的数学解题过程中综合更多的数学知识点，以降低解题难度. （二）避免解题时出现思维定式，提高解题效率
学生在解答某些较为常见问题时会出现思维定式，这在初中阶段表现得尤为明显.在初中阶段，学生为了获得优异的成绩，继续下一阶段的学习，不仅需要教师的敦促，还需要自我监督和坚持.因此，学生在应试教育的约束和不正确的数学学习过程中接触的题型都较为固定，变化程度不大，这不利于培养学生解题的灵活思维，容易使学生形成思维定式.
思维定式是由于知识掌握得过于刻板，数学知识的日常运用不够灵活，解题时常常不愿创新思考而形成的一种潜意识的行为，这非常不利于学生数学素养的提升.因此，学生和教师都应该尽可能避免形成思维定式，应以综合、全面并且灵活的思维思考问题，避免由思维定式产生的习惯性或者由主观以为产生的解题失误.而概念图作为一种网络结构的知识导图，在数学解题时主要起到强化知识理解、梳理知识内容和关系的作用，其能够帮助学生在此基础上实现顺利解题.
比如，当教师教授完“比零小的数”这部分知识后，学生解答题目时就必须考虑数字前面的符号和数学运算符号的关系了，不能再以之前认知的那样，把所有数字都当作正数进行运算.教师在为学生讲解关于不等式求解的解题方法时，一定要先做概念图分析，让学生重视正负號的作用，明确不等式计算时的符号变化法则，避免学生因为思维定式而产生符号错误的问题.
学生在解题之前，做出关于正负数对比的概念图，并以此作为解题的参考，既清晰明了又极少出错.概念图只是简单地表达逻辑关系和重点知识之间联系的网络图，非常简单，并不会花费过多时间.因此，在数学解题教学时，教师选择将概念图应用到具体的题目解答讲解中，可向学生展示逻辑关系，指引解题方向，这是非常有价值的.
四、结束语
初中数学内容相对于未来更深层次的数学知识而言是比较基础的，但是初中数学知识内容也并不少.随着学习内容的增多，数学涵养会随之增加，学生的解题经验应该也会增加.但是，随着知识的积累，学生反而发现解题变得越来越困难，这是因为越简单的题目，能够行得通的道路往往越少;而积累的知识越多，解题的可行道路也会增多.学生靠混乱的知识记忆解题当然是很困难的，因此教师需要运用概念图展开解题教学，帮助学生整理知识，梳理知识脉络.学生通过教师教授的解题方法，绘制概念图，概括知识点，梳理步骤，可以找出适合自己的解题方法.总而言之，概念图是能够提高解题效率和准确度的具有重要影响力的学习策略，应该被广泛地应用到数学解题教学中去.
【参考文献】
[1]姜莺.概念图在初中数学教学中的实践[J].课程教育研究：外语学法教法研究，2019（24）：241.
[2]潘一跃.探讨初中数学解题教学中如何培养学生的纠错能力[J].当代家庭教育，2019（8）：89-90.
[3]彭中华.概念图在中小学数学教学中的应用策略探析[J].中华少年，2019（9）：66.
[4]聂永圣.概念图在初中数学单元复习课中的应用与探究[J].读天下（综合），2019（7）：125.