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华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的.
下面我就简单的介绍一下“数形结合”在数学解题中的应用．
一 方程、函数中的数形结合问题
1. 确定参数的范围
近几年的高考题中，有很多关于含参变量的问题，特别是确定参变量的取值范围问题，解决此类问题若是死算硬算既耽误时间正确率还不高，如用图形考虑，往往会起到事半功倍的效果．
例1 已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围．
［分析］ 若以代数方法需保证方程|x2-4x+3|+k=0在区间(-∞,1)∪(3.+∞)
内有两根，且方程|x2-4x+3|+k=0在区间［1,3］内有两根．而画出y1=|x2-4x+3|，
y2=-k的图象后,只需两图象有四个交点即可．
解:作y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象如图
只有当0
2. 确定函数的单调区间和奇偶性
在研究函数的单调性时，有时先画其图形，由图形直接得出结论会较为简便．
例2 求函数y=|x+2-1-x2|的单调区间
［分析］ 此题式子较为复杂，如用定义很难求出单调区间，但要是将式子化简后作出图象，将很容易得出答案．
解:原函数变形为y2=|x+2-1-x2|12+12则y2的几何意义为半圆x2+y2=1(0≤y≤1)上点P(x,1-x2)到直线x-y+2=0的距离
如图，过O作OH.垂直于直线x-y+2=0，垂足为H.
与半圆交点为P0，可得P0-22,22显然，
当x∈-1,-22时，y2递减当x∈-22,1时，y2递增
故函数的递减区间为-1.-22，递增区间为-22,1
二 最值中的数形结合问题
利用函数图象来求解最值问题是一种常用的方法，画出图形后，许多隐藏的条件会显而易见的．
例3 求函数y=sinx+2cosx-2的值域．
解:y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式y=y2-y1x2-x1，
y=sinx+2cosx-2P0(2,-2),P(cosx,sinx)的直线的斜率．
由于点P在单位圆x2+y2=1上（如图）显然，kP0A≤y≤kP0B
设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x-2)，则有|2k+2|k2+1=1
解得k=-4±73即kP0A=-4-73,kP0B=-4+73
故-4-73≤y≤-4+73
即函数值域为-4-73,-4+73
三 不等式中的数形结合问题
不等式f(x)>0相当于对应的曲线在轴的上方且与x轴没有交点，f(x)>g(x)相当于对应的曲线是f(x)上方的部分，理解了这两种不等式的图形所代表的意义，就可以根据图形很容易的证明不等式或解不等式了．
例4 解不等式x+2＞x
［常规解法］
原不等式等价于（Ⅰ） x≥0
x+2≥0
x+2>0或（Ⅱ）x<0
x+2≥0解（Ⅰ）得0≤x<2；
解（Ⅱ）得-2≤x<0综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x<0或0≤x<2}={x|-2≤x<2}
［数形结合解法］ 令y1=x+2,y2=x，则不等式x+2>x的解就是使y1=x+2的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标．如下图，不等式的解集为{x|xA≤x≤xB}，而xB可由x+2=x解得xB=2，xA=-2,故不等式的解集为{x|-2≤x<2}
四 其他的数形结合问题
还有很多题目若是用数形结合的思想解决会更方便
关于一些比较大小的题，如果把每个式子的值都算出来，既麻烦又不一定准确，如果通过画图找关系，则一目了然
例5 若0
［分析］ 若能将此三数视为函数y1=x、y2=sinx、y3=tanx在0x>sinx
数形结合的思想方法应用非常广泛，在此我仅介绍了常用的几种方法，常见的几种题型.
运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，所以我们要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的.
下面我就简单的介绍一下“数形结合”在数学解题中的应用．
一 方程、函数中的数形结合问题
1. 确定参数的范围
近几年的高考题中，有很多关于含参变量的问题，特别是确定参变量的取值范围问题，解决此类问题若是死算硬算既耽误时间正确率还不高，如用图形考虑，往往会起到事半功倍的效果．
例1 已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围．
［分析］ 若以代数方法需保证方程|x2-4x+3|+k=0在区间(-∞,1)∪(3.+∞)
内有两根，且方程|x2-4x+3|+k=0在区间［1,3］内有两根．而画出y1=|x2-4x+3|，
y2=-k的图象后,只需两图象有四个交点即可．
解:作y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象如图
只有当0
2. 确定函数的单调区间和奇偶性
在研究函数的单调性时，有时先画其图形，由图形直接得出结论会较为简便．
例2 求函数y=|x+2-1-x2|的单调区间
［分析］ 此题式子较为复杂，如用定义很难求出单调区间，但要是将式子化简后作出图象，将很容易得出答案．
解:原函数变形为y2=|x+2-1-x2|12+12则y2的几何意义为半圆x2+y2=1(0≤y≤1)上点P(x,1-x2)到直线x-y+2=0的距离
如图，过O作OH.垂直于直线x-y+2=0，垂足为H.
与半圆交点为P0，可得P0-22,22显然，
当x∈-1,-22时，y2递减当x∈-22,1时，y2递增
故函数的递减区间为-1.-22，递增区间为-22,1
二 最值中的数形结合问题
利用函数图象来求解最值问题是一种常用的方法，画出图形后，许多隐藏的条件会显而易见的．
例3 求函数y=sinx+2cosx-2的值域．
解:y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式y=y2-y1x2-x1，
y=sinx+2cosx-2P0(2,-2),P(cosx,sinx)的直线的斜率．
由于点P在单位圆x2+y2=1上（如图）显然，kP0A≤y≤kP0B
设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x-2)，则有|2k+2|k2+1=1
解得k=-4±73即kP0A=-4-73,kP0B=-4+73
故-4-73≤y≤-4+73
即函数值域为-4-73,-4+73
三 不等式中的数形结合问题
不等式f(x)>0相当于对应的曲线在轴的上方且与x轴没有交点，f(x)>g(x)相当于对应的曲线是f(x)上方的部分，理解了这两种不等式的图形所代表的意义，就可以根据图形很容易的证明不等式或解不等式了．
例4 解不等式x+2＞x
［常规解法］
原不等式等价于（Ⅰ） x≥0
x+2≥0
x+2>0或（Ⅱ）x<0
x+2≥0解（Ⅰ）得0≤x<2；
解（Ⅱ）得-2≤x<0综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x<0或0≤x<2}={x|-2≤x<2}
［数形结合解法］ 令y1=x+2,y2=x，则不等式x+2>x的解就是使y1=x+2的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标．如下图，不等式的解集为{x|xA≤x≤xB}，而xB可由x+2=x解得xB=2，xA=-2,故不等式的解集为{x|-2≤x<2}
四 其他的数形结合问题
还有很多题目若是用数形结合的思想解决会更方便
关于一些比较大小的题，如果把每个式子的值都算出来，既麻烦又不一定准确，如果通过画图找关系，则一目了然
例5 若0
［分析］ 若能将此三数视为函数y1=x、y2=sinx、y3=tanx在0
数形结合的思想方法应用非常广泛，在此我仅介绍了常用的几种方法，常见的几种题型.
运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，所以我们要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．