善总结巧归纳轻松求解函数值域

• 作 者: 武兴强
• 出 处: 甘肃教育
• 发表日期: 2009年20期
• 关键词: 中学数学 求解 函数 值域 方法

　　〔关键词〕 中学数学;求解;函数;值域;方法
　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2009)10(B)—0044—02
　　
　　 求解函数的值域是中学数学中一个非常重要的知识点,也是历年高考中的热点问题,笔者根据多年的教学经验,总结出求函数值域有以下十种常见方法,对于不同的题型可选用以下不同的方法,从而达到事半功倍的 2.配方法:对于可以转化为二次函数的形如f(x)=ax2+bx+c,x∈(m,n)的函数可以通过配方法求其值域.
　　 例1求函数y=3x2-x+2的值域.
　　 ∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),
　　 ∴y≤5,
　　 ∴原函数的值域为(-∞,5].
　　 解:∵ 1-x2 ≥0,∴ -1≤x≤1,
　　 ∴原函数的值域为[-1,1].
　　 注意:要直接求这个函数的值域比较困难,如果将函数中的无理式转化为学过的有理式,问题就比较容易解决了.一定要注意转化新旧未知数的定义域.
　　 解:原函数可化为:sinx-ycosx=1-2y,
　　数)的函数可以利用均值不等式来求其值域.
　　 ∴原函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
　　 注意:用均值不等式求函数的值域时,一定要注意均值不等式使用的三个条件:一正、二定、三相等.
　　7.单调性法:适用于定义域给定的形如y=ax2+bx+c[a,b,c不同时为零,x∈(m,n) ]的函数.
　　 例7 求函数y=3x2-x+2在x∈[1,3]上的值域.
　　 解:∵函数y=3x2-x+2在x∈[1,3]上单调递增,
　　 ∴当x=1时,原函数有最小值为4;当x=3时,原函数有最大值为26 .
　　 ∴函数y=3x2-x+2在x∈[1,3]上的值域为[4,26].
　　 8.数形结合:对于含绝对值的函数,常根据函数的几何图形,利用数形结合的方法来求值域.
　　 例8 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
　　 解法1(分段函数法或图象法)
　　 将函数化为分段函数形式:y=-2x+1(x<-1)3(-1≤x<2)2x-1(x≥2)
　　 由右图可知,函数的值域是{y|y≥3}.
　　 解法2(几何法)
　　 ∵函数y=|x+1|+|x+2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,
　　 ∴函数的值域是[3,+∞).
　　函数常通过求原函数的反函数,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出原函数的值域.
　　 所以函数的值域为(-1,1) .
　　 ②当y-2≠0 ,即y≠2时,∵x∈R时,方程(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0恒有实根,
　　 ∴?驻=(y+1)2-4(y-2)2≥0,
　　 ∴1≤y≤5 且 y≠2,
　　 综合①、②可知原函数的值域为[1,5].