【摘 要】
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题 已知O为△ABC的外心,AO或AO的延长线交BC于M,求证:BM:MC=sin2C:sin2B。 此即《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中的一题,本刊1995年第6期给出了简证,其实还有更绝的
【机 构】
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题 已知O为△ABC的外心,AO或AO的延长线交BC于M,求证:BM:MC=sin2C:sin2B。 此即《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中的一题,本刊1995年第6期给出了简证,其实还有更绝的证法如下: 证 作BE⊥AM于E,作CF⊥AM于F,显然∠AOC=2B,∠AOB=2C,OA=OB=OC=R,∵△BEM∽△CFM,∴BE/CF=BM/MC,sin2C/sin2B=((1/2)R~2sin∠AOB)/((1/2)R~2sin∠AOC)=S_△AOB/S_△AOC=BE/CF,
Problem O is known to be △ABC of the heart, AO or AO extension line BC in M, verification: BM: MC = sin2C: sin2B. This is the title of the “Selection of the first National Mathematical Olympiad Proposition Competition.” This issue was issued in the sixth issue of the Journal in 1995. Actually, there are even more proofs as follows: Proof of BE⊥AM in E, for CF ⊥AM in F, apparently ∠AOC=2B, ∠AOB=2C, OA=OB=OC=R, ∵ΔBEM∽ΔCFM, ∴BE/CF=BM/MC, sin2C/sin2B=((1/2) R~2sin∠AOB)/((1/2)R~2sin∠AOC)=S_ΔAOB/S_ΔAOC=BE/CF,
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