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数学解题既要步骤完整，又要过程简捷。解析几何是用代数方法研究几何问题，思路清晰，但过程往往比较烦琐，因此，减负是我们追寻的目标，换一种角度，可使解题明朗化。
一、活用定义
例1.化简方程■+■=10
解：由题意知，动点P（x，y）到F1（0，-3）、F2（0，3）的距离和等于10（10＞6），故点P的轨迹是椭圆，可令方程为■+■=1，则a=5，c=3，∴b2=16，∴方程可化为■+■=1。
二、巧设方程
例2.已知椭圆过两点P1（■，1），P2（-■，-■），求椭圆的标准方程。
解：设椭圆的方程为Ax2+By2=1，则有6A+B=13A+2B=1，解之A=■B=■，∴椭圆的标准方程为■+■=1。
三、巧用直线系，回避非必求量
例3.若两直线l1：y=k（x+3）-2，l2：x+4y-4=0的交点在第一象限，求k的范围。
解：由于l1：y=k（x+3）-2表示恒过定点（-3，-2）的直线系，再结合图象，很容易得k的范围■πkπ1。
四、引参数巧设点
例4.已知椭圆■+■=1与x、y轴正向分别交于A、B两点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求点P的坐标。
解：设P（acosθ，bsinθ）且0＜θ＜■，则SOAPB=■absinθ+■bacosθ=■absin(θ+■)
∴当θ=■时,Smax=■ab,此时P(■a，■b)。
五、构建解几模型，活用几何意义
例5.已知x+y+1≥0，求（x+1）2+（y+1）2的最小值。
解：由题意，转化为求区域内的点与点（-1，-1）的距离的平方的最小值，显然易知点（-1，-1）到直线x+y+1=0的距离的平方即为所求，即■。
六、数形结合
例6.对于k∈R，直线l：y=kx+b和椭圆■+■=1恒有公共点，求b的范围。
解：∵k∈R。∴直线l：y=kx+b恒过p（0，b），由题意，只需p（0，b）恒在椭圆内（或椭圆上），故■≤1，∴-2≤b≤2。
七、等价化归
例7.已知椭圆■+■=1内有一点p（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|Mp|+2|MF|的最小值。
解：易求椭圆的右准线l的方程为x=4，由椭圆的第二定义可知：d=2|MF|，
∴|MP|+2|MF|=|MP|+d，由平面几何知识可知，当PM⊥l时，|MP|+d最小，且最小值为p到l的距离3，即|MP|+2|MF|的最小值为3。
八、设而不求
例8.过P（3，2）作直线与椭圆4x2+9y2=144交于A、B两点，若P为AB的中点，求直线AB的方程。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则4x12+9y12=144(1)4x22+9y22=144(2)
（1）-（2）得4×6（x1-x2）+9×4（y1-y2）=0
∵x1≠x2∴■=-■
∴直线AB的方程为y-2=-■(x-3)即2x+3y-12=0
经检验，方程即为所求。
九、巧用向量
例9.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程。
解：在切线上任取一点N（x,y），则向量■=（x-x0，y-y0）
■=（x0,y0）， ∵■⊥■，∴（x0,y0）·（x-x0,y-y0）=0
评析：对于本题解法很多，这里借助于向量垂直的充要条件，避免了斜率k的讨论，这也体现了向量与解析几何的联系。
一、活用定义
例1.化简方程■+■=10
解：由题意知，动点P（x，y）到F1（0，-3）、F2（0，3）的距离和等于10（10＞6），故点P的轨迹是椭圆，可令方程为■+■=1，则a=5，c=3，∴b2=16，∴方程可化为■+■=1。
二、巧设方程
例2.已知椭圆过两点P1（■，1），P2（-■，-■），求椭圆的标准方程。
解：设椭圆的方程为Ax2+By2=1，则有6A+B=13A+2B=1，解之A=■B=■，∴椭圆的标准方程为■+■=1。
三、巧用直线系，回避非必求量
例3.若两直线l1：y=k（x+3）-2，l2：x+4y-4=0的交点在第一象限，求k的范围。
解：由于l1：y=k（x+3）-2表示恒过定点（-3，-2）的直线系，再结合图象，很容易得k的范围■πkπ1。
四、引参数巧设点
例4.已知椭圆■+■=1与x、y轴正向分别交于A、B两点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求点P的坐标。
解：设P（acosθ，bsinθ）且0＜θ＜■，则SOAPB=■absinθ+■bacosθ=■absin(θ+■)
∴当θ=■时,Smax=■ab,此时P(■a，■b)。
五、构建解几模型，活用几何意义
例5.已知x+y+1≥0，求（x+1）2+（y+1）2的最小值。
解：由题意，转化为求区域内的点与点（-1，-1）的距离的平方的最小值，显然易知点（-1，-1）到直线x+y+1=0的距离的平方即为所求，即■。
六、数形结合
例6.对于k∈R，直线l：y=kx+b和椭圆■+■=1恒有公共点，求b的范围。
解：∵k∈R。∴直线l：y=kx+b恒过p（0，b），由题意，只需p（0，b）恒在椭圆内（或椭圆上），故■≤1，∴-2≤b≤2。
七、等价化归
例7.已知椭圆■+■=1内有一点p（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|Mp|+2|MF|的最小值。
解：易求椭圆的右准线l的方程为x=4，由椭圆的第二定义可知：d=2|MF|，
∴|MP|+2|MF|=|MP|+d，由平面几何知识可知，当PM⊥l时，|MP|+d最小，且最小值为p到l的距离3，即|MP|+2|MF|的最小值为3。
八、设而不求
例8.过P（3，2）作直线与椭圆4x2+9y2=144交于A、B两点，若P为AB的中点，求直线AB的方程。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则4x12+9y12=144(1)4x22+9y22=144(2)
（1）-（2）得4×6（x1-x2）+9×4（y1-y2）=0
∵x1≠x2∴■=-■
∴直线AB的方程为y-2=-■(x-3)即2x+3y-12=0
经检验，方程即为所求。
九、巧用向量
例9.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程。
解：在切线上任取一点N（x,y），则向量■=（x-x0，y-y0）
■=（x0,y0）， ∵■⊥■，∴（x0,y0）·（x-x0,y-y0）=0
评析：对于本题解法很多，这里借助于向量垂直的充要条件，避免了斜率k的讨论，这也体现了向量与解析几何的联系。