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摘 要：随着人类社会的发展，关于数学的功能的认识发生了深刻的变化。数学教育也从“精英数学”时期过渡到“大众数学”时期。在精英教育时期，数学的功能是用于淘汰的“筛子”的功能，而大众数学时期数学的功能则是提高人们智力水平的“泵”。在基础教育开展轰轰烈烈的新课改的今天，高等数学教学过程中如何培养学生的数学意识和数学应用习惯是高校教师所面临的一个重要课题。本文在总结高等数学教学经验的基础上提出关于培养学生数学意识和数学应用习惯的教学建议。
关键词：数学意识；数学应用习惯
本文主要是结合具体的高等数学教学内容就如何培养学生的数学意识和数学应用习惯提出了具体的教学建议。
1在教学过程中重视创设问题情境
数学教育心理学理论指出，学生的创造力是在面临困难和问题情境时被激发的，为此，在数学教学中呈现实际问题背景是非常重要的。 弗赖登塔尔强调数学教育的过程就是“数学化”和“形式化”的过程。数学化是数学教学的重要任务之一。简单地说就是把实际问题转化为数学问题。在数学教育过程中培养学生数学化能力，就要重视数学概念提出的实际背景，数学概念的实际背景是学生理解和掌握数学概念的抓手。通过长期的训练可以培养学生的数学意识和数学应用习惯，这是培养学生数学应用能力和创新能力的前提。
案例1，在讲授数列极限的概念时，教学要提出这样的问题：当[n]无限增大时（[n→∞]），数列[un]能否与某一常数[A]无限接近？如果[un]能与[A]无限接近，在数学上如何描述？
在这样的问题情境下，再通过具体例子[un=2n+（-1）n2n]，当[n→∞]时，讨论数列[un]的变化趋势，即[un=2n+（-1）n2n→2]（[n→∞]）。
在研究数列[un]的变化趋势时，教师要提出这样的问题：“一般地我们怎样描述两个常数[a，b]的接近程度呢？用[a-b]来描述，这为学生理解[数列极限的“ε-N”语言]奠定基础。在通过对数列[un=2n+（-1）n2]的极限探究的基础上，给出数列极限的定义，数列的极限的概念是函数极限概念的特殊情况，数列极限的教学为函数概念的教学奠定基础。这样的教学不仅有利于学生理解数列极限的概念，而且培养学生能够用数学的眼光从数学的角度提出问题和解决问题，进而掌握数学思想和方法。这本身就是数学化的过程，这是培养学生数学意识和数学应用习惯的有效手段。当数学概念或数学理论形成时，就实现了数学教学过程的“形式化”目标。
2 在数学教学过程中重视明确教学目标
在数学教学过程中，明确教学实际问题与数学教学内容之间的关系，有利于学生形成数学化思想和能力，并且有利于学生整体的把握数学内容，便于形成知识结构。
案例2，在一元函数微分学教学过程中，告诉学生我们主要研究以下三个方面的内容：
2.1由于函数自变量[x]发生的微小变化而引起的函数[y=f（x）]变化的“快慢”问题——导数问题；
2.2由于自变量[x]的微小改变（增量[Δx很小时]）引起的[y=f（x）]改变量[Δy]的近似值问题-----微分问题；
2.3如何求函数[y=f（x）]的导数和微分——微分法问题。
这为学生的学习研究指明了方向，为学生实现学习目标起到引领和激励作用。
通过以下两个实际问题的解决提出导数的概念：
问题一，求过曲线上某一点处的切线的斜率问题；
问题二，求变速运动过程中某一时刻的瞬时速度问题。
通过探究，我们发现过曲线上某一点处的切线的斜率是过该点的割线的斜率的极限[LimΔx→0ΔyΔx=LimΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，变速运动过程中某一时刻的瞬时速度是平均速度的极限[LimΔt→0ΔVΔx=LimΔt→0V（t0+Δt）-V（t0）Δt]。
在解决上面两个实际问题的教学过程中，我们通过两个实际问题的解决发现最后都归结为求函数增量与自变量增量的比的极限，然后抛弃问题的实际背景，抽象出两个问题解决过程的本质提出导数的概念，即函数[y=f（x）]在[x0]点的某邻域内有定义，在该邻域内任意给定[x0]一个[x]改变量[Δx]，得到相对应的函数的增量[Δy=f（x+Δx）-f（x）]。如果极限[LimΔx→0ΔyΔx=LimΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]存在，则称函数[y=f（x）]在[x0]点处可导，并称此极限为[y=f（x）]在[x0]的导数。
3 在数学教学过程中重视数学符号的教学
通过在教学中对学生的访谈了解到，有一部分学生由于对数学符号的意义理解不够，进而导致了后续学习的困难。波利亚强调“说和想是密切联系的，文字的使用有助于思维”。“图形和符号与数学思维紧密联系，它们的使用有助于思维。”“解题中的一个重要的步骤就是选择符号”。
例如，导数的符号[y′；f′（x）；dydx；df（x）dx]。在解题过程中，我们发现这四种表示导数的符号各有千秋。但是有的学生不能准确记忆这四种表示导数的符号，在阅读及解题时出现困难。
例如，不定积分[f（x）dx]它表示的就是被积函数[f（x）]的全体原函数。如果学生能够掌握不定积分符号的意义和原函数的概念，就扫清了不定积分学习的障碍。
例如定积分[abf（x）dx]，它所表示的几何意义就是在[xoy]面上由直线[x=a，x=b，x轴以及曲线y=f（x）]所围成的曲边梯形的面积。学生如果能够理解这一点，对于掌握定积分的性质具有重要的意义。例如对
[abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx]、[abf（x）dx≤abg（x）dx（f（x）≤g（x））]等的理解就非常直观化，定积分的实际意义就成为了学生掌握定积分的抓手。
在数学教学过程中，如何培养学生的数学意识和数学应用习惯，这是数学教学的重要目标。培养学生用数学的眼光、从数学的角度看问题，并善于把实际问题转化为数学问题，进一步培养学生解决问题的能力，这是一个需要不断研究解决的课题。义务教育新课程标准中对其提出了具体的要求。关于数学化笛卡尔模式非常具有一般性：“把任何问题归结为数学问题；把任何数学问题归结为代数问题；把任何代数问题归结为解方程问题”。我们可以在笛卡尔模式的启发下，把第三个环节推广到把任何代数问题归结为函数问题、归结为不等式问题、归结为概率问题或几何问题等。本文只是根据自己对高等数学教学的思考所提出的几点建议，是对培养学生数学意识和应用习惯的实践和思考。
参考文献：
[1]万阿英主编.新编高等数学.大连理工出版社，2009.1
[2]波利亚.怎样解题.上海科技出版社，2002.6
本文系中国教师发展基金课题“数学意识及数学应用习惯的培养研究”，课题号：CTF120831。
关键词：数学意识；数学应用习惯
本文主要是结合具体的高等数学教学内容就如何培养学生的数学意识和数学应用习惯提出了具体的教学建议。
1在教学过程中重视创设问题情境
数学教育心理学理论指出，学生的创造力是在面临困难和问题情境时被激发的，为此，在数学教学中呈现实际问题背景是非常重要的。 弗赖登塔尔强调数学教育的过程就是“数学化”和“形式化”的过程。数学化是数学教学的重要任务之一。简单地说就是把实际问题转化为数学问题。在数学教育过程中培养学生数学化能力，就要重视数学概念提出的实际背景，数学概念的实际背景是学生理解和掌握数学概念的抓手。通过长期的训练可以培养学生的数学意识和数学应用习惯，这是培养学生数学应用能力和创新能力的前提。
案例1，在讲授数列极限的概念时，教学要提出这样的问题：当[n]无限增大时（[n→∞]），数列[un]能否与某一常数[A]无限接近？如果[un]能与[A]无限接近，在数学上如何描述？
在这样的问题情境下，再通过具体例子[un=2n+（-1）n2n]，当[n→∞]时，讨论数列[un]的变化趋势，即[un=2n+（-1）n2n→2]（[n→∞]）。
在研究数列[un]的变化趋势时，教师要提出这样的问题：“一般地我们怎样描述两个常数[a，b]的接近程度呢？用[a-b]来描述，这为学生理解[数列极限的“ε-N”语言]奠定基础。在通过对数列[un=2n+（-1）n2]的极限探究的基础上，给出数列极限的定义，数列的极限的概念是函数极限概念的特殊情况，数列极限的教学为函数概念的教学奠定基础。这样的教学不仅有利于学生理解数列极限的概念，而且培养学生能够用数学的眼光从数学的角度提出问题和解决问题，进而掌握数学思想和方法。这本身就是数学化的过程，这是培养学生数学意识和数学应用习惯的有效手段。当数学概念或数学理论形成时，就实现了数学教学过程的“形式化”目标。
2 在数学教学过程中重视明确教学目标
在数学教学过程中，明确教学实际问题与数学教学内容之间的关系，有利于学生形成数学化思想和能力，并且有利于学生整体的把握数学内容，便于形成知识结构。
案例2，在一元函数微分学教学过程中，告诉学生我们主要研究以下三个方面的内容：
2.1由于函数自变量[x]发生的微小变化而引起的函数[y=f（x）]变化的“快慢”问题——导数问题；
2.2由于自变量[x]的微小改变（增量[Δx很小时]）引起的[y=f（x）]改变量[Δy]的近似值问题-----微分问题；
2.3如何求函数[y=f（x）]的导数和微分——微分法问题。
这为学生的学习研究指明了方向，为学生实现学习目标起到引领和激励作用。
通过以下两个实际问题的解决提出导数的概念：
问题一，求过曲线上某一点处的切线的斜率问题；
问题二，求变速运动过程中某一时刻的瞬时速度问题。
通过探究，我们发现过曲线上某一点处的切线的斜率是过该点的割线的斜率的极限[LimΔx→0ΔyΔx=LimΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]，变速运动过程中某一时刻的瞬时速度是平均速度的极限[LimΔt→0ΔVΔx=LimΔt→0V（t0+Δt）-V（t0）Δt]。
在解决上面两个实际问题的教学过程中，我们通过两个实际问题的解决发现最后都归结为求函数增量与自变量增量的比的极限，然后抛弃问题的实际背景，抽象出两个问题解决过程的本质提出导数的概念，即函数[y=f（x）]在[x0]点的某邻域内有定义，在该邻域内任意给定[x0]一个[x]改变量[Δx]，得到相对应的函数的增量[Δy=f（x+Δx）-f（x）]。如果极限[LimΔx→0ΔyΔx=LimΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx]存在，则称函数[y=f（x）]在[x0]点处可导，并称此极限为[y=f（x）]在[x0]的导数。
3 在数学教学过程中重视数学符号的教学
通过在教学中对学生的访谈了解到，有一部分学生由于对数学符号的意义理解不够，进而导致了后续学习的困难。波利亚强调“说和想是密切联系的，文字的使用有助于思维”。“图形和符号与数学思维紧密联系，它们的使用有助于思维。”“解题中的一个重要的步骤就是选择符号”。
例如，导数的符号[y′；f′（x）；dydx；df（x）dx]。在解题过程中，我们发现这四种表示导数的符号各有千秋。但是有的学生不能准确记忆这四种表示导数的符号，在阅读及解题时出现困难。
例如，不定积分[f（x）dx]它表示的就是被积函数[f（x）]的全体原函数。如果学生能够掌握不定积分符号的意义和原函数的概念，就扫清了不定积分学习的障碍。
例如定积分[abf（x）dx]，它所表示的几何意义就是在[xoy]面上由直线[x=a，x=b，x轴以及曲线y=f（x）]所围成的曲边梯形的面积。学生如果能够理解这一点，对于掌握定积分的性质具有重要的意义。例如对
[abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx]、[abf（x）dx≤abg（x）dx（f（x）≤g（x））]等的理解就非常直观化，定积分的实际意义就成为了学生掌握定积分的抓手。
在数学教学过程中，如何培养学生的数学意识和数学应用习惯，这是数学教学的重要目标。培养学生用数学的眼光、从数学的角度看问题，并善于把实际问题转化为数学问题，进一步培养学生解决问题的能力，这是一个需要不断研究解决的课题。义务教育新课程标准中对其提出了具体的要求。关于数学化笛卡尔模式非常具有一般性：“把任何问题归结为数学问题；把任何数学问题归结为代数问题；把任何代数问题归结为解方程问题”。我们可以在笛卡尔模式的启发下，把第三个环节推广到把任何代数问题归结为函数问题、归结为不等式问题、归结为概率问题或几何问题等。本文只是根据自己对高等数学教学的思考所提出的几点建议，是对培养学生数学意识和应用习惯的实践和思考。
参考文献：
[1]万阿英主编.新编高等数学.大连理工出版社，2009.1
[2]波利亚.怎样解题.上海科技出版社，2002.6
本文系中国教师发展基金课题“数学意识及数学应用习惯的培养研究”，课题号：CTF120831。