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摘 要： 高中数学中数列是一个难点，难就难在它的捉摸不定、毫无头绪，作者针对高中数列中求通项公式问题总结一些巧妙求解方法.
关键词： 数列 数列通项 叠加法 累乘法
数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，求数列的通项公式是常考的一个知识点，也是数列的一个难点，因此掌握好数列的通项公式求法不仅有利于掌握好数列知识，更有利于在高考中取得好成绩.本文介绍了中学数学中有关巧求数列通项公式的方法.
1.数列的有关概念
数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列（sequence of number），如1，2，4，6，…
数列的项：数列中的每个数都叫做这个数列的项（term）.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.
等差数列的概念及通项公式：从数列的第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫公差，一般用d表示，其通项公式为：a=a （n-1）d .
等比数列的概念及通项公式：如果一个数列，从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫公比，一般用q表示，其通项公式为：a=aq.
2.巧求数列通项公式的几种方法
数列的通项公式的求法是数列这章的难点，下面我就简单递推数列的通项公式的做法做一些介绍.
2.1叠加法
对于形如a=a f（n）型的数列，可用叠加法求出通项公式.
例1 已知数列{a}满足a=a n，a=1，求a.
解析：由a=a n得：a-a=n，于是有：
a=（a-a） （a-a） （a-a） … （a-a） （a-a） a
=（n-1） （n-2） （n-3） … 2 1 a
=1
所以通项公式为：a=1 .
2.2 累乘法
对于形如a=a·f（n）型的数列，可用此法.
例2 已知数列{a}满足na=（n 1）a，a=4，求a.
解析： a=···…···a
=···…····a
=×4
=2（n 1）
所以通项公式为a=2（n 1）.
2.3 转化为等差数列的求法
对于形如a=ra r的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形为f（n 1）-f（n）=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知f（n）是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，从而求出a的通项公式.
例3：已知数列{a}满足a=2a 2，a=2，求a.
解析：由a=2a 2两边除以2，可化为：
= 1，
设b=，则b=b 1，b=1，根据等差数列的定义知，数列{b}是一个以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式可得：b=1 （n-1）·1，
由b=可得a=n·2，
所以数列的通项公式为：a=n·2.
2.4 转化为等比数列的求法
形如a=ca d（d为常数）型的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待下系数等方法，将递推公式变形为f（n 1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义，求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，求出的通项公式.
例4：已知数列{a}满足a=2a 3，a=1，求a.
解析：设a x=2（a x），对比原式得出，x=3，
设b=a 3，则b=4，说明{b}是一个以4为首项，2为公比的等比数列.
根据等比数列的通项公式得， b=4·2=2，
所以，数列通项公式为a=2-3.
2.5 转化后可用叠加法
对于形如a=a·q的数列，先转化，再用叠加法求通项公式.
例5：已知数列{a}中，a=1，a=a·2，求{a}的通项.
解析：由a=a·2，两边取对数，得：
lga=lga nlg2
∴lga=（lga-lga） （lga-lga） … （lga-lga） lga
∴lga=（n-1）lg2 （n-2）lg2 … lg2 lg1
=lg2[（n-1） （n-2） … 1]
=lg2·
=lg2
∴a=10=2
注：此题若取以2为底的对数更简单.
3.结语
对于数列求通项问题，首先看是不是等差或等比数列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用叠加法和累乘法，然后再看能否转换为等差或等比数列，再复杂点的就先转化再叠加求通项公式.
参考文献：
[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.数学必修5[M]. 北京：人民教育出版社，2014.6.
关键词： 数列 数列通项 叠加法 累乘法
数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，求数列的通项公式是常考的一个知识点，也是数列的一个难点，因此掌握好数列的通项公式求法不仅有利于掌握好数列知识，更有利于在高考中取得好成绩.本文介绍了中学数学中有关巧求数列通项公式的方法.
1.数列的有关概念
数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列（sequence of number），如1，2，4，6，…
数列的项：数列中的每个数都叫做这个数列的项（term）.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.
等差数列的概念及通项公式：从数列的第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数叫公差，一般用d表示，其通项公式为：a=a （n-1）d .
等比数列的概念及通项公式：如果一个数列，从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，这样的数列称为等比数列，这个常数叫公比，一般用q表示，其通项公式为：a=aq.
2.巧求数列通项公式的几种方法
数列的通项公式的求法是数列这章的难点，下面我就简单递推数列的通项公式的做法做一些介绍.
2.1叠加法
对于形如a=a f（n）型的数列，可用叠加法求出通项公式.
例1 已知数列{a}满足a=a n，a=1，求a.
解析：由a=a n得：a-a=n，于是有：
a=（a-a） （a-a） （a-a） … （a-a） （a-a） a
=（n-1） （n-2） （n-3） … 2 1 a
=1
所以通项公式为：a=1 .
2.2 累乘法
对于形如a=a·f（n）型的数列，可用此法.
例2 已知数列{a}满足na=（n 1）a，a=4，求a.
解析： a=···…···a
=···…····a
=×4
=2（n 1）
所以通项公式为a=2（n 1）.
2.3 转化为等差数列的求法
对于形如a=ra r的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形为f（n 1）-f（n）=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知f（n）是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，从而求出a的通项公式.
例3：已知数列{a}满足a=2a 2，a=2，求a.
解析：由a=2a 2两边除以2，可化为：
= 1，
设b=，则b=b 1，b=1，根据等差数列的定义知，数列{b}是一个以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式可得：b=1 （n-1）·1，
由b=可得a=n·2，
所以数列的通项公式为：a=n·2.
2.4 转化为等比数列的求法
形如a=ca d（d为常数）型的数列，运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待下系数等方法，将递推公式变形为f（n 1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义，求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与a的关系，求出的通项公式.
例4：已知数列{a}满足a=2a 3，a=1，求a.
解析：设a x=2（a x），对比原式得出，x=3，
设b=a 3，则b=4，说明{b}是一个以4为首项，2为公比的等比数列.
根据等比数列的通项公式得， b=4·2=2，
所以，数列通项公式为a=2-3.
2.5 转化后可用叠加法
对于形如a=a·q的数列，先转化，再用叠加法求通项公式.
例5：已知数列{a}中，a=1，a=a·2，求{a}的通项.
解析：由a=a·2，两边取对数，得：
lga=lga nlg2
∴lga=（lga-lga） （lga-lga） … （lga-lga） lga
∴lga=（n-1）lg2 （n-2）lg2 … lg2 lg1
=lg2[（n-1） （n-2） … 1]
=lg2·
=lg2
∴a=10=2
注：此题若取以2为底的对数更简单.
3.结语
对于数列求通项问题，首先看是不是等差或等比数列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用叠加法和累乘法，然后再看能否转换为等差或等比数列，再复杂点的就先转化再叠加求通项公式.
参考文献：
[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.数学必修5[M]. 北京：人民教育出版社，2014.6.