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现行教材对诸多学习内容的教学目标在配套的教师教学用书中常常表达为如下的形式：“使学生感知了解吨的含义”、“ 感知生活中的对称现象” 、“丰富学生的感知”、“感受简单的排列规律”、“让学生感悟到数学与生活的联系”……教师教学用书对学生的要求很多的描述都用到了感知、感受、感悟等词。
教学中仅靠感悟无法让学生独立解决问题时，该如何是好呢？
一、感悟很混沌，“比较”变清晰
我在教学四年级下册《找规律》时就深深体会到感悟的能量是有限的，仅靠感悟不能让学生独立解决问题。
《找规律》单元的内容主要分两部分：1、探索事物搭配的规律，如例1；2、探索事物排列的规律，如例2。
例1要学生探索的事物搭配的规律其实是乘法原理，就是指完成一件事情有若干个步骤（每个步骤不能独立完成这件事情），每个步骤有若干种方法，依次把若干种方法相乘就得到完成一件事情共有多少种搭配方法。例2以及其后的练习题则是排列与组合的问题。排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列有序的，组合是无序的。教材都是引导学生先操作或画图，然后列出算式寻找答案的。在课堂上学生感悟得不错，并没有什么困难。
意外出现在第二节课。学生学完了探索事物排列的规律之后，在独立完成配套的练习册时。突然，有一学习能力还不错的男生提问：“这题怎么做呀？” “有三位数学老师分别是王老师、李老师、张老师和两位语文老师分别是钱老师、吴老师。现在要选出一位数学老师和一位语文老师，能有几种选法？”全班只有一名男生回答了上来。我这才意识到，两堂课上学生虽然深入地探索了规律，但是真正运用起来仅靠感悟是不够的，必须把两者进行比较辨析。所以，我立即请学生把两天所学的规律进行比较。如果有2类物体或2个步骤，先选一类再选另一类或先完成第一个步骤再完成第二个步骤，这就属于事物的搭配问题。那么，就可以用乘法计算：一类物体（第一个步骤）的数量×另一类物体（第二个步骤）的数量=搭配的方法数。如果是一类物体在排队或是在一类物体中进行选择，事情一个步骤就能完成的话，这就是物体的排列问题。其中，还有两种不同的情况：一是每一次的排队或选择都可以交换位置与顺序有关；二是不可以交换位置与顺序无关。可以先画一画图来理解题意，再列出算式。如：“3人每两人通一次电话，共通了几次？”这是排列问题，并且2人间只要通一次电话，不能换位置，如图1，可以列式为2+1=3（次）。“3人互相寄一张贺卡，一共寄了几张？”这也是排列问题，但2人间要寄2张，能换位置，如图二。也可用字母来表示换位置的情况：三人用ABC表示，AB、BA、AC、CA、BC、CB。算式可以列为3×2=6（次）
图1 图2
规律是蕴含在大量同类现象背后的共同本质，学生找出的规律其实也就是建立一种数学模型。经过比较，学生豁然开朗。这样，在感悟的基础上，学生通过两种不同情况的本质比较，就进一步建立了找规律的数学模型，体会到尽管数学问题是千变万化的，解决问题的实质是不变的。在比较之中侧重于学生的数学思考，把学生对找规律的初步感悟由混沌变清晰。
二、感悟很肤浅，“作图”显深意
在教学轴对称图形时，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴以及一般的平行四边形不是轴对称图形，教师往往通过折纸直观探索长方形、正方形对称轴的条数，这些显而易见的知识对于学生来说掌握并不难。同样，用折纸的方法也能让学生清楚地发现一般的平行四边形不是轴对称图形，无需用过多的时间去探究。这些看似简单的知识，学生往往在课堂上感知了、明白了，但过后的练习所反映的情况是错误频繁出现。可见，仅仅依靠折纸的操作来对对称轴进行进一步的认识过于肤浅。这就必须通过其他途径让浅显的感悟外化、抽象化，作图不失为一种好方法。
首先，在学生通过折纸探索长方形2条对称轴、并尝试画出长方形的对称轴之后，教师可以让学生观察画出对称轴之后的长方形，引导学生发现轴对称图形的本质特征。如：对称轴两边相对的两个点到对称轴的距离相等、这两个对应点的连线垂直于对称轴。接着可以让学生辨析：“为什么长方形的对角线不是对称轴？”在此基础上进行作图、测量就会发现以一条对角线为折痕两侧对应点的连线不与它垂直，即另一条对角线不与它垂直。所以，长方形的对角线不是对称轴。同理可以让学生作图辨析正方形的情况。相对于长方形、正方形是轴对称图形而言，一般的平行四边形不是轴对称图形这一常识对于学生来说在认知方面有很大的困难。同样，可以让学生在折纸操作的基础上充分猜测、画图尝试。
《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单独的依赖模仿与记忆”，作图探索也该是学生学习数学的重要方式。在学生经历长方形，正方形等图形对称轴的探索过程，利用作图加深对轴对称图形特征的认识，发展空间观念，同时也培养了学生大胆猜想、动笔画图、实践验证的能力。
三、感悟挺茫然，“想象”来帮忙
在教学四年级下册“旋转”一课时，例题是利用课件直观地演示了汽车转杆旋转的情况，让学生从中感悟顺时针方向和逆时针方向旋转的含义。既然这两种旋转的方向的名称里都有“时针”二字，如果把概念的认识与钟面密切结合起来进行，学生应该更容易接受和掌握。
图1 图2
如图1：转杆打开就是从3点钟方向旋转到了12点钟方向，即逆时针方向旋转了90°。转杆关闭就是从12点钟方向旋转到了3点钟方向，即顺时针方向旋转了90°。把例题图中的转杆放置到钟面之中，让抽象的旋转有了依托的背景。在观察了转杆在钟面图中顺时针、逆时针旋转的情形后，可以让学生闭上眼睛想象转杆的转动情况。然后，把直角三角形绕A点旋转90°，如圖2，在此基础上脱离钟面的直观图示，可以展开想象来帮助理解旋转。引导学生在头脑中想象出钟面作为背景，整个三角形按顺时针方向旋转90°后所在的位置。让学生在大脑中逐渐建立起准确、鲜明的感知之后，学生就可以通过想象在头脑中完成图形的整体旋转了。
通过想象的助力，让学生经历了从实物操作到想象操作的训练，加深了对旋转的认识、形成了相应的表象，从而降低了学习旋转的难度，逐步提升了空间想象的能力。
当然，数学教学方法是多样化的。在学生充分感悟的基础上，教师合理选择和优化教学方法才能更有效地实施教学、更有利于学生的发展。
参考文献：
[1]张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]曹才翰、章建跃主编《数学教育心理学》，北京师范大学出版社，2006年版
教学中仅靠感悟无法让学生独立解决问题时，该如何是好呢？
一、感悟很混沌，“比较”变清晰
我在教学四年级下册《找规律》时就深深体会到感悟的能量是有限的，仅靠感悟不能让学生独立解决问题。
《找规律》单元的内容主要分两部分：1、探索事物搭配的规律，如例1；2、探索事物排列的规律，如例2。
例1要学生探索的事物搭配的规律其实是乘法原理，就是指完成一件事情有若干个步骤（每个步骤不能独立完成这件事情），每个步骤有若干种方法，依次把若干种方法相乘就得到完成一件事情共有多少种搭配方法。例2以及其后的练习题则是排列与组合的问题。排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列有序的，组合是无序的。教材都是引导学生先操作或画图，然后列出算式寻找答案的。在课堂上学生感悟得不错，并没有什么困难。
意外出现在第二节课。学生学完了探索事物排列的规律之后，在独立完成配套的练习册时。突然，有一学习能力还不错的男生提问：“这题怎么做呀？” “有三位数学老师分别是王老师、李老师、张老师和两位语文老师分别是钱老师、吴老师。现在要选出一位数学老师和一位语文老师，能有几种选法？”全班只有一名男生回答了上来。我这才意识到，两堂课上学生虽然深入地探索了规律，但是真正运用起来仅靠感悟是不够的，必须把两者进行比较辨析。所以，我立即请学生把两天所学的规律进行比较。如果有2类物体或2个步骤，先选一类再选另一类或先完成第一个步骤再完成第二个步骤，这就属于事物的搭配问题。那么，就可以用乘法计算：一类物体（第一个步骤）的数量×另一类物体（第二个步骤）的数量=搭配的方法数。如果是一类物体在排队或是在一类物体中进行选择，事情一个步骤就能完成的话，这就是物体的排列问题。其中，还有两种不同的情况：一是每一次的排队或选择都可以交换位置与顺序有关；二是不可以交换位置与顺序无关。可以先画一画图来理解题意，再列出算式。如：“3人每两人通一次电话，共通了几次？”这是排列问题，并且2人间只要通一次电话，不能换位置，如图1，可以列式为2+1=3（次）。“3人互相寄一张贺卡，一共寄了几张？”这也是排列问题，但2人间要寄2张，能换位置，如图二。也可用字母来表示换位置的情况：三人用ABC表示，AB、BA、AC、CA、BC、CB。算式可以列为3×2=6（次）
图1 图2
规律是蕴含在大量同类现象背后的共同本质，学生找出的规律其实也就是建立一种数学模型。经过比较，学生豁然开朗。这样，在感悟的基础上，学生通过两种不同情况的本质比较，就进一步建立了找规律的数学模型，体会到尽管数学问题是千变万化的，解决问题的实质是不变的。在比较之中侧重于学生的数学思考，把学生对找规律的初步感悟由混沌变清晰。
二、感悟很肤浅，“作图”显深意
在教学轴对称图形时，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴以及一般的平行四边形不是轴对称图形，教师往往通过折纸直观探索长方形、正方形对称轴的条数，这些显而易见的知识对于学生来说掌握并不难。同样，用折纸的方法也能让学生清楚地发现一般的平行四边形不是轴对称图形，无需用过多的时间去探究。这些看似简单的知识，学生往往在课堂上感知了、明白了，但过后的练习所反映的情况是错误频繁出现。可见，仅仅依靠折纸的操作来对对称轴进行进一步的认识过于肤浅。这就必须通过其他途径让浅显的感悟外化、抽象化，作图不失为一种好方法。
首先，在学生通过折纸探索长方形2条对称轴、并尝试画出长方形的对称轴之后，教师可以让学生观察画出对称轴之后的长方形，引导学生发现轴对称图形的本质特征。如：对称轴两边相对的两个点到对称轴的距离相等、这两个对应点的连线垂直于对称轴。接着可以让学生辨析：“为什么长方形的对角线不是对称轴？”在此基础上进行作图、测量就会发现以一条对角线为折痕两侧对应点的连线不与它垂直，即另一条对角线不与它垂直。所以，长方形的对角线不是对称轴。同理可以让学生作图辨析正方形的情况。相对于长方形、正方形是轴对称图形而言，一般的平行四边形不是轴对称图形这一常识对于学生来说在认知方面有很大的困难。同样，可以让学生在折纸操作的基础上充分猜测、画图尝试。
《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单独的依赖模仿与记忆”，作图探索也该是学生学习数学的重要方式。在学生经历长方形，正方形等图形对称轴的探索过程，利用作图加深对轴对称图形特征的认识，发展空间观念，同时也培养了学生大胆猜想、动笔画图、实践验证的能力。
三、感悟挺茫然，“想象”来帮忙
在教学四年级下册“旋转”一课时，例题是利用课件直观地演示了汽车转杆旋转的情况，让学生从中感悟顺时针方向和逆时针方向旋转的含义。既然这两种旋转的方向的名称里都有“时针”二字，如果把概念的认识与钟面密切结合起来进行，学生应该更容易接受和掌握。
图1 图2
如图1：转杆打开就是从3点钟方向旋转到了12点钟方向，即逆时针方向旋转了90°。转杆关闭就是从12点钟方向旋转到了3点钟方向，即顺时针方向旋转了90°。把例题图中的转杆放置到钟面之中，让抽象的旋转有了依托的背景。在观察了转杆在钟面图中顺时针、逆时针旋转的情形后，可以让学生闭上眼睛想象转杆的转动情况。然后，把直角三角形绕A点旋转90°，如圖2，在此基础上脱离钟面的直观图示，可以展开想象来帮助理解旋转。引导学生在头脑中想象出钟面作为背景，整个三角形按顺时针方向旋转90°后所在的位置。让学生在大脑中逐渐建立起准确、鲜明的感知之后，学生就可以通过想象在头脑中完成图形的整体旋转了。
通过想象的助力，让学生经历了从实物操作到想象操作的训练，加深了对旋转的认识、形成了相应的表象，从而降低了学习旋转的难度，逐步提升了空间想象的能力。
当然，数学教学方法是多样化的。在学生充分感悟的基础上，教师合理选择和优化教学方法才能更有效地实施教学、更有利于学生的发展。
参考文献：
[1]张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]曹才翰、章建跃主编《数学教育心理学》，北京师范大学出版社，2006年版