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摘 要:在我们所学的高等数学中,微积分是最基础的。为了学好后面的课程,就必须先学好微积分这部分知识。但是,在微积分的学习过程中学习者会遇到很多的困难,比如会有大量比较复杂的计算,找不到很好的解题方法等。本文将结合实际,列举大量有关如何用“换元法”来解决问题的具体例题,教读者如何正确解题以及找到正确的解题方法。不会让学习者感到无所适从,也会让学习者深刻的理解微积分的知识,起到事半功倍的效果。
关键词:微积分 换元 高等数学 解题
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)07(b)-0103-01
目前,高等数学是众多高职院校开设的一门基础课程。作为一门基础课程,高数有些艰涩难懂,但是我们必须将高数学会、学懂。因为这门课程的相关知识会成为今后的学习中的基石,你会发现很多计算类学科的知识项目,正是由一个个高数知识点组成的。
那么我们应该怎么学好高数呢？首先,我们应该了解,什么是高数的基础？高数的基础就是微积分。在高中的学习中,我们对于微积分应该有了一定了解,大学所教授的微积分与高中相比,深了一点,难了一点。我们要掌握它,对于概念就要滥熟于心,而且还要多做习题。其实数学解题的方法有很多,条条大路通罗马,通过不断的学习和积累,我们就能开辟出一条条宽广的大路,通向高等数学的殿堂。下面所述的问题单独面向“换元法”,由此粗略讨论一下微积分的相关问题,希望能够开拓读者的解题思路。
在学习中,我们经常会用到换元法来解微积分的习题,而引进一个新的变量就是换元法的基本思想。我们可以通过把一个很复杂的问题,通过换元法,将其转换成许多简单的小问题,这样问题就迎刃而解了。我们在解题过程中,可以把高次的式子化简成为低次的;可以把一些看起来很难解决的分式化为整式;还可以把无理式化简为我们所熟知的有理式等,这些都是运用换元法的方便之处。
在高职院校的考试中,换元法常常是一个考点。我们所用的换元法,一般是把需要求的未知量转化为跟已知量有关的联系,所以就需要引进一些新的变量,这样就可以把它们紧密的联系在一起,问题也就不会那么复杂,所以换元法是一种很好的解题方法,问题也就豁然开朗了。
在解微积分中的一些题目时,我们常常会用到换元法,而且其在高等数学中也有应用。下面本文将会列举一些经常会出现的问题的解决方法,让学者可以一目了然的看出换元法解决问题的优势,也可以让学者掌握换元这种方法,熟练之后,解题就会很自然了。
1 “换元”方法在函数中的解题实例
例1:求函数的定义域。
设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。
解:设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2,3],即2≤t≤3,因此2≤x2≤3,所以≤x≤-或≤x≤,所求定义域是[-,-]∪[,]
2 “换元”方法在微分中的解题实例
例2:求函数的微分。
解:由的积分公式先设,则,,以此类推,再另,
,而,所以
3 “换元”方法在极限中的解题实例
例3:求下列函数的极限
解设
则＝
4 “换元”方法在积分中的解题实例
例4:求∫1/(1-x)。
解:令x=sint,则dx=costdt,(-π／2＜t＜π／2),∴原式=∫cost／(1-sint)cost=∫1／(1-sint)dt=∫(1＋sint)／(1－sint)(1＋sint)dt=∫sec2tdt＋∫secttantdt=tant＋sect＋C＝x+1/
5 “换元”方法在微分方程中的解题实例
例5:求微分方程满足初始条件的特解。
解:方程可以化成
另则带入方程得分离变量得,两边积分,,即,通解是,
带入初始条件,最后通解为
6 换元法在分解因式中的应用
例6:分解因式(x+y)·(x+2y)·(x+3y)·(x+4)+
解:将原式的1,4相乘,2、3项相乘故得:(+5xy+4)(+5xy+6)＋……(1)我们仔细观察上式两项有一个平均因式,即为+5xy+5,现在我们令+5xy+5=M
(1)式则变为
(M－)(M+)＋…… (2)
将(2)式展开后,合并同类项得:
即(x+y)·(x+2y)·(x+3y)·(x+4y)+
=
通过上面的讲解与描述,我们可以从例题中看出,换元这一方法可以彻底贯穿全题。我们以此求解,就要在函数、极限、微分、积分中灵活巧妙的运用换元法。这样就可以轻易的解决计算中经常出现的不同分母、不同指数等问题。然而换元的使用,并不像想象的那样简单,我们想要活用,不止要熟记换元的方法,还要多做习题,慢慢的积累经验。若能善用换元法,我们必将在高数的学习中受益良多。
7 结语
本文所述的由蕴含法理论所引出的,求解多变量逻辑函数、本原函数项的方法,在于流程清晰、结果准确的方面有显著优势,且符合结构化标准,可以简单的通过C语言、VB语言等编程工具实现。对于多变量的逻辑函数,只需要极少数的数组数列即可完成。比如,我们要计算一个6变量以上的逻辑函数,我们只需要对m数组的列数、comp数组的结构以及部分循环结构的循环次数进行简单的整改,就可运行出结果。
实践证明,此方法运行出的结果,与使用公式、卡诺图等方法计算出的结果一致,且在于提高可靠性、减少复杂度和降低预算成本等方面表现突出。如此准确、便捷、成本可观的方法,在将来必然有十分广阔的发展前景。
参考文献
[1] 朱勇,高晓清,曾西洋.数字逻辑[M].中国铁道出版社,2007,4:49～50.
[2] 樊福印.运用“换元”法解题微积分[J].中国科技信息,2010(24):26～28.
[3] 朱连宏.高等数学教学内容及教学方法的改革与研究[J].南昌教育学院,2010(2):35～38.
[4] 刘铁锁.高等数学分层教学研究[J].价值工程,2011(5):46～49.
关键词:微积分 换元 高等数学 解题
中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)07(b)-0103-01
目前,高等数学是众多高职院校开设的一门基础课程。作为一门基础课程,高数有些艰涩难懂,但是我们必须将高数学会、学懂。因为这门课程的相关知识会成为今后的学习中的基石,你会发现很多计算类学科的知识项目,正是由一个个高数知识点组成的。
那么我们应该怎么学好高数呢？首先,我们应该了解,什么是高数的基础？高数的基础就是微积分。在高中的学习中,我们对于微积分应该有了一定了解,大学所教授的微积分与高中相比,深了一点,难了一点。我们要掌握它,对于概念就要滥熟于心,而且还要多做习题。其实数学解题的方法有很多,条条大路通罗马,通过不断的学习和积累,我们就能开辟出一条条宽广的大路,通向高等数学的殿堂。下面所述的问题单独面向“换元法”,由此粗略讨论一下微积分的相关问题,希望能够开拓读者的解题思路。
在学习中,我们经常会用到换元法来解微积分的习题,而引进一个新的变量就是换元法的基本思想。我们可以通过把一个很复杂的问题,通过换元法,将其转换成许多简单的小问题,这样问题就迎刃而解了。我们在解题过程中,可以把高次的式子化简成为低次的;可以把一些看起来很难解决的分式化为整式;还可以把无理式化简为我们所熟知的有理式等,这些都是运用换元法的方便之处。
在高职院校的考试中,换元法常常是一个考点。我们所用的换元法,一般是把需要求的未知量转化为跟已知量有关的联系,所以就需要引进一些新的变量,这样就可以把它们紧密的联系在一起,问题也就不会那么复杂,所以换元法是一种很好的解题方法,问题也就豁然开朗了。
在解微积分中的一些题目时,我们常常会用到换元法,而且其在高等数学中也有应用。下面本文将会列举一些经常会出现的问题的解决方法,让学者可以一目了然的看出换元法解决问题的优势,也可以让学者掌握换元这种方法,熟练之后,解题就会很自然了。
1 “换元”方法在函数中的解题实例
例1:求函数的定义域。
设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。
解:设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2,3],即2≤t≤3,因此2≤x2≤3,所以≤x≤-或≤x≤,所求定义域是[-,-]∪[,]
2 “换元”方法在微分中的解题实例
例2:求函数的微分。
解:由的积分公式先设,则,,以此类推,再另,
,而,所以
3 “换元”方法在极限中的解题实例
例3:求下列函数的极限
解设
则＝
4 “换元”方法在积分中的解题实例
例4:求∫1/(1-x)。
解:令x=sint,则dx=costdt,(-π／2＜t＜π／2),∴原式=∫cost／(1-sint)cost=∫1／(1-sint)dt=∫(1＋sint)／(1－sint)(1＋sint)dt=∫sec2tdt＋∫secttantdt=tant＋sect＋C＝x+1/
5 “换元”方法在微分方程中的解题实例
例5:求微分方程满足初始条件的特解。
解:方程可以化成
另则带入方程得分离变量得,两边积分,,即,通解是,
带入初始条件,最后通解为
6 换元法在分解因式中的应用
例6:分解因式(x+y)·(x+2y)·(x+3y)·(x+4)+
解:将原式的1,4相乘,2、3项相乘故得:(+5xy+4)(+5xy+6)＋……(1)我们仔细观察上式两项有一个平均因式,即为+5xy+5,现在我们令+5xy+5=M
(1)式则变为
(M－)(M+)＋…… (2)
将(2)式展开后,合并同类项得:
即(x+y)·(x+2y)·(x+3y)·(x+4y)+
=
通过上面的讲解与描述,我们可以从例题中看出,换元这一方法可以彻底贯穿全题。我们以此求解,就要在函数、极限、微分、积分中灵活巧妙的运用换元法。这样就可以轻易的解决计算中经常出现的不同分母、不同指数等问题。然而换元的使用,并不像想象的那样简单,我们想要活用,不止要熟记换元的方法,还要多做习题,慢慢的积累经验。若能善用换元法,我们必将在高数的学习中受益良多。
7 结语
本文所述的由蕴含法理论所引出的,求解多变量逻辑函数、本原函数项的方法,在于流程清晰、结果准确的方面有显著优势,且符合结构化标准,可以简单的通过C语言、VB语言等编程工具实现。对于多变量的逻辑函数,只需要极少数的数组数列即可完成。比如,我们要计算一个6变量以上的逻辑函数,我们只需要对m数组的列数、comp数组的结构以及部分循环结构的循环次数进行简单的整改,就可运行出结果。
实践证明,此方法运行出的结果,与使用公式、卡诺图等方法计算出的结果一致,且在于提高可靠性、减少复杂度和降低预算成本等方面表现突出。如此准确、便捷、成本可观的方法,在将来必然有十分广阔的发展前景。
参考文献
[1] 朱勇,高晓清,曾西洋.数字逻辑[M].中国铁道出版社,2007,4:49～50.
[2] 樊福印.运用“换元”法解题微积分[J].中国科技信息,2010(24):26～28.
[3] 朱连宏.高等数学教学内容及教学方法的改革与研究[J].南昌教育学院,2010(2):35～38.
[4] 刘铁锁.高等数学分层教学研究[J].价值工程,2011(5):46～49.