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摘 要：在数学课堂中，碰到学生有错误的回答是最平常不过的事了。有的老师为了完成自己的教学任务，马上对学生的错误进行更正或否定，从而影响了学生学习的自信心。心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”错误是正确的先导，是通向成功的阶梯，应将学生犯错的过程看作是一种尝试和创新的过程，为他们营造一个自由探索的精神天地，让他们有机会亲身感受自主创新的快乐，把错误变成精彩课堂的“催化剂”。
关键词：数学教学；错误资源
一、错误资源的内涵与类型
（一）内涵
《辞海》中对“错误”的定义是“不正确的”。西方学者，从古代的亚里士多德到近代的洛克、贝克莱等人都认为错误在本质上是一种“不符合”或“不一致”。本文所谓的学生错误资源是指课堂教学和学生的练习中凭着自己已有的知识经验对某一知识做出浅层的、有失偏颇的判断而生成的，也指合理性错误（自定义），能通过师生双边互动，在集体识错、思错、纠错过程中提升学生能力的课程资源。
（二）类型
1.从错误的表现形式来看，可分为真实性错误、预设性错误和隐蔽性错误。真实性错误是指错误的表现形式是外显的，是容易捕捉的，这种错误，其中可能包含合理、创造性的成份；预设性错误是指教师或命题者为实现教学目标精心设计而形成的错误，这种错误，有利于激发学生认知兴趣，有利于考查学生的思维过程，体现教学过程中学生的主体性；隐蔽性错误是在学生大脑中潜移默化形成的，它以潜在的形式存在，平时并不表现出来，同时这类错误的转变往往比较困难，具有顽固性。
2.从学生的知识结构，认识规律，心理发展等方面来看又可以分为以下几类：概念不清，形不成方法；策略不当，方法思路不对；取舍不当，检验不够及时；毅力不够，半途而废等等。
二、“错误资源”有效利用的价值
（一）理论价值：是新课程教学改革的需要
充分利用数学课堂教学中错误资源，对实例进行剖析，开展讨论、纠正、反思、领悟，整体的学习能力自然就逐步提高了，这样有利于培养学生做事认真严谨的态度。这样的课堂真正成为注重综合、注重生成、注重互动的现代型课堂。同时通过本课题的研究，有利于引导教师学习摸索新的教学模式，增进师生、生生之间的情感和合作意识。
（二）实际价值：是注重学生良好解题思维形成的需要
通过研究，力图能为解决课堂中存在的错误纠正寻求一种新的教学模式，挖掘和提高错题的利用价值，为学生从意义建构到能力生成寻求理论依据和实验数据；使教师摒弃题海战术，切实有效地培养学生形成良好的解题思维寻求新的思路；也为全面推进素质教育的同时，学生学到有价值的数学，实现人人都有不同的发展。
三、“错误资源”有效利用的教学策略
滴水不漏的“完美”课堂一直是我们课堂教学追求的一个目标，一种境界。事实上，错误伴随着教学始终，只有我们牢固树立“错误资源”意识，把课堂视作师生逐步认识错误，利用错误实现师生共同成长的空间，错误就能成为一种美丽的课程资源。在长期的数学教学实践中，我充分利用好学生错误这一教学资源，进行了有效的探索与实践。
（一）捕捉错误，多维互动的出发点——转变观念，让错误体现价值
在数学课堂上，随时可能发生错误的学情信息。教师要独具慧眼，善于及时捕捉稍纵即逝的错误作为教学资源，并巧妙运用于教学活动中。在某种意义上来说，捕捉住课堂中那些鲜活的错误资源，正是课堂多维互动的出发点。
1.教学氛围和谐化，让错误不再可怕
教师只有放下架子，与学生建立平等、和谐的师生关系，学生才敢暴露自己的思维，勇于发表自己的见解。课堂上，我实施了开“绿灯”的措施来对待学生的错误，提倡“再想想，你还有机会；答得不完整允许再想；不同的意见允许争论；允许自由小议与插嘴”等。这盏“绿灯”，使学生的自尊心得到了切实的保护，人格得到了充分的尊重。
这样，学生没有了因为答错题而被老师斥责的忧虑，被同学耻笑的苦恼，他们在民主的气氛中学习，思维活跃，敢说、敢做，敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，体会到学习的乐趣。所以，只要老师宽容地对待学生的错误，老师也可从中了解到学生对知识的掌握情况，及时发现问题， “借题发挥”，就能变错误为促进学生发展的宝贵资源，构建多维互动的动态课堂，促进师生共同成长。
2.教学目标多元化，让错误获得重生
当最初的目标预设与后来的实际教学发生冲突时，带来目标的重新定位。整个过程是开放的，不断调整的，从课堂“错误”的利用来及时调整课堂，从而生成目标，让错误获得重生。
案例3： 函数的值域
函数值域课程目标是：要求学生熟悉基本函数的图像与性质，学会运用简单的基本函数图像与性质来求函数值域的方法，理解从陌生到熟悉的数学转化思想在函数值域中的应用。掌握换元法，图像平移法等来求函数值域的基本技能。同时还要关注情感态度与价值观对学生学习数学兴趣所产生的积极影响。根据此目标可以设计以下几题来求函数的值域。
学生是一个个活生生的个体，在新课改的理念下，他们不会再是被动地接受知识，而是会提出很多新的想法，所以我们在课堂教学中要把握好“预设与生成”的关系，把它们有效地结合起来。
3.教学内容灵活化，让错误尽显价值
根据教学内容，我预设学生可能出现的“差错”，将教学内容进行适当地调整，适当改变教学顺序，采取将一些教学内容提前，一些延后，适当增减一些内容，将一些简单地，学生不教也会的内容减少，改成让学生课下自学，将一些要用到的，对减少错误有用的但不安排在该教材中的内容进行增加。
大家对生3同学投来了羡慕的眼光。我在表扬生3的同时也对生1与生2进行了肯定，只是馒头都吃到豆沙边了，就是没有继续“啃”下去而已。所以考虑要全面，消元时要注意隐性条件（消去元的范围）。 看到大多数学生“忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误”。我立马决定再出一题给学生巩固一下。
就这样，这节课虽然没有按照原计划完成教学任务，但是通过巩固练习，学生加深了求值域与最值的方法。不要“忽视隐含条件”。苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能遇见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中，做出相应的变动。”错误是学生学习过程中的相伴产物，是具有特殊教育作用的学习资源。
（二）挖掘错误，激活创新的切入点——巧思妙用，让错误展示魅力
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生的学习成绩比在一起学习的美国学生好得多，然而十多年后中国学生的科研成果却比美国学生少得多，原因何在？就是美国学生的思维活跃，创造性思维能力强。出现错误并不可怕，只要我们能及时识别错误，把它当成一种难得生成的资源加以开发利用，那么错误就能成为发展学生学习能力的一贴良药。
1.预设错误，优化学生的思维
古人云：相反相成，相克相生。通过认真钻研教材和习题，凭借经验，有些关键性、规律性的错误是可以预设的。而此类错误仅仅靠反复强调是不够的，我们可以将它们呈现出来，引导学生比较、思辨，从而在“错误”中寻找真理。
这种方法，以“假”明“真”，欲正先反，令人耳目一新，容易让学生留下深刻的印象。在多年的数学教学过程中我深刻地意识到，利用错题和设陷性提问来预设学生错误，故意使学生 “落入陷阱”，再引导学生“走出误区”，不但能使一些易混、难记的知识得到强化，同时可培养学生思维的严密性与批判性，从而优化学生的思维。
2.善用错误， 激发学生自主探究
数学的价值不在模仿而在于创新，数学的本质不是技能而是思想。即数学学习应由学生自己去把要学的东西发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，对待课堂中出现的错误，教师应采取纠错措施，给予反思机会，引导学生对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生在反思过程中明白为何出错，使学生避免重蹈覆辙。
一节真实的课堂教学，学生不可能不出现错误，就因为有了这些错误，才使课堂教学更精彩。善用错误，大大激起了学生的探究欲望，使他们的探究能力和思辩能力在数学课堂中得到了淋漓尽致地发展。所以教师不但可以通过挖掘学生的错误资源，及时调整课堂教学，还可以利用学生的错误资源，引导学生主动探究。
3.将错就错，激活合理部分
传统教学观念中，学生对知识的认识完全被老师控制在已确认的“标准”中，不能出现一些偏离。其实，一个正确的认识无不经历数次与错误的周旋。教学中，只有宽容学生的错误，将错就错，及时提取与激活合理部分，作出调整与修正，我们的教学才能更显人性化。这即体现了教师对学生的人文关怀，又能产生心理学中的“同体观”效应，即自己人效应，从而获得良好的教学效果。
四、“错误资源”有效利用的初步成效及反思
经过对各种错误资源的开发和利用的实践探究，我发现学生的学习积极性有了很大的提高，数学学习能力也得到了全面地提升。以下是几点收获：
（一）激活了学生的学习兴趣，优化数学思维。“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。 错误资源往往为学生提供一种情境，当教师把错误及时捕捉并经提炼成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣被大大激发，就会持续地专心致志地钻研它，从而提高了学习效果。
（二）培养了学生的发现意识，提高探究能力。高中数学课程标准在过程与方法中明确规定“具有较强的问题意识，能够发现和提出有探究价值的数学问题，敢于质疑，勤于思索，逐步形成独立思考的能力”。以学生学习中出现的错误为载体，引导学生从正反不同角度去修正错误，培养了学生思维的深刻性和创造性，是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
（三）增强了学生的质疑意识，提升数学思维。巴浦洛夫说：“猜疑，是发现的设想，是探索的动力，是创新的前提。”质疑是人类创造思维发展的精华，只有拥有质疑精神的人，才具备创新能力。在课堂教学中他们敢于“挑战”老师，敢于质疑教材，通过深入研读教材，合作探讨，初步建立探究和创新意识。在教学过程中，我们既要能像“垃圾箱”一样容下学生的错误，又不能像清洁工一样把“垃圾箱”的废品一倒了之，我们要用慧眼去挖掘学生错误中的闪光点。教室就是让学生出错的地方，教师在教学中要善于把握机会，让错误成为数学课堂教学的一个亮点，真正成为精彩课堂的催化剂。“不经历风雨，怎能见彩虹！”学生的“错误”是宝贵的，课堂正是因为有了“错误”才变得更加真实、鲜活。教学的天空不会因为学生的出错而阴云密布，拨开云雾展现的将是更广阔的蔚蓝！
参考文献：
[1]薛法根 错误的价值[J]. 江苏教育 2007.2B.
[2]陈宇 失败也有营养[J]. 江苏教育 2008.3B . P46.
[3]《数学新课程标准及解读》[M] 北京师范大学出版社2003.2 .
[4]吴碎锡 巧用错误资源，构建有效课堂，[J].教学月刊（中学版），2007.5.
[5]方均斌 例说“错题”及其教育功能.数学通报，2006（05） .
关键词：数学教学；错误资源
一、错误资源的内涵与类型
（一）内涵
《辞海》中对“错误”的定义是“不正确的”。西方学者，从古代的亚里士多德到近代的洛克、贝克莱等人都认为错误在本质上是一种“不符合”或“不一致”。本文所谓的学生错误资源是指课堂教学和学生的练习中凭着自己已有的知识经验对某一知识做出浅层的、有失偏颇的判断而生成的，也指合理性错误（自定义），能通过师生双边互动，在集体识错、思错、纠错过程中提升学生能力的课程资源。
（二）类型
1.从错误的表现形式来看，可分为真实性错误、预设性错误和隐蔽性错误。真实性错误是指错误的表现形式是外显的，是容易捕捉的，这种错误，其中可能包含合理、创造性的成份；预设性错误是指教师或命题者为实现教学目标精心设计而形成的错误，这种错误，有利于激发学生认知兴趣，有利于考查学生的思维过程，体现教学过程中学生的主体性；隐蔽性错误是在学生大脑中潜移默化形成的，它以潜在的形式存在，平时并不表现出来，同时这类错误的转变往往比较困难，具有顽固性。
2.从学生的知识结构，认识规律，心理发展等方面来看又可以分为以下几类：概念不清，形不成方法；策略不当，方法思路不对；取舍不当，检验不够及时；毅力不够，半途而废等等。
二、“错误资源”有效利用的价值
（一）理论价值：是新课程教学改革的需要
充分利用数学课堂教学中错误资源，对实例进行剖析，开展讨论、纠正、反思、领悟，整体的学习能力自然就逐步提高了，这样有利于培养学生做事认真严谨的态度。这样的课堂真正成为注重综合、注重生成、注重互动的现代型课堂。同时通过本课题的研究，有利于引导教师学习摸索新的教学模式，增进师生、生生之间的情感和合作意识。
（二）实际价值：是注重学生良好解题思维形成的需要
通过研究，力图能为解决课堂中存在的错误纠正寻求一种新的教学模式，挖掘和提高错题的利用价值，为学生从意义建构到能力生成寻求理论依据和实验数据；使教师摒弃题海战术，切实有效地培养学生形成良好的解题思维寻求新的思路；也为全面推进素质教育的同时，学生学到有价值的数学，实现人人都有不同的发展。
三、“错误资源”有效利用的教学策略
滴水不漏的“完美”课堂一直是我们课堂教学追求的一个目标，一种境界。事实上，错误伴随着教学始终，只有我们牢固树立“错误资源”意识，把课堂视作师生逐步认识错误，利用错误实现师生共同成长的空间，错误就能成为一种美丽的课程资源。在长期的数学教学实践中，我充分利用好学生错误这一教学资源，进行了有效的探索与实践。
（一）捕捉错误，多维互动的出发点——转变观念，让错误体现价值
在数学课堂上，随时可能发生错误的学情信息。教师要独具慧眼，善于及时捕捉稍纵即逝的错误作为教学资源，并巧妙运用于教学活动中。在某种意义上来说，捕捉住课堂中那些鲜活的错误资源，正是课堂多维互动的出发点。
1.教学氛围和谐化，让错误不再可怕
教师只有放下架子，与学生建立平等、和谐的师生关系，学生才敢暴露自己的思维，勇于发表自己的见解。课堂上，我实施了开“绿灯”的措施来对待学生的错误，提倡“再想想，你还有机会；答得不完整允许再想；不同的意见允许争论；允许自由小议与插嘴”等。这盏“绿灯”，使学生的自尊心得到了切实的保护，人格得到了充分的尊重。
这样，学生没有了因为答错题而被老师斥责的忧虑，被同学耻笑的苦恼，他们在民主的气氛中学习，思维活跃，敢说、敢做，敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，体会到学习的乐趣。所以，只要老师宽容地对待学生的错误，老师也可从中了解到学生对知识的掌握情况，及时发现问题， “借题发挥”，就能变错误为促进学生发展的宝贵资源，构建多维互动的动态课堂，促进师生共同成长。
2.教学目标多元化，让错误获得重生
当最初的目标预设与后来的实际教学发生冲突时，带来目标的重新定位。整个过程是开放的，不断调整的，从课堂“错误”的利用来及时调整课堂，从而生成目标，让错误获得重生。
案例3： 函数的值域
函数值域课程目标是：要求学生熟悉基本函数的图像与性质，学会运用简单的基本函数图像与性质来求函数值域的方法，理解从陌生到熟悉的数学转化思想在函数值域中的应用。掌握换元法，图像平移法等来求函数值域的基本技能。同时还要关注情感态度与价值观对学生学习数学兴趣所产生的积极影响。根据此目标可以设计以下几题来求函数的值域。
学生是一个个活生生的个体，在新课改的理念下，他们不会再是被动地接受知识，而是会提出很多新的想法，所以我们在课堂教学中要把握好“预设与生成”的关系，把它们有效地结合起来。
3.教学内容灵活化，让错误尽显价值
根据教学内容，我预设学生可能出现的“差错”，将教学内容进行适当地调整，适当改变教学顺序，采取将一些教学内容提前，一些延后，适当增减一些内容，将一些简单地，学生不教也会的内容减少，改成让学生课下自学，将一些要用到的，对减少错误有用的但不安排在该教材中的内容进行增加。
大家对生3同学投来了羡慕的眼光。我在表扬生3的同时也对生1与生2进行了肯定，只是馒头都吃到豆沙边了，就是没有继续“啃”下去而已。所以考虑要全面，消元时要注意隐性条件（消去元的范围）。 看到大多数学生“忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误”。我立马决定再出一题给学生巩固一下。
就这样，这节课虽然没有按照原计划完成教学任务，但是通过巩固练习，学生加深了求值域与最值的方法。不要“忽视隐含条件”。苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能遇见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中，做出相应的变动。”错误是学生学习过程中的相伴产物，是具有特殊教育作用的学习资源。
（二）挖掘错误，激活创新的切入点——巧思妙用，让错误展示魅力
杨振宁博士曾作过这样的对比，中国学生的学习成绩比在一起学习的美国学生好得多，然而十多年后中国学生的科研成果却比美国学生少得多，原因何在？就是美国学生的思维活跃，创造性思维能力强。出现错误并不可怕，只要我们能及时识别错误，把它当成一种难得生成的资源加以开发利用，那么错误就能成为发展学生学习能力的一贴良药。
1.预设错误，优化学生的思维
古人云：相反相成，相克相生。通过认真钻研教材和习题，凭借经验，有些关键性、规律性的错误是可以预设的。而此类错误仅仅靠反复强调是不够的，我们可以将它们呈现出来，引导学生比较、思辨，从而在“错误”中寻找真理。
这种方法，以“假”明“真”，欲正先反，令人耳目一新，容易让学生留下深刻的印象。在多年的数学教学过程中我深刻地意识到，利用错题和设陷性提问来预设学生错误，故意使学生 “落入陷阱”，再引导学生“走出误区”，不但能使一些易混、难记的知识得到强化，同时可培养学生思维的严密性与批判性，从而优化学生的思维。
2.善用错误， 激发学生自主探究
数学的价值不在模仿而在于创新，数学的本质不是技能而是思想。即数学学习应由学生自己去把要学的东西发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造，而不是把现成的知识灌输给学生。因此，对待课堂中出现的错误，教师应采取纠错措施，给予反思机会，引导学生对自己的解题思路进行认真的回顾和分析，让学生在反思过程中明白为何出错，使学生避免重蹈覆辙。
一节真实的课堂教学，学生不可能不出现错误，就因为有了这些错误，才使课堂教学更精彩。善用错误，大大激起了学生的探究欲望，使他们的探究能力和思辩能力在数学课堂中得到了淋漓尽致地发展。所以教师不但可以通过挖掘学生的错误资源，及时调整课堂教学，还可以利用学生的错误资源，引导学生主动探究。
3.将错就错，激活合理部分
传统教学观念中，学生对知识的认识完全被老师控制在已确认的“标准”中，不能出现一些偏离。其实，一个正确的认识无不经历数次与错误的周旋。教学中，只有宽容学生的错误，将错就错，及时提取与激活合理部分，作出调整与修正，我们的教学才能更显人性化。这即体现了教师对学生的人文关怀，又能产生心理学中的“同体观”效应，即自己人效应，从而获得良好的教学效果。
四、“错误资源”有效利用的初步成效及反思
经过对各种错误资源的开发和利用的实践探究，我发现学生的学习积极性有了很大的提高，数学学习能力也得到了全面地提升。以下是几点收获：
（一）激活了学生的学习兴趣，优化数学思维。“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。 错误资源往往为学生提供一种情境，当教师把错误及时捕捉并经提炼成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣被大大激发，就会持续地专心致志地钻研它，从而提高了学习效果。
（二）培养了学生的发现意识，提高探究能力。高中数学课程标准在过程与方法中明确规定“具有较强的问题意识，能够发现和提出有探究价值的数学问题，敢于质疑，勤于思索，逐步形成独立思考的能力”。以学生学习中出现的错误为载体，引导学生从正反不同角度去修正错误，培养了学生思维的深刻性和创造性，是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
（三）增强了学生的质疑意识，提升数学思维。巴浦洛夫说：“猜疑，是发现的设想，是探索的动力，是创新的前提。”质疑是人类创造思维发展的精华，只有拥有质疑精神的人，才具备创新能力。在课堂教学中他们敢于“挑战”老师，敢于质疑教材，通过深入研读教材，合作探讨，初步建立探究和创新意识。在教学过程中，我们既要能像“垃圾箱”一样容下学生的错误，又不能像清洁工一样把“垃圾箱”的废品一倒了之，我们要用慧眼去挖掘学生错误中的闪光点。教室就是让学生出错的地方，教师在教学中要善于把握机会，让错误成为数学课堂教学的一个亮点，真正成为精彩课堂的催化剂。“不经历风雨，怎能见彩虹！”学生的“错误”是宝贵的，课堂正是因为有了“错误”才变得更加真实、鲜活。教学的天空不会因为学生的出错而阴云密布，拨开云雾展现的将是更广阔的蔚蓝！
参考文献：
[1]薛法根 错误的价值[J]. 江苏教育 2007.2B.
[2]陈宇 失败也有营养[J]. 江苏教育 2008.3B . P46.
[3]《数学新课程标准及解读》[M] 北京师范大学出版社2003.2 .
[4]吴碎锡 巧用错误资源，构建有效课堂，[J].教学月刊（中学版），2007.5.
[5]方均斌 例说“错题”及其教育功能.数学通报，2006（05） .