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问题 设m＞n＞0，m2+n2=4mn，则■的值等于（ ）
A. 2■ B. ■ C. ■ D. 3
命题意图 本题是2011年南通市的一道中考选择题，它着重考查了代数式的表达与变形及整体代入的思想，关注对代数式运算技能和变形能力的考查，具有较强的区分度.
解题指导 通常求代数式的值时，先化简再将字母用具体的数值代入而求得结果. 但本题没有给出具体的数值，而是给出了m、n之间的等量关系式，因此，照常规思路进行求解有困难. 不妨将m+n、m-n、mn以及待求代数式看成一个整体，对条件进行适当变形，再整体代入求值可以使问题容易解决.
解法1：∵ m2+n2=4mn，∴ m2-2mn+n2=2mn，m2+2mn+n2=6mn，即（m-n）2=2mn，（m+n）2=6mn.
∴ ■=2，■=3，则■=±■.
又∵ m＞n＞0，∴ m+n＞0、m-n＞0，则■=■. ∴ ■×■=2■，即■=2■.
解法2：∵ ■2=■=■，m2+n2=4mn，
∴ ■2=■=■=12，∴ ■=±2■.
又∵ m＞n＞0，∴ mn＞0，m2-n2＞0，∴ ■=2■.
追根溯源 本题综合考查了灵活运用完全平方公式和进行分式运算的能力，凸显了整体思想在数学中的作用. 我们可以回归课本习题寻找它的“身影”，它类似于义务教育课程标准实验教科书苏科版《数学》七年级下册教材第80页第9题与八年级下册教材第59页第11题.
七年级下册教材第80页第9题：已知（a+b）2=7，（a-b）2=3，求：（1） ab的值；（2） a2+b2的值.
八年级下册教材第59页第11题：已知■=■，求■+■-■的值.
变式拓展 1. 已知a＜b＜0且a+b=5，ab=3，求■-■的值.
2. 先化简，再求值：■-■÷■，其中a是方程x2+3x+1=0的根.
参考答案 1. -■■. 2. 原式=■+■×■=■（a2+3a），∵ a是方程x2+3x+1=0的根，∴ a2+3a+1=0，∴ a2+3a=-1，∴ 原式=-■.
A. 2■ B. ■ C. ■ D. 3
命题意图 本题是2011年南通市的一道中考选择题，它着重考查了代数式的表达与变形及整体代入的思想，关注对代数式运算技能和变形能力的考查，具有较强的区分度.
解题指导 通常求代数式的值时，先化简再将字母用具体的数值代入而求得结果. 但本题没有给出具体的数值，而是给出了m、n之间的等量关系式，因此，照常规思路进行求解有困难. 不妨将m+n、m-n、mn以及待求代数式看成一个整体，对条件进行适当变形，再整体代入求值可以使问题容易解决.
解法1：∵ m2+n2=4mn，∴ m2-2mn+n2=2mn，m2+2mn+n2=6mn，即（m-n）2=2mn，（m+n）2=6mn.
∴ ■=2，■=3，则■=±■.
又∵ m＞n＞0，∴ m+n＞0、m-n＞0，则■=■. ∴ ■×■=2■，即■=2■.
解法2：∵ ■2=■=■，m2+n2=4mn，
∴ ■2=■=■=12，∴ ■=±2■.
又∵ m＞n＞0，∴ mn＞0，m2-n2＞0，∴ ■=2■.
追根溯源 本题综合考查了灵活运用完全平方公式和进行分式运算的能力，凸显了整体思想在数学中的作用. 我们可以回归课本习题寻找它的“身影”，它类似于义务教育课程标准实验教科书苏科版《数学》七年级下册教材第80页第9题与八年级下册教材第59页第11题.
七年级下册教材第80页第9题：已知（a+b）2=7，（a-b）2=3，求：（1） ab的值；（2） a2+b2的值.
八年级下册教材第59页第11题：已知■=■，求■+■-■的值.
变式拓展 1. 已知a＜b＜0且a+b=5，ab=3，求■-■的值.
2. 先化简，再求值：■-■÷■，其中a是方程x2+3x+1=0的根.
参考答案 1. -■■. 2. 原式=■+■×■=■（a2+3a），∵ a是方程x2+3x+1=0的根，∴ a2+3a+1=0，∴ a2+3a=-1，∴ 原式=-■.