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实行素质教育的数学授课，关键在于对学生思维品质的培养。而学生思维的深化，关键在于教师的引导。教师要做到“教”与“学”相辅相成，诱发学生思维。
一、常用方法“思”深化
教师通过授课活动把人类积累的认知传授给学生，而学生则通过授课活动把前人的认知活动还原并内化为自身的认知结构。但对这些积累只停留在会用的阶段是不够的，应该获得思维的深化。以换元法为例。
例1.解方程（1）
学生会利用换底公式，得方程。用变换，把这个方程化为关于变量y的二次方程：y2-y-2=0。这个二次方程的根是：y1=-1，y2=2。解方程和得。
现已得解，但不能就此结束。老师可进一步提出问题让学生讨论：（1）什么情况下可用换元法？（2）用换元法有什么好处？（3）用换元法要注意些什么？通过讨论，同学们明确：由复合函数构成的方程或不等式的求解过程中常用换元法。这对培养学生思维的严密性是有益的。
二、诱发学生“创”灵感
1.创设情景。问题是思维的出发点，创设问题情景可以激发学生的求知欲望，完成已知与未知的转化。
例2.当a为何数时，方程组有惟一实数解？
分析：若采用常规方法：“消元，化为只含一个未知数的方程”求解，思维受阻。创设新的问题情景，诱发灵感出现。
解：由方程组的结构特征，若（x0,y0）是方程组的一个解，则（-x0, y0）也一定是它的一个解，但必须使方程组满足惟一实数解的条件，就应该是x0=0，即惟一解的结构形式应为（0,y0）。设（0,y0）是该方程组的惟一解，代入方程组解得：a =4， y0=2或a =0， y0=-2。即原方程组有惟一解的必要条件是a =4或a =0。将a=4代入原方程组解得三组解，不合题意舍去，而将a =0代入原方程组解得惟一一组实数解。故当a =0时原方程组有惟一实数解。
2.发挥直觉。直觉是灵感的源头。所以，要充分发挥直觉，让直觉升华，诱发灵感。
例3.已知2（x-y）+(y-z)+(z-x)=0(x≠y)。求的值。
分析：因为2=（）2，故直觉告诉本题设的条件在形式上与一元二次方程相似。这时，灵感产生，可通过构造一元二次方程来解决问题。
解：由题意知一定是方程（x-y）p2+(y-z)p+(z-x)=0的一个根，由于（x-y）+(y-z)+(z-x)=0，故1是该方程的另一根。∴=（+1）=2+。
3.换个角度。培养学生善于从不同的角度看问题，既可全面深刻地认识事物，又培养了学生的发散思维。
例4.解方程x3+（1+）x2-2=0.
分析：此题若以x为未知数求解难度很大。如果我们令y=，则y2=2，原方程变形后解关于y 的方程y2-x2y-(x3+x2)=0，于是灵感产生马上可解。解略。
4.类比、联想。数学是一个具有内在联系的有机整体，因此，应有意识地教给学生类比、联想的方法，以提高分析问题、解决问题的能力。
例5.若（z-x）2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y.
分析：将已知等式展开后用配方法可得x+z=2y，但难解。仔细观察后发现已知等式与一元二次方程的判别式b2-4ac=0类似，于是联想到方程有等根。证明略。
5.整体思维。整体思维是指从全局的观念出发来思考问题。它是一种从高层次寻找捷径使得处理问题化难为易的方法，从而诱发灵感，使问题得到快捷解决。
例6.解方程x(x+4)(x+8)(x+12)=x2+(x+4)2+(x+8)2+(x+12)2.
分析：根据题目的特点，用“均值代换法”，即设y==x+6.原方程可化为双二次方程来解。
解：令y=x+6，则原方程化为(y-6)(y-2)(y+2)(y+6)=(y-6)2+(y-2)2+(y+2)2+(y+6)2。即y4-44y2+64=0，解得y2=22±2.
∴y=±=±()
∴x1=+-6,x2=--6,x3=--6,x4=+-6.
三、做好总结“抓”深化
授课一段时间后要做总结。总结的主要内容是概括，概括是对同类事物的共同属性的加工、整理。提高概括能力就要求学生更加善于抽象各种事物的本质属性，更善于抓住同类事物的共同属性。
例7.解不等式：>1，x的允许值集为：x∈[5,9].
解略。
总之，抓好对学生概括能力的培养，使学生善于从同类事物中发现共同性的特征，更加善于抽象各种事物的本质属性，有利于学生思维的活跃及向纵深发展。
一、常用方法“思”深化
教师通过授课活动把人类积累的认知传授给学生，而学生则通过授课活动把前人的认知活动还原并内化为自身的认知结构。但对这些积累只停留在会用的阶段是不够的，应该获得思维的深化。以换元法为例。
例1.解方程（1）
学生会利用换底公式，得方程。用变换，把这个方程化为关于变量y的二次方程：y2-y-2=0。这个二次方程的根是：y1=-1，y2=2。解方程和得。
现已得解，但不能就此结束。老师可进一步提出问题让学生讨论：（1）什么情况下可用换元法？（2）用换元法有什么好处？（3）用换元法要注意些什么？通过讨论，同学们明确：由复合函数构成的方程或不等式的求解过程中常用换元法。这对培养学生思维的严密性是有益的。
二、诱发学生“创”灵感
1.创设情景。问题是思维的出发点，创设问题情景可以激发学生的求知欲望，完成已知与未知的转化。
例2.当a为何数时，方程组有惟一实数解？
分析：若采用常规方法：“消元，化为只含一个未知数的方程”求解，思维受阻。创设新的问题情景，诱发灵感出现。
解：由方程组的结构特征，若（x0,y0）是方程组的一个解，则（-x0, y0）也一定是它的一个解，但必须使方程组满足惟一实数解的条件，就应该是x0=0，即惟一解的结构形式应为（0,y0）。设（0,y0）是该方程组的惟一解，代入方程组解得：a =4， y0=2或a =0， y0=-2。即原方程组有惟一解的必要条件是a =4或a =0。将a=4代入原方程组解得三组解，不合题意舍去，而将a =0代入原方程组解得惟一一组实数解。故当a =0时原方程组有惟一实数解。
2.发挥直觉。直觉是灵感的源头。所以，要充分发挥直觉，让直觉升华，诱发灵感。
例3.已知2（x-y）+(y-z)+(z-x)=0(x≠y)。求的值。
分析：因为2=（）2，故直觉告诉本题设的条件在形式上与一元二次方程相似。这时，灵感产生，可通过构造一元二次方程来解决问题。
解：由题意知一定是方程（x-y）p2+(y-z)p+(z-x)=0的一个根，由于（x-y）+(y-z)+(z-x)=0，故1是该方程的另一根。∴=（+1）=2+。
3.换个角度。培养学生善于从不同的角度看问题，既可全面深刻地认识事物，又培养了学生的发散思维。
例4.解方程x3+（1+）x2-2=0.
分析：此题若以x为未知数求解难度很大。如果我们令y=，则y2=2，原方程变形后解关于y 的方程y2-x2y-(x3+x2)=0，于是灵感产生马上可解。解略。
4.类比、联想。数学是一个具有内在联系的有机整体，因此，应有意识地教给学生类比、联想的方法，以提高分析问题、解决问题的能力。
例5.若（z-x）2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y.
分析：将已知等式展开后用配方法可得x+z=2y，但难解。仔细观察后发现已知等式与一元二次方程的判别式b2-4ac=0类似，于是联想到方程有等根。证明略。
5.整体思维。整体思维是指从全局的观念出发来思考问题。它是一种从高层次寻找捷径使得处理问题化难为易的方法，从而诱发灵感，使问题得到快捷解决。
例6.解方程x(x+4)(x+8)(x+12)=x2+(x+4)2+(x+8)2+(x+12)2.
分析：根据题目的特点，用“均值代换法”，即设y==x+6.原方程可化为双二次方程来解。
解：令y=x+6，则原方程化为(y-6)(y-2)(y+2)(y+6)=(y-6)2+(y-2)2+(y+2)2+(y+6)2。即y4-44y2+64=0，解得y2=22±2.
∴y=±=±()
∴x1=+-6,x2=--6,x3=--6,x4=+-6.
三、做好总结“抓”深化
授课一段时间后要做总结。总结的主要内容是概括，概括是对同类事物的共同属性的加工、整理。提高概括能力就要求学生更加善于抽象各种事物的本质属性，更善于抓住同类事物的共同属性。
例7.解不等式：>1，x的允许值集为：x∈[5,9].
解略。
总之，抓好对学生概括能力的培养，使学生善于从同类事物中发现共同性的特征，更加善于抽象各种事物的本质属性，有利于学生思维的活跃及向纵深发展。