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【关键词】模型思想 课堂教学
小学数学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）05A-
0035-02
数学教学的本质是引导学生对复杂的数学情境进行分析，从而获得简约的数学模型，形成系统的数学知识，建构数学模型思想，发展数学思维。但在实际教学中，由于受到应试教育的约束，教师的数学模型建构能力不足，课堂教学缺乏建模思想的渗透，导致数学课堂教学高耗低效。在小学数学教学中，经常会有教师抱怨：为什么学生当堂反馈出来的正确率很高，但一到了测评就频频出错呢？究其原因，主要是学生的学习还只是停留在概念的表象这个层面，对数学概念或数学原理的模型建构缺乏深刻的理解。如何突破这一教学困境呢？笔者认为，教师要深入钻研教材，对教材中隐含的数学模型进行深入挖掘，一方面教给学生解决问题的技巧和方法，另一方面要加强数学知识间的联系，建构系统知识，渗透数学模型思想，培养学生解决问题的能力。
一、感性渗透，培育数学模型
认知心理学家布鲁纳认为，学习是一个信息加工整理的过程，容易受到含混模糊的信息干扰。因而，在新知建构的过程中，教师要从学生熟悉的生活情境入手，加强感性渗透，引导学生积累丰富的感性认知，从纷繁的信息加工中经历概念的抽象过程，从而有效渗透数学模型思想，培育数学模型。
例如，在教学人教版二年级数学上册《平均数》时，笔者先创设了学生非常熟悉的场景：学校运动会，有男女生分组进行跳绳比赛，怎样才能判断哪一组的水平高？你用什么方法来进行比较？由此引发思考探究。有学生提出，可以根据男女生跳绳总数的多少进行比较;也有学生认为，可以根据男女生跳绳次数最高的人数多少来比较。根据这些想法，学生进行统计计算，但问题很快就出来了：男女生两组总成绩一样。那么如何才能判断男女两组水平的高低呢？经过讨论后学生发现，这两种方法并不能代表男女生每组成员的平均水平。要知道男女生每一组的平均水平，就要求出每组队员的平均数。由此学生提出了计算男女两组成绩的平均数。学生有了建构平均数的认知需求，对平均数这一数学模型的条件也有了充分感知，为下一步建构平均数的建模思维做好了铺垫。
郑毓信教授认为，数学本身就是对生活情境的一种抽象，而数学模型则是对生活情境进行多次抽象之后形成的一种数学思想。在小学数学教学中，由于小学生的思维过于感性，因而和这种抽象模型存在一段较远的距离。在以上教学环节中，通过对生活情境的创设，教师逐步缩短了形象思维和模型思想之间的距离，让学生能够在含糊的信息资源中，提取有用的数学资料进行加工，从中抽象出数学规律，让学生初步感知数学模型，从而有效提升课堂教学的效率，发展学生的思维。
二、自主探究，实现系统建构
新课标明确指出，教师要引导学生自主探究，发挥学生的主体地位。根据这一要求，在小学数学教学中，教师可以采用开放式的教学模式，鼓励学生运用猜想验证等数学思想，搭建数学模型思想的桥梁，将课堂还给学生，依靠学生的自主探索，帮助学生建立系统的数学模型思想，发展数学思维。
例如，在教学人教版六年级数学上册《圆的面积计算》时，根据学情调查，学生已经熟练掌握了长方形、正方形、平行四边形等多种平面图形的面积计算推导公式，也积累了猜想、转化等数学思想方法。此时笔者让学生反思平行四边形的面积推导过程，并设置问题：想一想，圆的面积计算可能会和我们学过的哪一个平面图形有关？学生立刻进行了猜想，有的认为会与长方形的面积有关，也有的认为会与三角形的面积有关，还有的认为会与平行四边形的面积有关。根据猜想，学生展开探究，通过折、剪、拼等操作，发现把圆等分成若干份，就能够得到一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，由此推导出圆的面积=长×宽=πr2。
通过这个教学环节，学生化圆为方，既能够巩固学过的长方形、平行四边形的面积公式及推导，又能够运用转化、猜想的数学思想展开探究，系统地建构面积推导的数学模型，提高了学生的数学思维能力。
三、思维拓展，促进模型生成
小学数学模型思想的渗透，其目的是要让学生将抽象的数学问题进行简化，从而构建思维模式，有效解决数学问题。教学中，教师要借助思维拓展，最终揭示抽象的数学本质，让学生从表象的积累跃进到抽象模型的生成，完成模型思维的建构。
例如，在教学人教版四年级数学上册《平行与相交》时，笔者进行了两个层次的思维拓展，让学生深刻理解平行的模型思想。层次一，出示生活中平行的例子，火车铁轨、窗户、柜子、门等，这些例子可以让学生形象感知平行，积累丰富的表象，但仅仅是表象而已，并不能让学生建构平行线的数学模型，因而也就没有建模思想的渗透。层次二，让学生思考：如何使两条铁轨保持平行？怎样使两条直线永不相交？学生经过探究，认为可以在两条平行线间做垂线段。经过测量，学生发现垂线段的长度相等，由此得到结论“同一平面内两条直线间的距离相等”。在这一数学本质的引导下，学生发现，在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种，一是平行，二是相交。
在以上教学环节中，学生对平行的理解经历了形象直观到抽象概括的过程，在丰富的表象积累中初步建构起数学模型，然后通过归纳、操作等思维拓展活动，完成了平行线这一数学模型的抽象建构。
又如在教学人教版六年级数学下册《圆柱体体积》时，为了让学生建构体积公式的模型，笔者注重了两个层次的思维拓展：一是渗透转化思想，让学生将未知条件转化为已知条件;二是渗透极限思想。通过这两个层次的思想拓展，帮助学生建构数学思维，体会数学模型的根本价值所在。
数学课堂教学中，通过对学生思维的拓展，学生不但能够丰富数学模型，而且能够运用建模思维分析数学问题，从而培养数学能力，这是教师应尝试的有效途径。
四、加强实践，提升建模思维
弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，教学过程就是通过对数学知识的有效运用，实现教学效果。数学模型的建构，是一个抽象概括的过程，需要不断实践强化，才能内化提升。因而，教师要加强实践，让学生充分参与建模活动，运用建模思想解决实际问题，提升建模思维。
例如，在教学人教版三年级数学下册《长方形、正方形面积》时，笔者创设了这样一个实践活动，让学生运用面积模型解决实际问题：（1）小明家买了一套商品房，请你帮助小明一起计算这套房子各部分的面积。（2）如果要在客厅内铺一块正方形地板，最大能铺多少面积？（3）要在餐厅内刷漆，最多能刷多少平方米？（4）如果要在餐厅四周墙壁上贴装饰条，需要多少米？
学生运用长方形和正方形的面积模型，找到问题解决的策略：第（1）题只需要根据长方形面积和正方形面积公式，即可算出结果;第（2）题则难度加大了，要让学生在原有面积模型的基础上，建构新的面积模型——在长方形中得到一个最大的正方形;第（3）题要让学生建构新的实用型面积模型，因为在刷漆的时候，必须要去掉地板的面积，培养学生灵活运用面积模型的能力。
以上教学实践活动，学生能够根据实际，熟练运用数学建模思想，解决现实问题，让数学建模思维内化为数学技能，有效提升了数学课堂的思维含量。
总之，在小学数学教学中，建模思想的渗透是一个不可忽视的环节，在数学教学中具有十分重要的作用。教师要加强引导，帮助学生积累丰富的表象，培育建模思维。另外还要设置认知冲突，激发学生的探究热情，让学生展开自主实践，建构系统思维，将数学思想抽象出来。最后要帮助学生建构数模思想，将其运用在现实生活中，解决生活中的数学问题。这将有助于发展学生发现数学、创造数学的能力，使学生形成数学思维，而这也正是数学教学的本质所在。
（责编 林 剑）
小学数学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）05A-
0035-02
数学教学的本质是引导学生对复杂的数学情境进行分析，从而获得简约的数学模型，形成系统的数学知识，建构数学模型思想，发展数学思维。但在实际教学中，由于受到应试教育的约束，教师的数学模型建构能力不足，课堂教学缺乏建模思想的渗透，导致数学课堂教学高耗低效。在小学数学教学中，经常会有教师抱怨：为什么学生当堂反馈出来的正确率很高，但一到了测评就频频出错呢？究其原因，主要是学生的学习还只是停留在概念的表象这个层面，对数学概念或数学原理的模型建构缺乏深刻的理解。如何突破这一教学困境呢？笔者认为，教师要深入钻研教材，对教材中隐含的数学模型进行深入挖掘，一方面教给学生解决问题的技巧和方法，另一方面要加强数学知识间的联系，建构系统知识，渗透数学模型思想，培养学生解决问题的能力。
一、感性渗透，培育数学模型
认知心理学家布鲁纳认为，学习是一个信息加工整理的过程，容易受到含混模糊的信息干扰。因而，在新知建构的过程中，教师要从学生熟悉的生活情境入手，加强感性渗透，引导学生积累丰富的感性认知，从纷繁的信息加工中经历概念的抽象过程，从而有效渗透数学模型思想，培育数学模型。
例如，在教学人教版二年级数学上册《平均数》时，笔者先创设了学生非常熟悉的场景：学校运动会，有男女生分组进行跳绳比赛，怎样才能判断哪一组的水平高？你用什么方法来进行比较？由此引发思考探究。有学生提出，可以根据男女生跳绳总数的多少进行比较;也有学生认为，可以根据男女生跳绳次数最高的人数多少来比较。根据这些想法，学生进行统计计算，但问题很快就出来了：男女生两组总成绩一样。那么如何才能判断男女两组水平的高低呢？经过讨论后学生发现，这两种方法并不能代表男女生每组成员的平均水平。要知道男女生每一组的平均水平，就要求出每组队员的平均数。由此学生提出了计算男女两组成绩的平均数。学生有了建构平均数的认知需求，对平均数这一数学模型的条件也有了充分感知，为下一步建构平均数的建模思维做好了铺垫。
郑毓信教授认为，数学本身就是对生活情境的一种抽象，而数学模型则是对生活情境进行多次抽象之后形成的一种数学思想。在小学数学教学中，由于小学生的思维过于感性，因而和这种抽象模型存在一段较远的距离。在以上教学环节中，通过对生活情境的创设，教师逐步缩短了形象思维和模型思想之间的距离，让学生能够在含糊的信息资源中，提取有用的数学资料进行加工，从中抽象出数学规律，让学生初步感知数学模型，从而有效提升课堂教学的效率，发展学生的思维。
二、自主探究，实现系统建构
新课标明确指出，教师要引导学生自主探究，发挥学生的主体地位。根据这一要求，在小学数学教学中，教师可以采用开放式的教学模式，鼓励学生运用猜想验证等数学思想，搭建数学模型思想的桥梁，将课堂还给学生，依靠学生的自主探索，帮助学生建立系统的数学模型思想，发展数学思维。
例如，在教学人教版六年级数学上册《圆的面积计算》时，根据学情调查，学生已经熟练掌握了长方形、正方形、平行四边形等多种平面图形的面积计算推导公式，也积累了猜想、转化等数学思想方法。此时笔者让学生反思平行四边形的面积推导过程，并设置问题：想一想，圆的面积计算可能会和我们学过的哪一个平面图形有关？学生立刻进行了猜想，有的认为会与长方形的面积有关，也有的认为会与三角形的面积有关，还有的认为会与平行四边形的面积有关。根据猜想，学生展开探究，通过折、剪、拼等操作，发现把圆等分成若干份，就能够得到一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，由此推导出圆的面积=长×宽=πr2。
通过这个教学环节，学生化圆为方，既能够巩固学过的长方形、平行四边形的面积公式及推导，又能够运用转化、猜想的数学思想展开探究，系统地建构面积推导的数学模型，提高了学生的数学思维能力。
三、思维拓展，促进模型生成
小学数学模型思想的渗透，其目的是要让学生将抽象的数学问题进行简化，从而构建思维模式，有效解决数学问题。教学中，教师要借助思维拓展，最终揭示抽象的数学本质，让学生从表象的积累跃进到抽象模型的生成，完成模型思维的建构。
例如，在教学人教版四年级数学上册《平行与相交》时，笔者进行了两个层次的思维拓展，让学生深刻理解平行的模型思想。层次一，出示生活中平行的例子，火车铁轨、窗户、柜子、门等，这些例子可以让学生形象感知平行，积累丰富的表象，但仅仅是表象而已，并不能让学生建构平行线的数学模型，因而也就没有建模思想的渗透。层次二，让学生思考：如何使两条铁轨保持平行？怎样使两条直线永不相交？学生经过探究，认为可以在两条平行线间做垂线段。经过测量，学生发现垂线段的长度相等，由此得到结论“同一平面内两条直线间的距离相等”。在这一数学本质的引导下，学生发现，在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种，一是平行，二是相交。
在以上教学环节中，学生对平行的理解经历了形象直观到抽象概括的过程，在丰富的表象积累中初步建构起数学模型，然后通过归纳、操作等思维拓展活动，完成了平行线这一数学模型的抽象建构。
又如在教学人教版六年级数学下册《圆柱体体积》时，为了让学生建构体积公式的模型，笔者注重了两个层次的思维拓展：一是渗透转化思想，让学生将未知条件转化为已知条件;二是渗透极限思想。通过这两个层次的思想拓展，帮助学生建构数学思维，体会数学模型的根本价值所在。
数学课堂教学中，通过对学生思维的拓展，学生不但能够丰富数学模型，而且能够运用建模思维分析数学问题，从而培养数学能力，这是教师应尝试的有效途径。
四、加强实践，提升建模思维
弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，教学过程就是通过对数学知识的有效运用，实现教学效果。数学模型的建构，是一个抽象概括的过程，需要不断实践强化，才能内化提升。因而，教师要加强实践，让学生充分参与建模活动，运用建模思想解决实际问题，提升建模思维。
例如，在教学人教版三年级数学下册《长方形、正方形面积》时，笔者创设了这样一个实践活动，让学生运用面积模型解决实际问题：（1）小明家买了一套商品房，请你帮助小明一起计算这套房子各部分的面积。（2）如果要在客厅内铺一块正方形地板，最大能铺多少面积？（3）要在餐厅内刷漆，最多能刷多少平方米？（4）如果要在餐厅四周墙壁上贴装饰条，需要多少米？
学生运用长方形和正方形的面积模型，找到问题解决的策略：第（1）题只需要根据长方形面积和正方形面积公式，即可算出结果;第（2）题则难度加大了，要让学生在原有面积模型的基础上，建构新的面积模型——在长方形中得到一个最大的正方形;第（3）题要让学生建构新的实用型面积模型，因为在刷漆的时候，必须要去掉地板的面积，培养学生灵活运用面积模型的能力。
以上教学实践活动，学生能够根据实际，熟练运用数学建模思想，解决现实问题，让数学建模思维内化为数学技能，有效提升了数学课堂的思维含量。
总之，在小学数学教学中，建模思想的渗透是一个不可忽视的环节，在数学教学中具有十分重要的作用。教师要加强引导，帮助学生积累丰富的表象，培育建模思维。另外还要设置认知冲突，激发学生的探究热情，让学生展开自主实践，建构系统思维，将数学思想抽象出来。最后要帮助学生建构数模思想，将其运用在现实生活中，解决生活中的数学问题。这将有助于发展学生发现数学、创造数学的能力，使学生形成数学思维，而这也正是数学教学的本质所在。
（责编 林 剑）