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山东平度市店子镇昌里中学温素梅新课程标准下，教材内容编排突出了新的教学课标对教学内容重能力重
素质培养的要求，出现了许多与时俱进的新教学思想，把教材的内容进行了章节调整和知识整合，几何知
识与代数知识的综合应用成为教学重点和学习难点,如何解决这个问题，成为教师研究的重要课题。
在新课程的教学过程中，教师必须引导学生有意识进行知识整合与综合应用，使学生掌握解题技巧，感受
到数学的趣味,体验到数学的魅力，提高了综合能力。
现以两例几何知识在代数教学中的应用的教学过程谈谈自己的解题技巧和体会。
例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（2，4）。
（1）试用含a 的代数式表示b、c；
（2）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且S△ODE∶S△OEF＝1∶3，其中O
为坐标原点，试用含a的代数式表示k。
理论依据：顶点坐标公式、根与系数关系、三角形面积公式、坐标线段关系。
思路点拨：①由抛物线顶点横坐标和纵坐标公式得：b＝－4a，c＝4a＋4。则抛物线为y＝ax2－4x＋4a＋4
。②根据a的情况，如图1，分析a＜0，若a＞0，思路同理。
图1
坐标线段：过两个交点E、F分别作y轴的垂线段EM、FN，得本题的思维突破点：坐标线段EM、FN。
代数几何知识整合：
（1）几何条件为S△ODE∶S△OEF＝1∶3，△ODE面积涉及三角形的底和高，而△ODE的底为DO，正是点D的
纵坐标线段，而高为EM，则是点E的横坐标线段EM。
（2）由图象知，△OEF的高和底与坐标线段无关。结合几何知识可知，S△ODF＝S△ODE＋S△OEF，所以S
△ODE∶S△ODF＝1∶4，而△ODF的底为DO，高为F的横坐标线段FN，可以和坐标线段联系了，如此根据同
底的三角形面积之比等于高之比，可得EM∶FN＝1∶4。
（3）设点E、F的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1∶x2＝1∶4，如此将几何关系转化为代数的
关系。
解题步骤略。
例2如图2，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中
点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。
（1）求m的值及这个二次函数的关系。
（2）P为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，与x
轴交于点F。设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写x的取值范围。
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使DCEP是平行四边形？
图2
理论依据：平行四边形性质、坐标线段关系。
思路点拨：根据题意很容易求出二次函数解析式：y＝x2-2x 1和一次函数解析式：y＝x＋1，如此求得点D
的坐标为（1,2）。
坐标线段：过点P作x轴的垂线，与二次函数的图象交于点E，与x轴交于点F，则FP、FE即为点P、点E的纵
坐标线段。
代数几何知识整合：
（1）线段h是点P、点E的纵坐标线段之差，则有h＝yp－yE，故h＝（x＋1）－（x2-2x 1）可得h＝－x2＋
3x。
（2）在DPEC中，与坐标线段相关的规律为DC＝PE，DC正是点D的纵坐标，PE为h，即h＝－x2＋3x＝2，
如此完成了几何知识与代数知识的迁移整合。
解题步骤略。
综上所述，数学题目的条件与目标之间存在着必然的因果关系，根据这些因果关系所遵循的数学原理，选
择合适的解题思想，揭示这种因果关系是数学的魅力所在。
素质培养的要求，出现了许多与时俱进的新教学思想，把教材的内容进行了章节调整和知识整合，几何知
识与代数知识的综合应用成为教学重点和学习难点,如何解决这个问题，成为教师研究的重要课题。
在新课程的教学过程中，教师必须引导学生有意识进行知识整合与综合应用，使学生掌握解题技巧，感受
到数学的趣味,体验到数学的魅力，提高了综合能力。
现以两例几何知识在代数教学中的应用的教学过程谈谈自己的解题技巧和体会。
例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（2，4）。
（1）试用含a 的代数式表示b、c；
（2）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且S△ODE∶S△OEF＝1∶3，其中O
为坐标原点，试用含a的代数式表示k。
理论依据：顶点坐标公式、根与系数关系、三角形面积公式、坐标线段关系。
思路点拨：①由抛物线顶点横坐标和纵坐标公式得：b＝－4a，c＝4a＋4。则抛物线为y＝ax2－4x＋4a＋4
。②根据a的情况，如图1，分析a＜0，若a＞0，思路同理。
图1
坐标线段：过两个交点E、F分别作y轴的垂线段EM、FN，得本题的思维突破点：坐标线段EM、FN。
代数几何知识整合：
（1）几何条件为S△ODE∶S△OEF＝1∶3，△ODE面积涉及三角形的底和高，而△ODE的底为DO，正是点D的
纵坐标线段，而高为EM，则是点E的横坐标线段EM。
（2）由图象知，△OEF的高和底与坐标线段无关。结合几何知识可知，S△ODF＝S△ODE＋S△OEF，所以S
△ODE∶S△ODF＝1∶4，而△ODF的底为DO，高为F的横坐标线段FN，可以和坐标线段联系了，如此根据同
底的三角形面积之比等于高之比，可得EM∶FN＝1∶4。
（3）设点E、F的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1∶x2＝1∶4，如此将几何关系转化为代数的
关系。
解题步骤略。
例2如图2，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中
点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。
（1）求m的值及这个二次函数的关系。
（2）P为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，与x
轴交于点F。设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写x的取值范围。
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使DCEP是平行四边形？
图2
理论依据：平行四边形性质、坐标线段关系。
思路点拨：根据题意很容易求出二次函数解析式：y＝x2-2x 1和一次函数解析式：y＝x＋1，如此求得点D
的坐标为（1,2）。
坐标线段：过点P作x轴的垂线，与二次函数的图象交于点E，与x轴交于点F，则FP、FE即为点P、点E的纵
坐标线段。
代数几何知识整合：
（1）线段h是点P、点E的纵坐标线段之差，则有h＝yp－yE，故h＝（x＋1）－（x2-2x 1）可得h＝－x2＋
3x。
（2）在DPEC中，与坐标线段相关的规律为DC＝PE，DC正是点D的纵坐标，PE为h，即h＝－x2＋3x＝2，
如此完成了几何知识与代数知识的迁移整合。
解题步骤略。
综上所述，数学题目的条件与目标之间存在着必然的因果关系，根据这些因果关系所遵循的数学原理，选
择合适的解题思想，揭示这种因果关系是数学的魅力所在。