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新课程强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。
学生思维的灵活性主要表现于：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等，从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。
如何使更多的学生思维具有灵活的特点呢？我在教学实践中作了一些探索。
一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性
l.引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。
一题多解可以拓宽思路，增强知识间的联系，培养学生多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2.引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指题目确定了已知条件后，并没有现成的结论，让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
∴α=2kπ+π+β(與已知矛盾舍去)或α+β=2kπ+2θ（k∈z）
则sin(α+β)，cos(α+β)，tan(α+β)均可求。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件，运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
3.引导学生对问题的条件进行发散。
对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度、用不同知识来解决问题。
对于等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程）。如“｛an｝为等差数列，a1＝１，d＝－2，问－9为第几项”。然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中，学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握，否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d＝－3，则－9为第 项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的灵活性。
二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养
1.思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。
<例>方程sinx＝lgx的解有（ ）个。（A）1（B）2（C）3（D）4
学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y=sinxy=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质。在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
2.思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。
<例>已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x＝－1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。
解法一：截距为3，可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0)
显然有c＝3，利用其他条件可列方程组求a，b值。
解法二：由对称轴为直线x＝－1，可选择顶点式方程：
y=a(x-m)2+k(a≠0)
显然有m＝－1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。
另外，由图象对称性可知x轴上交点为(l，0)和(－3，0)
解法三：由截距为3，即过三点(0，3)，(l，0)和(－3，0)
可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0)
代人点坐标，列方程组求a，b，c值。
解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)（必须与x轴有交点）
显然：x1＝－3，x2＝1。由截距3，可求a值。
在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。
3.思维的敏捷性指思维活动的速度。它包括解题速度和正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。
<例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va：Vb＝（ ）
（A）a：b （B）b：a （C）a2：b2（D）b2：a2
用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求:Va=πab2sin2θ，Vb=πa2bsin2θ，则Va：Vb＝b：a，由于要引入两边夹角来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形——矩形来处理，则相当简便。
此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。
三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。
“导入出新”——良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”、“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态。
“错解剖析”——提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况，寻找错误产生的原因，以求更好地加深对知识的掌握。
“例题变式”——从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解……以变来培养学生灵活的思维。
“编制试卷”——列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自己编制一份测验试卷，并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理，更好地掌握知识结构和思维方式。
“撰写小论文”——根据学习体会、解题经验、考试心得等，撰写学科研究性小论文。选择比较好的指导修改并编辑出版，激励学生进行总结，培养良好的思维品质。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。
学生思维的灵活性主要表现于：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等，从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。
如何使更多的学生思维具有灵活的特点呢？我在教学实践中作了一些探索。
一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性
l.引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。
一题多解可以拓宽思路，增强知识间的联系，培养学生多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2.引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指题目确定了已知条件后，并没有现成的结论，让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。
∴α=2kπ+π+β(與已知矛盾舍去)或α+β=2kπ+2θ（k∈z）
则sin(α+β)，cos(α+β)，tan(α+β)均可求。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件，运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
3.引导学生对问题的条件进行发散。
对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度、用不同知识来解决问题。
对于等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程）。如“｛an｝为等差数列，a1＝１，d＝－2，问－9为第几项”。然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中，学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握，否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d＝－3，则－9为第 项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的灵活性。
二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养
1.思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。
<例>方程sinx＝lgx的解有（ ）个。（A）1（B）2（C）3（D）4
学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无措。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y=sinxy=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质。在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
2.思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。
<例>已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x＝－1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。
解法一：截距为3，可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0)
显然有c＝3，利用其他条件可列方程组求a，b值。
解法二：由对称轴为直线x＝－1，可选择顶点式方程：
y=a(x-m)2+k(a≠0)
显然有m＝－1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。
另外，由图象对称性可知x轴上交点为(l，0)和(－3，0)
解法三：由截距为3，即过三点(0，3)，(l，0)和(－3，0)
可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0)
代人点坐标，列方程组求a，b，c值。
解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)（必须与x轴有交点）
显然：x1＝－3，x2＝1。由截距3，可求a值。
在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。
3.思维的敏捷性指思维活动的速度。它包括解题速度和正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。
<例>相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va：Vb＝（ ）
（A）a：b （B）b：a （C）a2：b2（D）b2：a2
用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求:Va=πab2sin2θ，Vb=πa2bsin2θ，则Va：Vb＝b：a，由于要引入两边夹角来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形——矩形来处理，则相当简便。
此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。
三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。
“导入出新”——良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”、“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态。
“错解剖析”——提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握情况，寻找错误产生的原因，以求更好地加深对知识的掌握。
“例题变式”——从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变换问题的思考角度，寻求一题多解……以变来培养学生灵活的思维。
“编制试卷”——列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生自己编制一份测验试卷，并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题心理，更好地掌握知识结构和思维方式。
“撰写小论文”——根据学习体会、解题经验、考试心得等，撰写学科研究性小论文。选择比较好的指导修改并编辑出版，激励学生进行总结，培养良好的思维品质。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”