论文部分内容阅读
平面解析几何是高中数学的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，涉及的知识甚多，同时易错点也较多.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习的效率.本文从剖析解析几何的典型易错知识与方法的角度加以分析，为同学们在以后的复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.
易错点1：基本概念理解偏差致错
例1 经过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程是 .
错解：由题意，所求直线方程为xa yb=1，由（2，1）在直线上得2a 1b=1及ab=8，
得a=4，b=2，故所求直线方程为x 2y=4.
错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab.
正解：所求直线方程应为：x 2y=4，
或（2 1）x-2（2-1）y-4=0，
或（2-1）x-2（2 1）y 4=0.
评注：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，理解入陷阱，易致错.
易错点2：知识掌握不重细节致错
例2 过点（2，2）且横、纵截距相等的直线方程 .
错解：设所求方程为xa ya=1，将（2，2）代入得a=4，得直线方程为x y-4=0.
错因分析：上述错解所设方程为xa ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（2，2）的直线y=x也符合条件，主要审题不全致错.
正解：x y-4=0或x-y=0.
例3 过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程 .
错解：设直线斜率为k，其方程为y-2=k（x 4），则与x轴的交点为（-4-2k，0），
∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.
故所求直线的方程为x 5y-6=0.
错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x=-4也符合题意.
正解：x 5y-6=0或x=-4.
评注：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.
易错点3：题目条件审视不全致错
例4 已知圆的方程为x2 y2 ax 2y a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.
错解：将圆的方程配方得：
（x a2）2 （y 1）2=4-3a24，
因为其圆心坐标为C（-a2，-1），半径r=4-3a24，当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|>r，即（1 a2）2 （2 1）2>4-3a24.即a2 a 9>0，解得a∈R.
错因分析：本题的“陷阱”是方程x2 y2 ax 2y a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|>r，却忽视了a的另一制约条件4-3a2>0.
正解：圆方程为（x a2）2 （y 1）2=4-3a24，由a2 a 9>0及4-3a2>0，
可得a的取值范围是（-233，233）.
评注：审题的关键环节挖掘问题的隐含条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.
易错点4：忽视定义中的限制条件致错
例5 已知定圆F1：（x 5）2 y2=1，圆F2：（x-5）2 y2=16，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心的轨迹方程.
错解：由F1：（x 5）2 y2=1，F2：（x-5）2 y2=16，设圆M半径为r，则MF1=1 r，MF2=4 r，故MF2-MF1=3
易错点1：基本概念理解偏差致错
例1 经过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程是 .
错解：由题意，所求直线方程为xa yb=1，由（2，1）在直线上得2a 1b=1及ab=8，
得a=4，b=2，故所求直线方程为x 2y=4.
错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12|a||b|，而不是12ab.
正解：所求直线方程应为：x 2y=4，
或（2 1）x-2（2-1）y-4=0，
或（2-1）x-2（2 1）y 4=0.
评注：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，理解入陷阱，易致错.
易错点2：知识掌握不重细节致错
例2 过点（2，2）且横、纵截距相等的直线方程 .
错解：设所求方程为xa ya=1，将（2，2）代入得a=4，得直线方程为x y-4=0.
错因分析：上述错解所设方程为xa ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（2，2）的直线y=x也符合条件，主要审题不全致错.
正解：x y-4=0或x-y=0.
例3 过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程 .
错解：设直线斜率为k，其方程为y-2=k（x 4），则与x轴的交点为（-4-2k，0），
∴|-4-2k-1|=5，解得k=-15.
故所求直线的方程为x 5y-6=0.
错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x=-4也符合题意.
正解：x 5y-6=0或x=-4.
评注：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.
易错点3：题目条件审视不全致错
例4 已知圆的方程为x2 y2 ax 2y a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围.
错解：将圆的方程配方得：
（x a2）2 （y 1）2=4-3a24，
因为其圆心坐标为C（-a2，-1），半径r=4-3a24，当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则|AC|>r，即（1 a2）2 （2 1）2>4-3a24.即a2 a 9>0，解得a∈R.
错因分析：本题的“陷阱”是方程x2 y2 ax 2y a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出|AC|>r，却忽视了a的另一制约条件4-3a2>0.
正解：圆方程为（x a2）2 （y 1）2=4-3a24，由a2 a 9>0及4-3a2>0，
可得a的取值范围是（-233，233）.
评注：审题的关键环节挖掘问题的隐含条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.
易错点4：忽视定义中的限制条件致错
例5 已知定圆F1：（x 5）2 y2=1，圆F2：（x-5）2 y2=16，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心的轨迹方程.
错解：由F1：（x 5）2 y2=1，F2：（x-5）2 y2=16，设圆M半径为r，则MF1=1 r，MF2=4 r，故MF2-MF1=3