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摘要：在数学教学中，几何直观首先表现为一种意识，即面对数学问题能想到用画图来帮助思考;其次表现为一种能力，即掌握一定的几何直观的画图技巧，能画出图来。几何直观一般有实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种形式。培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。
关键词：几何直观教学;核心素养;小学数学教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）04B-0061-03
曹培英认为，将几何直观列为义务教育数学课程的核心追求之一，有积极意义，至少有利于加深对直观的认识，有利于指导直观教学的改进与提升。史宁中认为，无论进行怎样的课程改革，如果用一句话描述数学教育的根本，那就是培养学生的数学直观。加强几何直观教学，是培养学生数学核心素养的有效途径。
在数学教学中，几何直观与“图形与几何”领域的内容关系密切是毋庸置疑的。将几何直观用于描述和分析“非图形与几何”领域的问题，却最能彰显其价值，从而更好地培养学生的几何直观意识与能力。下面，笔者结合几何直观的不同表现形式，以苏教版数学教材为例，谈谈怎样在第一学段的“数与代数”领域加强几何直观教学，培养学生的数学核心素养。
一、实物直观，帮助学生加深数的认识
实物直观，即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断的一种能力[1]。第一学段，学生的思维处于具体形象思维阶段，而数的认识内容相对比较抽象，教材大多借助小棒、计数器等实物帮助学生理解数的组成及意义，形成数的概念。教学时，教师要充分利用实物直观，帮助学生经历形象到抽象的过程，让数的认识逐步深入。
例如，“认识千以内的数”一课，教材设置了两道例题。例1利用实例，创设了学习三位数的情境。教学时，教师要发挥小方块的作用，先让学生从摆小棒表示数的经验迁移到用小方块表示数，再由小方块过渡到计数器，让学生直观感受到这两个数的意义[2]。例2及其后面的“想想做做”教学，学生在计数器上一边拨珠一边数数，直观认识几百几十和几百零几的数。在计数器上表示数很方便，教师可以直接让学生在计数器上边拨边数。而认识一千的教学，除了计数器，还要再次借助小方块，一百一百地数，10片小方块正好拼成一个大正方体，这个大正方体就表示一千，由此突出计数单位以及相邻单位之间的进率，使“千”的教学更加丰满[3]。
二、图形直观，促进学生理解数的运算
圖形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。与实物直观相比，图形直观的抽象程度更高一些，其综合程度更强一些[4]。第一学段，数的运算教学分以下几种类型：一是借助小棒或计数器理解算理，如20以内的加减法、表内乘除法、两位数和三位数的加减法;二是由口算过渡到笔算，借助计算法则理解算理，如一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法等;三是联系数的意义理解算理，如一位小数的加减运算。其中第三种类型的教学过程，可以充分利用图形直观，沟通数与形之间的联系，使学生对算理的理解更加深入。
例如，“一位小数的加、减法”一课，教材提供的是购买早餐的问题情境，解决“买1个馒头和1杯豆浆一共要多少元”的问题，列出算式0.5 0.7，让学生从“5角加7角是1元2角，也就是1.2元”的思考中，体会“5角”和“7角”应该直接相加，得数满十向“元”进一，再按这样的计算思路写出笔算竖式。教学时，除了完成教材的意图，教师还可以增加一个环节：让学生根据0.5和0.7的意义，在长方形中表示出来，并结合图思考这样算的道理，明确“5个0.1加7个0.1是12个0.1，也就是1.2”。学生在学习一位小数的概念以及比较小数大小时，已经有了比较充分的数形结合的经验，这里解释起来很轻松，也能沟通小数加法与整数加法的联系，对理解算理、掌握算法无疑是大有裨益的。
三、简约符号直观， 利于学生分析数量关系
简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的半符号化的直观[5]。第一学段，教材除了结合计算教学，编排了许多一步计算或两步计算的实际问题，还从三年级开始，每册都安排了“解决问题的策略”的教学内容。其中，三年级安排的内容是把解决问题的一般步骤作为最基本的策略，突出数量关系的分析，为后续学习奠定了坚实的基础。对低年级学生而言数量关系是很抽象的，加强简约符号直观的教学就显得尤为重要了。
例如，“解决问题的策略——从条件想起”的第二课时，学生已经初步感受了从条件出发向问题的推理是解决问题的一种策略。这节课是加强对这种策略的体验，促进学生自觉地利用这种策略探索问题的解法。例题在找出所有已知条件以后，要求学生在线段图的直观帮助下，理解数量关系，并根据已知条件设计解题步骤。教学时，教师可以先让学生充分经历线段图的形成过程，明确先画哪种数量，另外两种数量用线段怎样表示，为什么这样表示，画好线段图后，隐去文字题目，让学生结合线段图说说数量关系，沟通图与策略的联系。“想想做做”的第1题，学生在线段图上进行条件的组合，提出不同的问题，体会条件和问题的联系，从而放大线段图的功能，初步感悟到几何直观的价值。
又如，“解决问题的策略——从问题想起”的第二课时，教材画出一条线段表示裤子的价格是48元，要求学生画出表示上衣价格的线段，并在线段图上表示所求问题。教学时，教师可以先让学生独立画图，再直接看图说数量关系，思考先算什么。学生经过画图和思考，能够完全进入问题情境，形成有利于解题的氛围。接着教师让学生继续思考是否有不同的解法，教师引导学生看线段图想到：裤子价格看成1份，上衣价格是这样的3份，一套衣服的价格就是这样的4份。教学“想一想”时，教师依然先让学生独立画图，再比较异同点，思考类似的问题并尝试解决。经过这样的过程，学生从线段图上直观感受到了只有两个已知条件的两步计算问题的特点，画线段图的能力也得以培养。
四、替代物直观，推动学生探究数学规律
替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物[6]。探索规律的内容，一、二年级教材编排在练习中，三年级教材每册都编排了一次专题活动。教学时教师要重在“探索”，让学生充分经历寻找规律的过程。这个过程有时是比较复杂的，隐含的规律可能是比较抽象的，需要教师借助直观的实物、图形或符号帮助学生发现规律、理解规律、表达规律。
例如，“有趣的乘法计算”一课，教材安排探索两位数乘11的规律并探索两个“头同尾补”的两位数相乘的规律。其中，第一种规律乘法算式的特点十分明显。教学时，教师可以直接提出问题“一个两位数与11相乘的得数有什么共同特点？”让学生先用竖式计算，再分别比较积的每一位上的数和原来的两位数。发现、表达、验证规律后，教师追问：“一个两位数乘11，为什么会存在着这样的规律？”学生从一个两位数乘11的计算过程找原因，并借助如图1这样的直观模型理解这类现象的一般规律。通过这样的教学，抽象的规律借助相对形象的模型积淀在学生探索的过程中，既加深了学生对规律的理解，又利于对规律的表达。
需要说明的是，以上几何直观的四种表现形式与第一学段“数学与代数”领域的教学内容不是一一对应的，更多情况下是多种表现形式的综合运用。教师要具有培养学生几何直观的自觉意识，在日常教学的各个环节付诸实践，促使学生形成敏锐洞察力和深厚的数学素养。
参考文献：
[1][4][5][6]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法， 2012（7）：93.94.94.94.
[2][3]沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社， 2015：264.265.
责任编辑：石萍
关键词：几何直观教学;核心素养;小学数学教学
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）04B-0061-03
曹培英认为，将几何直观列为义务教育数学课程的核心追求之一，有积极意义，至少有利于加深对直观的认识，有利于指导直观教学的改进与提升。史宁中认为，无论进行怎样的课程改革，如果用一句话描述数学教育的根本，那就是培养学生的数学直观。加强几何直观教学，是培养学生数学核心素养的有效途径。
在数学教学中，几何直观与“图形与几何”领域的内容关系密切是毋庸置疑的。将几何直观用于描述和分析“非图形与几何”领域的问题，却最能彰显其价值，从而更好地培养学生的几何直观意识与能力。下面，笔者结合几何直观的不同表现形式，以苏教版数学教材为例，谈谈怎样在第一学段的“数与代数”领域加强几何直观教学，培养学生的数学核心素养。
一、实物直观，帮助学生加深数的认识
实物直观，即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断的一种能力[1]。第一学段，学生的思维处于具体形象思维阶段，而数的认识内容相对比较抽象，教材大多借助小棒、计数器等实物帮助学生理解数的组成及意义，形成数的概念。教学时，教师要充分利用实物直观，帮助学生经历形象到抽象的过程，让数的认识逐步深入。
例如，“认识千以内的数”一课，教材设置了两道例题。例1利用实例，创设了学习三位数的情境。教学时，教师要发挥小方块的作用，先让学生从摆小棒表示数的经验迁移到用小方块表示数，再由小方块过渡到计数器，让学生直观感受到这两个数的意义[2]。例2及其后面的“想想做做”教学，学生在计数器上一边拨珠一边数数，直观认识几百几十和几百零几的数。在计数器上表示数很方便，教师可以直接让学生在计数器上边拨边数。而认识一千的教学，除了计数器，还要再次借助小方块，一百一百地数，10片小方块正好拼成一个大正方体，这个大正方体就表示一千，由此突出计数单位以及相邻单位之间的进率，使“千”的教学更加丰满[3]。
二、图形直观，促进学生理解数的运算
圖形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。与实物直观相比，图形直观的抽象程度更高一些，其综合程度更强一些[4]。第一学段，数的运算教学分以下几种类型：一是借助小棒或计数器理解算理，如20以内的加减法、表内乘除法、两位数和三位数的加减法;二是由口算过渡到笔算，借助计算法则理解算理，如一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法等;三是联系数的意义理解算理，如一位小数的加减运算。其中第三种类型的教学过程，可以充分利用图形直观，沟通数与形之间的联系，使学生对算理的理解更加深入。
例如，“一位小数的加、减法”一课，教材提供的是购买早餐的问题情境，解决“买1个馒头和1杯豆浆一共要多少元”的问题，列出算式0.5 0.7，让学生从“5角加7角是1元2角，也就是1.2元”的思考中，体会“5角”和“7角”应该直接相加，得数满十向“元”进一，再按这样的计算思路写出笔算竖式。教学时，除了完成教材的意图，教师还可以增加一个环节：让学生根据0.5和0.7的意义，在长方形中表示出来，并结合图思考这样算的道理，明确“5个0.1加7个0.1是12个0.1，也就是1.2”。学生在学习一位小数的概念以及比较小数大小时，已经有了比较充分的数形结合的经验，这里解释起来很轻松，也能沟通小数加法与整数加法的联系，对理解算理、掌握算法无疑是大有裨益的。
三、简约符号直观， 利于学生分析数量关系
简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的半符号化的直观[5]。第一学段，教材除了结合计算教学，编排了许多一步计算或两步计算的实际问题，还从三年级开始，每册都安排了“解决问题的策略”的教学内容。其中，三年级安排的内容是把解决问题的一般步骤作为最基本的策略，突出数量关系的分析，为后续学习奠定了坚实的基础。对低年级学生而言数量关系是很抽象的，加强简约符号直观的教学就显得尤为重要了。
例如，“解决问题的策略——从条件想起”的第二课时，学生已经初步感受了从条件出发向问题的推理是解决问题的一种策略。这节课是加强对这种策略的体验，促进学生自觉地利用这种策略探索问题的解法。例题在找出所有已知条件以后，要求学生在线段图的直观帮助下，理解数量关系，并根据已知条件设计解题步骤。教学时，教师可以先让学生充分经历线段图的形成过程，明确先画哪种数量，另外两种数量用线段怎样表示，为什么这样表示，画好线段图后，隐去文字题目，让学生结合线段图说说数量关系，沟通图与策略的联系。“想想做做”的第1题，学生在线段图上进行条件的组合，提出不同的问题，体会条件和问题的联系，从而放大线段图的功能，初步感悟到几何直观的价值。
又如，“解决问题的策略——从问题想起”的第二课时，教材画出一条线段表示裤子的价格是48元，要求学生画出表示上衣价格的线段，并在线段图上表示所求问题。教学时，教师可以先让学生独立画图，再直接看图说数量关系，思考先算什么。学生经过画图和思考，能够完全进入问题情境，形成有利于解题的氛围。接着教师让学生继续思考是否有不同的解法，教师引导学生看线段图想到：裤子价格看成1份，上衣价格是这样的3份，一套衣服的价格就是这样的4份。教学“想一想”时，教师依然先让学生独立画图，再比较异同点，思考类似的问题并尝试解决。经过这样的过程，学生从线段图上直观感受到了只有两个已知条件的两步计算问题的特点，画线段图的能力也得以培养。
四、替代物直观，推动学生探究数学规律
替代物直观是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，也可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物[6]。探索规律的内容，一、二年级教材编排在练习中，三年级教材每册都编排了一次专题活动。教学时教师要重在“探索”，让学生充分经历寻找规律的过程。这个过程有时是比较复杂的，隐含的规律可能是比较抽象的，需要教师借助直观的实物、图形或符号帮助学生发现规律、理解规律、表达规律。
例如，“有趣的乘法计算”一课，教材安排探索两位数乘11的规律并探索两个“头同尾补”的两位数相乘的规律。其中，第一种规律乘法算式的特点十分明显。教学时，教师可以直接提出问题“一个两位数与11相乘的得数有什么共同特点？”让学生先用竖式计算，再分别比较积的每一位上的数和原来的两位数。发现、表达、验证规律后，教师追问：“一个两位数乘11，为什么会存在着这样的规律？”学生从一个两位数乘11的计算过程找原因，并借助如图1这样的直观模型理解这类现象的一般规律。通过这样的教学，抽象的规律借助相对形象的模型积淀在学生探索的过程中，既加深了学生对规律的理解，又利于对规律的表达。
需要说明的是，以上几何直观的四种表现形式与第一学段“数学与代数”领域的教学内容不是一一对应的，更多情况下是多种表现形式的综合运用。教师要具有培养学生几何直观的自觉意识，在日常教学的各个环节付诸实践，促使学生形成敏锐洞察力和深厚的数学素养。
参考文献：
[1][4][5][6]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法， 2012（7）：93.94.94.94.
[2][3]沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社， 2015：264.265.
责任编辑：石萍