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【摘要】这节课，教师引导学生从认识线段到认识无限长的射线、直线，进一步理解“角”的概念， 这是学生空间观念的一次拓展。本节课要突破的难点是对射线、直线的“无限长”这一特征的理解。 因此在教学过程中，教师注重让学生发挥想象力，通过数次活动，顺势利导，引导学生建构起“无 限长”这一特征，从而帮助学生在脑海中建立起清晰的有关“直线、射线和角”的表象，培养 学生的空间观念。
【关键词】数学思维想象空间观念
_、案例描述
1. 想象从“点”开始
师：今天这节课，我们先暂别“计算海洋”，我们一起 走进“图形王国”。首先，接待我们的是谁呢？（点）可 别小瞧了我们的“点”朋友，虽然它没有大小，但是本领 可大了，一切的故事都是因它而开始。来，让我们想象一 下，当这个点向着一个方向运动的时候就形成了 （— 条线）
师（引导学生做手势）：现在它停止了运动，你看见 了什么？
生（齐）：线段。
师：对，这就是我们二年级就已经认识的线段，你能 说说它有什么特点吗？
生：线段是直直的，有两个端点。
（教师顺势板书：直的 两个端点）
师：我们能不能测量出这条线段的长度呢？能的话， 从哪里量到哪里呢？
生（比画）：从这个端点开始到这个端点结束。
师：任何一条线段都可以测量出它的长度，“能测量 出长度”在数学中可以称为“有限长”。这也是线段的特 点之一。（板书：有限长）
实际上，学生早在二年级就已经认识了线段，但是这 里并没有直接出示一条线段让学生回顾线段的特征，而 是设计了本节课的第一次想象，引导由一个“点”的运动， 去想象线段的形成过程，“点动成线”的画面在学生的脑 海中生动地呈现出来了。第一次想象活动给后续展现射 线的形成过程做铺垫，初步在学生脑海中建立起动态的 图形形成过程。此外，这里也凸显了 “端点”的作用，注 重从一个点开始，到一个点结束，这两个端点使得线段的 长度是有限的。
2. 想象从“无人机飞走”放飞
师：今年是中华人民共和国成立70周年，经过70 年的发展，人们的生活越来越好，城市发展越来越繁华， 白天热闹非凡，夜晚美轮美奂，我们一起来瞧一瞧城市美 丽的夜景！（播放灯光夜景动画，大图缩小定格在同一 张PPT）正是有了这些光线的装扮，城市的夜空才如此的 绚丽多彩！
师：这里正好有一条光线射到了夜空中的无人机上。 请看，在无人机上正好有一个光点。
师：从发射点到光点之间的这条光线可以看成是一 条（线段），你能指一指两个端点各在哪里吗？
（生指认）
师：无人机飞走了。
师：这时还能看到光点吗？闭上眼睛，随着老师的 语言，尽情地想象。如果这个探照灯有无限的能量，发出 的光线也没有任何物体阻挡，这条光线会射向哪里？
生：天空、月球、太阳系、宇宙……
师：是的，会一直不停地射向无穷远的地方，这会是 怎样的光线呢？睁开眼睛。
师：你认为这条光线还可以用线段表示吗？
生：不能，如果射下去就没有端点了，无限长了，不 符合线段的特征。
师：这美丽的灯光，沿着直的线往前，向无限的天空 射去，没有另一个端点，这样射出的光线都可以看作是射 线。（板书：射线）
在这次教学的设计中，通过设计情景，助力学生进行 大胆想象。从光线照射到飞机上出现一个光点，此时，形 成的还是线段。“无人机飞走了”就是一次促使学生突 破认知的“转折点”，在教师适时的语言引导下，学生大 胆进行想象，这样的想象活动生动有趣，让学生对“无限 长”的认知顺其自然。
3. 让“想象”现于纸上
师：射线是怎样的图形呢？我们可以联系射出的光 线想（边动画演示边说明），从一点沿着直的线射出，另一 端没有端点，无限长。
师（结合PPT演示）：像这样，把线段的一端无限延 长，（停顿）就得到了一条射线。
师：射线的长度有办法度量吗？（没有）为什么？（射 线是无限长的）是的，那么在这张有限长的练习纸上怎 样画出无限长的射线呢？（学生尝试画，教师选取几幅 有代表性的作品并编上序号）
生1 ：我用直尺一直画到纸边，表示可以一直画 下去。
生2 ：我在后面用省略号表示无限长。
生3：只要画出一个端点和线的一部分就可以了， 后面没有端点表示无限长。
师：同学们的创造都有道理，尽管方法不同，但都表 示无限长。数学家的方法和这名同学（指生3）的一样， 只画出一个端点和线的一部分就可以表示一条射线了。 （师示范画射线）
师：画出来的长度是有限的，实际表示的却是无限 的，这也正是数学的魅力所在。
师：现在谁来完整地说一说射线有什么特点？
生：直的、一个端点、无限长。（跟着板书念）
师：你一下子就说出了射线的三个特点，太棒了！ 师（出示不同方向的射线）：老师现在变换一下，这 些是射线吗？（是）为什么这些都是射线呢？
生：因为它们都是有一个端点，是直的，无限长的。
師：想一想，你在生活中还看到过哪些射线？
师（出示图片）：是的，射线非常常见。老师也找了 一些射线，我们一起来瞧瞧——汽车的车灯发出的光线、 手电筒射出的光线、阳光。
教师一句“射线是怎样的图形呢”，引导学生关注射 线本质特征，思考如何抽象表达图形。“那么在这张有限 长的练习纸上怎样画出无限长的射线呢”，引导学生进行 第三次想象，但相较于第二次的想象，这次的想象“有限 制”了，学生要充分调动自己对射线形成的认知，并发挥 创造力，对自己脑海中想象出的“无限长”进行抽象表达。 4. 让“想象”再飞一会儿
师：一个端点去掉，表示一端可以无限延伸。如果 现在把两个端点都去掉，又会怎么样呢？（两端无限延 伸）你能用手臂比畫一下吗？
师：像这样的线叫作——直线。
师：你能在练习纸上画上一条直线吗？
（生在练习纸上画直线，教师巡视）
师：直线又有什么特点呢？
（师根据学生回答板书：直的没有端点无限长） 师：真厉害，同学们一下子就把直线的三个特点都 准确地说出来了。
师：我们从一个点开始，认识了射线和直线。
师：线段、射线和直线有什么相同点和不同点呢？
生：相同点是它们都是直的。不同点是端点的数量 不同，线段有两个端点，射线有1个端点，直线没有端点。 线段是有限长的，射线和直线是无限长的。
学生在前面的想象活动中感受射线“无限长”的特 点，在认识直线时，教师引导学生继续想象如果另一个端 点也去掉，会形成什么样的图形。这两次想象活动的设 计加强了知识点之间的联系，让学生自然而然地认识到 直线的特点，从而在比较直线、射线和线段的异同时，思 路更加清晰。
二、案例反思
在认识射线、直线的过程中，学生出现的学习难点是 对“无限长”的理解，学生要从原来对“有限长”的线段 向“无限长”的空间观念进行扩展。在教学过程中，教师 抓住“点动成线”这一本质，通过一次次“想象”活动使 得知识点“动起来”，在学生脑海中形成清晰的认知，突 破学生的认知误区，将学生出现的认知冲突变成课堂上 的生成性资源，成为学生学习新知识的动力。
1. 想象活动找准起点，突出“一个点”
课堂导入的部分，教师首先呈现“一个点”，让学生 的注意力集中到这个点的运动上，这样的教学起点，让学 生找准了想象的方向，正因为点的运动才会出现线。突 出“一个点”的运动，也有助于学生对图形本质特征的深 刻理解，而且使后续的想象活动变得更加自然了。
2. 创设有想象空间的情境，注重“空间观念”
教师巧妙地创设“无人机飞走”的教学情境，给予学 生充分的想象空间。在教学过程中，教师发现有的学生 虽然不能表达出“无限长”这样的概念，但是用“会一直 射向天空”“射向宇宙”这样的表达来形容自己想象出 的画面，这样的想象过程，正是学生“空间观念”在不断 提升的表现。
3. 抽象想象内容，回归“知识本质”
想象活动要想能够真正促成知识点的生成，还需要 教师的进一步引导，让学生尝试用自己的方式画射线。 正是这次抽象想象内容的过程，促进学生思考、总结射线 的特征，从而进一步寻求一种方式来表达“一个端点”“无 限长”，在表达的过程中，学生逐步抽象出概念，为后续学 习打下扎实的基础。
【关键词】数学思维想象空间观念
_、案例描述
1. 想象从“点”开始
师：今天这节课，我们先暂别“计算海洋”，我们一起 走进“图形王国”。首先，接待我们的是谁呢？（点）可 别小瞧了我们的“点”朋友，虽然它没有大小，但是本领 可大了，一切的故事都是因它而开始。来，让我们想象一 下，当这个点向着一个方向运动的时候就形成了 （— 条线）
师（引导学生做手势）：现在它停止了运动，你看见 了什么？
生（齐）：线段。
师：对，这就是我们二年级就已经认识的线段，你能 说说它有什么特点吗？
生：线段是直直的，有两个端点。
（教师顺势板书：直的 两个端点）
师：我们能不能测量出这条线段的长度呢？能的话， 从哪里量到哪里呢？
生（比画）：从这个端点开始到这个端点结束。
师：任何一条线段都可以测量出它的长度，“能测量 出长度”在数学中可以称为“有限长”。这也是线段的特 点之一。（板书：有限长）
实际上，学生早在二年级就已经认识了线段，但是这 里并没有直接出示一条线段让学生回顾线段的特征，而 是设计了本节课的第一次想象，引导由一个“点”的运动， 去想象线段的形成过程，“点动成线”的画面在学生的脑 海中生动地呈现出来了。第一次想象活动给后续展现射 线的形成过程做铺垫，初步在学生脑海中建立起动态的 图形形成过程。此外，这里也凸显了 “端点”的作用，注 重从一个点开始，到一个点结束，这两个端点使得线段的 长度是有限的。
2. 想象从“无人机飞走”放飞
师：今年是中华人民共和国成立70周年，经过70 年的发展，人们的生活越来越好，城市发展越来越繁华， 白天热闹非凡，夜晚美轮美奂，我们一起来瞧一瞧城市美 丽的夜景！（播放灯光夜景动画，大图缩小定格在同一 张PPT）正是有了这些光线的装扮，城市的夜空才如此的 绚丽多彩！
师：这里正好有一条光线射到了夜空中的无人机上。 请看，在无人机上正好有一个光点。
师：从发射点到光点之间的这条光线可以看成是一 条（线段），你能指一指两个端点各在哪里吗？
（生指认）
师：无人机飞走了。
师：这时还能看到光点吗？闭上眼睛，随着老师的 语言，尽情地想象。如果这个探照灯有无限的能量，发出 的光线也没有任何物体阻挡，这条光线会射向哪里？
生：天空、月球、太阳系、宇宙……
师：是的，会一直不停地射向无穷远的地方，这会是 怎样的光线呢？睁开眼睛。
师：你认为这条光线还可以用线段表示吗？
生：不能，如果射下去就没有端点了，无限长了，不 符合线段的特征。
师：这美丽的灯光，沿着直的线往前，向无限的天空 射去，没有另一个端点，这样射出的光线都可以看作是射 线。（板书：射线）
在这次教学的设计中，通过设计情景，助力学生进行 大胆想象。从光线照射到飞机上出现一个光点，此时，形 成的还是线段。“无人机飞走了”就是一次促使学生突 破认知的“转折点”，在教师适时的语言引导下，学生大 胆进行想象，这样的想象活动生动有趣，让学生对“无限 长”的认知顺其自然。
3. 让“想象”现于纸上
师：射线是怎样的图形呢？我们可以联系射出的光 线想（边动画演示边说明），从一点沿着直的线射出，另一 端没有端点，无限长。
师（结合PPT演示）：像这样，把线段的一端无限延 长，（停顿）就得到了一条射线。
师：射线的长度有办法度量吗？（没有）为什么？（射 线是无限长的）是的，那么在这张有限长的练习纸上怎 样画出无限长的射线呢？（学生尝试画，教师选取几幅 有代表性的作品并编上序号）
生1 ：我用直尺一直画到纸边，表示可以一直画 下去。
生2 ：我在后面用省略号表示无限长。
生3：只要画出一个端点和线的一部分就可以了， 后面没有端点表示无限长。
师：同学们的创造都有道理，尽管方法不同，但都表 示无限长。数学家的方法和这名同学（指生3）的一样， 只画出一个端点和线的一部分就可以表示一条射线了。 （师示范画射线）
师：画出来的长度是有限的，实际表示的却是无限 的，这也正是数学的魅力所在。
师：现在谁来完整地说一说射线有什么特点？
生：直的、一个端点、无限长。（跟着板书念）
师：你一下子就说出了射线的三个特点，太棒了！ 师（出示不同方向的射线）：老师现在变换一下，这 些是射线吗？（是）为什么这些都是射线呢？
生：因为它们都是有一个端点，是直的，无限长的。
師：想一想，你在生活中还看到过哪些射线？
师（出示图片）：是的，射线非常常见。老师也找了 一些射线，我们一起来瞧瞧——汽车的车灯发出的光线、 手电筒射出的光线、阳光。
教师一句“射线是怎样的图形呢”，引导学生关注射 线本质特征，思考如何抽象表达图形。“那么在这张有限 长的练习纸上怎样画出无限长的射线呢”，引导学生进行 第三次想象，但相较于第二次的想象，这次的想象“有限 制”了，学生要充分调动自己对射线形成的认知，并发挥 创造力，对自己脑海中想象出的“无限长”进行抽象表达。 4. 让“想象”再飞一会儿
师：一个端点去掉，表示一端可以无限延伸。如果 现在把两个端点都去掉，又会怎么样呢？（两端无限延 伸）你能用手臂比畫一下吗？
师：像这样的线叫作——直线。
师：你能在练习纸上画上一条直线吗？
（生在练习纸上画直线，教师巡视）
师：直线又有什么特点呢？
（师根据学生回答板书：直的没有端点无限长） 师：真厉害，同学们一下子就把直线的三个特点都 准确地说出来了。
师：我们从一个点开始，认识了射线和直线。
师：线段、射线和直线有什么相同点和不同点呢？
生：相同点是它们都是直的。不同点是端点的数量 不同，线段有两个端点，射线有1个端点，直线没有端点。 线段是有限长的，射线和直线是无限长的。
学生在前面的想象活动中感受射线“无限长”的特 点，在认识直线时，教师引导学生继续想象如果另一个端 点也去掉，会形成什么样的图形。这两次想象活动的设 计加强了知识点之间的联系，让学生自然而然地认识到 直线的特点，从而在比较直线、射线和线段的异同时，思 路更加清晰。
二、案例反思
在认识射线、直线的过程中，学生出现的学习难点是 对“无限长”的理解，学生要从原来对“有限长”的线段 向“无限长”的空间观念进行扩展。在教学过程中，教师 抓住“点动成线”这一本质，通过一次次“想象”活动使 得知识点“动起来”，在学生脑海中形成清晰的认知，突 破学生的认知误区，将学生出现的认知冲突变成课堂上 的生成性资源，成为学生学习新知识的动力。
1. 想象活动找准起点，突出“一个点”
课堂导入的部分，教师首先呈现“一个点”，让学生 的注意力集中到这个点的运动上，这样的教学起点，让学 生找准了想象的方向，正因为点的运动才会出现线。突 出“一个点”的运动，也有助于学生对图形本质特征的深 刻理解，而且使后续的想象活动变得更加自然了。
2. 创设有想象空间的情境，注重“空间观念”
教师巧妙地创设“无人机飞走”的教学情境，给予学 生充分的想象空间。在教学过程中，教师发现有的学生 虽然不能表达出“无限长”这样的概念，但是用“会一直 射向天空”“射向宇宙”这样的表达来形容自己想象出 的画面，这样的想象过程，正是学生“空间观念”在不断 提升的表现。
3. 抽象想象内容，回归“知识本质”
想象活动要想能够真正促成知识点的生成，还需要 教师的进一步引导，让学生尝试用自己的方式画射线。 正是这次抽象想象内容的过程，促进学生思考、总结射线 的特征，从而进一步寻求一种方式来表达“一个端点”“无 限长”，在表达的过程中，学生逐步抽象出概念，为后续学 习打下扎实的基础。