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[摘要]心理学家杰罗姆·布鲁纳曾经提出一个观点，如果学生掌握了最基本的数学思想方法，那么数学知识学起来将不再那么艰涩，晦涩难懂的抽象数学概念理解起来也更简单，记忆也会更深刻，一旦记住便经久难忘。因此，领会基本数学思想方法是实现知识迁移的先决条件，有了正确的数学思想作指导，迁移起来就能举一反三、触类旁通，使学生终生受用无穷。
[关键词]植树问题;化繁为简;数学思想方法;可视化;操作
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0040-02
课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”在数学教学中，将数学思想方法的渗透与应用作为衡量教学质量的一项重要指标，已成为数学教学评价的不成文规定。
一、初识化繁为简的思想方法
“植树问题”是一个经典数学策略问题，被编排在人教版教材五年级上册的“数学广角”。课本第106页出示例题：“同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？”教材示范解答时，先让学生尝试画线段图，但100米距离太长，间隔太多，画图操作很麻烦，可以考虑降低难度，先进行多次小数据重复试验，探寻出规律——栽的棵数比间隔数多1，再推广应用到100米的情况。这个过程运用了转化的思想方法，将复杂的知识点化难为易，同时也暗含了不完全归纳法。教学时，教师要将这两种思想方法明确地告知学生，让学生认清自己在不自觉中运用了哪些思想方法，从而变潜意识为自主意志。
例如，研究栽行道树问题中两端都栽的情况，深入感受化繁为简的数学思想方法。
例1：市政部门绿化队要在全长1000米的城市主干道一边栽行道树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵行道树？（如图1）
师：请你们帮市政部门预算所需树苗的数量。
（学生独立解题，发现了多种预算方案）
师：谁能说说自己的预算方案？
师：能不能用更通俗易懂的方法来解释你的预算方案的设计原理？
师：摆一摆、画一画都不失为推演问题的好办法。那应该根据哪个数据去摆、去画呢？
生1：应该先选取一组较小的数据来展开研究。
生2：多选几组数据，看看栽的棵数与间隔数存在什么对应关系，总结出规律后，问题就迎刃而解了。
（小组讨论）
师：哪个小组来陈述一下自己的预算方案？
师：第一小组采用的是摆一摆的方法，你赞同他们的方案吗？
师：有没有选用的数据比第一组还小，也研究出了相同的结果的？想一想，为什么间隔数要加17
师：谁可以说一说这个预算方案的设计原理？
师：回顾刚才解决问题的总体思路，我们大致经历了一个怎样的过程？
师：同学们，把复杂的问题简单化，从较小的数据着手进行试验，用摆一摆、画一画的方法来揭示数量关系和逻辑关联，再应用这种规律和法则去解决复杂的问题，这些就是知识以外的宝贵东西——数学思想方法。
【反思】“数学广角”作为人教版教材的一大特色单元，其设立的初衷和宗旨就是向学生传递一些重要的数学思想方法，把抽象的数学思想方法巧妙地埋设在学生感兴趣的、容易接受的实际问题中，学生通过试验、观察、分析、逻辑推理等数学活动慢慢吸收，在活动中感悟，思维能力和思想观念齐步前进，解决问题的决策部署能力逐步形成。教学设计中，教师把数学思想方法由暗转明，在学生经历了解决问题的思维训练，对其中蕴藏的思想方法懵懵懂懂时，正面、开诚布公地点明和介绍化繁为简的数学思想方法，鼓励学生将这一思想方法内化吸收，作为自己的思想法宝。
二、对比循环印证思想方法
人教版教材在第107页展示了两端都不栽的情况，在第108页展示了封闭路线栽树的情况（实际上就是一端栽一端不栽）。其实，在学生具备了化繁为简的自主意识后，这两种情况可以合并成一个课时来讲授，而且例题中不要明确标注“两端都栽”“两端都不栽”“一端栽一端不栽”字样，而让学生根据问题情境自己判断。例如，出示例1的两种变式例2、例3，引导学生将解决例1时学到的转化思想进行迁移——从简单的数据开始试验，总结规律。最后学生对比发现两端栽树的情况不同，导致间隔数与植树棵数之间出现“加1”“减1”“不加不减”的区别。
例2：同学们要到烈士陵园参加植树活动，在英雄纪念碑前1000米的便道一边栽行道树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵行道树？（如图2）
例3：县环保局的职工要在护城河沿岸植树，在自来水厂和钓鱼宾馆之间1000米的河岸线上栽梧桐树，每隔10米栽一棵。一共需要购买多少棵梧桐树？（如图3）
师：尝试解答以上两道例题，并说出你的解题策略。
师：例2中，同学们一共需要准备多少棵行道树？你们解决这个问题的总体思路是什么？
（学生展示）
师：大家赞同他们的设计思路吗？还有什么补充或困惑吗？
生1：这个时候间隔数为什么不加1？
师：例3中，环保局一共需要准备多少棵梧桐树？解决这个问题时，你们是怎样决策部署的？
（学生展示）
师：大家赞同他们的设计思路吗？还有什么补充或困惑吗？
生2：这个时候间隔数为什么要减1？
【反思】学生在初次接触化繁为简的思想方法后，教师寻找问题变式，创设新情境，由原来的两端都栽变为一端栽一端不栽，或两端都不栽，条件一变再变，细节一改再改，但始终都是植树问题的实际情境。“同学们一共需要准备多少棵行道树？”“环保局一共需要准备多少棵梧桐树？”等问题，带领学生经历在实际生活中发现问题、试图解决问题、寻找理论支撑来解释问题，并且做出有力的论证，进而再次经历运用获得的思想方法解决新问题的过程。学生一直沿着发现问题、明确问题、提出假设、操作验证的轨迹循环，深刻地感受到化繁为简的思想方法可以指导实践，并且非常有效。
三、将数学思想方法可操作化处理
1.讨论：大家合力解决了三个植树问题，为我们的城市绿化建设和环保事业作出贡献，真了不起！回顾一下，在经历解决问题的过程中，你有什么意外的收获要分享吗？
2.总结：我们发现了在一条路线上栽树，要细分为三种情况来展开讨论，不同的情况对应的方法也不同，而且学会了把复杂问题简单化处理，归纳出通用的规律，并利用这个规律去解决复杂问题。但如果时间久了，我们遗忘了这个“加1”还是“减1”的规则，该如何是好？（现场摆、画）这就是同学们学到的新方法。
【反思】学生前后经历了三次解決同一类型的实际问题的详细过程，在获得数学知识以及必要的解题技巧的同时，学生对贯穿始终的数学思想方法有了更深切的体会，甚至产生一定程度的依赖。离开了数学思想方法，学生无法在复杂多变的问题情境中保持清醒的头脑，也无法作出正确的决策。至此，学生对数学思想方法的认识从一个模糊的、下意识的状态升华为一个自觉自主的状态，并清楚自己应该用什么数学思想方法来解决这类问题。在化繁为简的指导思想下，学生明白不需要死记硬背公式，因为植树问题里间隔数和棵数之间只存在“加1”“减1”和“不加不减”三种情况，所以当遗忘公式时，可以通过简单的数据即时推出公式。这是一个重大收获，是化繁为简的数学思想方法的可操作化的体现。教师引导学生回顾研究过程，总结所得，既做到对知识与技能的梳理，又是对数学思想方法的变现。
知识与技能是数学学习的基本功，而数学思想方法则是指导性的数学观念。数学思想方法是蕴含在数学知识产生和发展全过程的核心素养，一方面，教师要有意识地在引学、导学的过程中让学生去感触和体会;另一方面，教师也可以借助学习素材，将数学思想方法彻底展露出来，帮助学生进行二次理解，从而提升学生的数学素养。
（责编 李琪琦）
[关键词]植树问题;化繁为简;数学思想方法;可视化;操作
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0040-02
课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”在数学教学中，将数学思想方法的渗透与应用作为衡量教学质量的一项重要指标，已成为数学教学评价的不成文规定。
一、初识化繁为简的思想方法
“植树问题”是一个经典数学策略问题，被编排在人教版教材五年级上册的“数学广角”。课本第106页出示例题：“同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？”教材示范解答时，先让学生尝试画线段图，但100米距离太长，间隔太多，画图操作很麻烦，可以考虑降低难度，先进行多次小数据重复试验，探寻出规律——栽的棵数比间隔数多1，再推广应用到100米的情况。这个过程运用了转化的思想方法，将复杂的知识点化难为易，同时也暗含了不完全归纳法。教学时，教师要将这两种思想方法明确地告知学生，让学生认清自己在不自觉中运用了哪些思想方法，从而变潜意识为自主意志。
例如，研究栽行道树问题中两端都栽的情况，深入感受化繁为简的数学思想方法。
例1：市政部门绿化队要在全长1000米的城市主干道一边栽行道树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵行道树？（如图1）
师：请你们帮市政部门预算所需树苗的数量。
（学生独立解题，发现了多种预算方案）
师：谁能说说自己的预算方案？
师：能不能用更通俗易懂的方法来解释你的预算方案的设计原理？
师：摆一摆、画一画都不失为推演问题的好办法。那应该根据哪个数据去摆、去画呢？
生1：应该先选取一组较小的数据来展开研究。
生2：多选几组数据，看看栽的棵数与间隔数存在什么对应关系，总结出规律后，问题就迎刃而解了。
（小组讨论）
师：哪个小组来陈述一下自己的预算方案？
师：第一小组采用的是摆一摆的方法，你赞同他们的方案吗？
师：有没有选用的数据比第一组还小，也研究出了相同的结果的？想一想，为什么间隔数要加17
师：谁可以说一说这个预算方案的设计原理？
师：回顾刚才解决问题的总体思路，我们大致经历了一个怎样的过程？
师：同学们，把复杂的问题简单化，从较小的数据着手进行试验，用摆一摆、画一画的方法来揭示数量关系和逻辑关联，再应用这种规律和法则去解决复杂的问题，这些就是知识以外的宝贵东西——数学思想方法。
【反思】“数学广角”作为人教版教材的一大特色单元，其设立的初衷和宗旨就是向学生传递一些重要的数学思想方法，把抽象的数学思想方法巧妙地埋设在学生感兴趣的、容易接受的实际问题中，学生通过试验、观察、分析、逻辑推理等数学活动慢慢吸收，在活动中感悟，思维能力和思想观念齐步前进，解决问题的决策部署能力逐步形成。教学设计中，教师把数学思想方法由暗转明，在学生经历了解决问题的思维训练，对其中蕴藏的思想方法懵懵懂懂时，正面、开诚布公地点明和介绍化繁为简的数学思想方法，鼓励学生将这一思想方法内化吸收，作为自己的思想法宝。
二、对比循环印证思想方法
人教版教材在第107页展示了两端都不栽的情况，在第108页展示了封闭路线栽树的情况（实际上就是一端栽一端不栽）。其实，在学生具备了化繁为简的自主意识后，这两种情况可以合并成一个课时来讲授，而且例题中不要明确标注“两端都栽”“两端都不栽”“一端栽一端不栽”字样，而让学生根据问题情境自己判断。例如，出示例1的两种变式例2、例3，引导学生将解决例1时学到的转化思想进行迁移——从简单的数据开始试验，总结规律。最后学生对比发现两端栽树的情况不同，导致间隔数与植树棵数之间出现“加1”“减1”“不加不减”的区别。
例2：同学们要到烈士陵园参加植树活动，在英雄纪念碑前1000米的便道一边栽行道树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵行道树？（如图2）
例3：县环保局的职工要在护城河沿岸植树，在自来水厂和钓鱼宾馆之间1000米的河岸线上栽梧桐树，每隔10米栽一棵。一共需要购买多少棵梧桐树？（如图3）
师：尝试解答以上两道例题，并说出你的解题策略。
师：例2中，同学们一共需要准备多少棵行道树？你们解决这个问题的总体思路是什么？
（学生展示）
师：大家赞同他们的设计思路吗？还有什么补充或困惑吗？
生1：这个时候间隔数为什么不加1？
师：例3中，环保局一共需要准备多少棵梧桐树？解决这个问题时，你们是怎样决策部署的？
（学生展示）
师：大家赞同他们的设计思路吗？还有什么补充或困惑吗？
生2：这个时候间隔数为什么要减1？
【反思】学生在初次接触化繁为简的思想方法后，教师寻找问题变式，创设新情境，由原来的两端都栽变为一端栽一端不栽，或两端都不栽，条件一变再变，细节一改再改，但始终都是植树问题的实际情境。“同学们一共需要准备多少棵行道树？”“环保局一共需要准备多少棵梧桐树？”等问题，带领学生经历在实际生活中发现问题、试图解决问题、寻找理论支撑来解释问题，并且做出有力的论证，进而再次经历运用获得的思想方法解决新问题的过程。学生一直沿着发现问题、明确问题、提出假设、操作验证的轨迹循环，深刻地感受到化繁为简的思想方法可以指导实践，并且非常有效。
三、将数学思想方法可操作化处理
1.讨论：大家合力解决了三个植树问题，为我们的城市绿化建设和环保事业作出贡献，真了不起！回顾一下，在经历解决问题的过程中，你有什么意外的收获要分享吗？
2.总结：我们发现了在一条路线上栽树，要细分为三种情况来展开讨论，不同的情况对应的方法也不同，而且学会了把复杂问题简单化处理，归纳出通用的规律，并利用这个规律去解决复杂问题。但如果时间久了，我们遗忘了这个“加1”还是“减1”的规则，该如何是好？（现场摆、画）这就是同学们学到的新方法。
【反思】学生前后经历了三次解決同一类型的实际问题的详细过程，在获得数学知识以及必要的解题技巧的同时，学生对贯穿始终的数学思想方法有了更深切的体会，甚至产生一定程度的依赖。离开了数学思想方法，学生无法在复杂多变的问题情境中保持清醒的头脑，也无法作出正确的决策。至此，学生对数学思想方法的认识从一个模糊的、下意识的状态升华为一个自觉自主的状态，并清楚自己应该用什么数学思想方法来解决这类问题。在化繁为简的指导思想下，学生明白不需要死记硬背公式，因为植树问题里间隔数和棵数之间只存在“加1”“减1”和“不加不减”三种情况，所以当遗忘公式时，可以通过简单的数据即时推出公式。这是一个重大收获，是化繁为简的数学思想方法的可操作化的体现。教师引导学生回顾研究过程，总结所得，既做到对知识与技能的梳理，又是对数学思想方法的变现。
知识与技能是数学学习的基本功，而数学思想方法则是指导性的数学观念。数学思想方法是蕴含在数学知识产生和发展全过程的核心素养，一方面，教师要有意识地在引学、导学的过程中让学生去感触和体会;另一方面，教师也可以借助学习素材，将数学思想方法彻底展露出来，帮助学生进行二次理解，从而提升学生的数学素养。
（责编 李琪琦）