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《 数学新课程标准 》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。笔者在教学中努力把握课内、课外的各种资源，全方位、多渠道地关注学生数学的有效学习，把提高学生学习参与度、有效进行数学学习活动和发展学生的数学能力作为教学的主旋律。
一、在“变”中学会思考
数学教学要善于引导学生改变思维方向，从不同角度，不同方向，去想别人没想到的、去找别人没有找到的方法和窍门，找出知识之间的联系，多分析勤思考，开拓解题思路，培养应变能力，在“变”中有效参与数学学习活动，不断提高学习参与度和学习效率。
1．变“难”为“易”
在数学学习活动中，“转化”思想应用广泛，解决问题的策略就在于把复杂的难度大的问题分解成一个个已经学过的比较容易的小问题加以解答。比如，把三角形和梯形转化成平行四边形后推导出面积计算公式；训练学生把题中的小数、分数先看成整数降低难度，思考并分析数量关系，再还原；或把题中拗口的远离我们生活的文字内容改编成身边的人和事再思考。在教学加减法简便计算时，也可以指导学生把题目转化成到超市购物（学生几乎都有购物的经验），好理解，易解答。
例如，简便计算“270.32-102”，可以看作“你有270.32元，要买一件102元的物品，先付100元，再付2元，最后还剩多少？”学生很快就能写出“270.32-100-2”。同理，计算270.32-98，可以看作先付100元，应找回2元，即270.32-100 + 2。教学实践证明，把“纯数学的问题”转变为“生活中的数学”，贴近学生生活，降低解题难度。让学生主动参与知识形成的全过程，有利于调动学生思维的积极性，不断培养学生数学思维的合理性和灵活性。
2．变“少”为“多”
在新课程背景下，要减轻学生过重的课业负担，怎样既能让学生学得轻松愉快，又能相应提高成绩，我尝试变“少”为“多”，即题目并不需要多，但要进行“变式练习”。
例如，在教学苏教版六年级上册第九单元教材第105~108页的“求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题”后，出示这样一道巩固练习题：商店运来苹果500筐，运来梨400筐。① 运来的苹果是梨的百分之几？② 运来的梨是苹果的百分之几？③ 运来的苹果比梨多百分之几？④ 运来的梨比苹果少百分之几？⑤ 运来的苹果比梨多总数的百分之几？⑥ 运来的梨比苹果少总数的百分之几？
通过此变式题的训练，把本课涉及的知识点都包含进去，使学生进一步明确“求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用一个数÷另一个数”的方法来解答；而“求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几），则用相差数÷‘1’”的方法来解答。
3．变“废”为“宝”
一份作业、一张试卷发下来，正确率高的学生喜出望外，左右展示，错误率高的学生则垂头丧气，立即收起，甚至像对待一张废纸那样揉成团扔了。学生做错题的原因很多，有的源于粗心，有的题意理解不清，有的是知识缺漏等，其实错误本身也是一种可贵的教学资源。我指导学生建立“错题集”，首先把错题照抄，然后分析错误原因并写下来，再做订正，把正确的解答过程写出来。以下选摘一则学生错题集的内容。
错题摘录：判断题“某食堂5天烧了一堆煤，每天烧了这堆煤的1/5”。（对）
错误原因：我没有认真审题，一堆煤没有“平均分”根本不能用分数来表示。
正确答案：此题是（错）。应改为“某食堂5天烧了一堆煤，平均每天烧了这堆煤的1/5”。
这位学生通过分析，经历了一个“分析病情，对症下药”的全过程，对“分数意义”的理解更加深刻了。经常翻阅错题集能提醒自己“不要老在同一个地方摔倒”，不要一直犯同样的错误，同时，学生通过一丝不苟、坚持不懈地进行“错题”整理，可以不断培养数学思维的批判性，提高学生数学学习的有效性，进而发展学生的数学能力。
二、在“辩”中深化理解
“辩”中间是“言”字，表示与“说、论”有关，“辩”有说明是非或争论真假之意，这里主要指答辩、争辩、辩论、辩解。有疑才有问，有问才有究，有究才有对问题研究的深刻性、灵活性和批判性，良好的思维品质对于提高学生分析问题和解决问题的能力起到不可估量的作用，因此有意创设疑问、巧布疑阵能够提高学生学习的参与度，并激发学生深入探究问题的好奇心和求知欲。
就“一题多解”来说，学生会有很多疑问，如“为什么可以这样列式？列式的理由是什么？你能说说解答思路吗？”等等。因此迫使自己努力思考、请教老师或查阅资料等，把握问题的关键再来答辩。
案例再现：教学苏教版六年级（上册）第92页练一练：1．鸡和兔一共有8只，数一数腿有22只。你知道鸡和兔各有多少只吗？（鸡兔同笼问题）
课堂上，我让学生先独立思考，再根据课本的提示步骤进行解答，也可以根据自己的理解答题。然后出示两位学生的解题如下：
甲生的解法：假设养的都是兔。
兔：（8×4－22）÷（4－2）=5（只）；鸡：8－5=3（只）
答：这个养殖户养的鸡3只，兔5只。
乙生的解法：假设养的都是兔。
鸡：（8×4－22）÷（4－2）=5（只）；兔：8－5=3（只）
答：这个养殖户养的鸡5只，兔3只。
学生们看着这两位同学的作业，再对照自己的解答情况，有的同意甲生的，也有同意乙生的，课堂上争论不休。甲生看有人投他反对票，就抢先说：“假设笼子里都是兔，已经没有鸡了，先求出的量当然是兔，怎么可能是鸡呢？我坚持自己的观点。”顿时就有部分和他相同解法的毫不犹豫地投了“赞成”票。而乙生被甲生这么一说，似乎怀疑自己的解法，让他说说解题理由时，却不知如何说明白了。此时和乙生有着相同解法的丙生急忙辩道：“大家把结果代进去验算一下，不就知道了吗？如果5只是兔的话，就有20只腿，剩下2只腿就是鸡腿，那才1只鸡，5+1≠8（只），所以5只不可能是兔，一定是鸡。”丙生说他有更容易理解的办法，就是用方程。解：设鸡有x只，则兔就有（8－x）只，得2x+4（8－x）=22，或解：设兔有x只，则鸡就有（8－x）只，得4x+2（8－x）=22…… 一阵辩论过后，学生对“鸡兔同笼”问题的特征和解题模式有了实质性的掌握，已经抓住知识点的本质了。接着，学生能迅速正确地算出本册第93页“你知道吗？”知识点中“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，鸡兔各几何了”。从那以后，此类题型的正确率高多了。
鼓励学生打开解题思路多说多辩，有效地暴露学习的思维过程，让他们了解知识的本质，对知识间的联系有着更深层的认识和理解，培养学生用数学语言表达数学思想方法，即培养学生“说数学”的能力，进一步提高学生的数学学习参与度。学生在积极的情感支配下，思维将变得灵活而敏捷。
三、在“辨”中提升能力
“辨”是辨别、分辨的意思，如辨认、辨析、思辨、辨正、明辨是非等。通过思考、辨析所学知识，确定该如何学以致用，这就要求学生要根据生活实际判断、分析和辨别。
在教学苏教版六年级上册第二单元《 长方体和正方体 》后的整理复习课，出一些对比练习，让学生通过分析、思考、分辨出题里的条件与条件之间、条件与问题之间的关系，培养学生能确定正确合理的解题思路加以解答的能力。
例如，一个长15厘米、宽10厘米、高20厘米的长方体木箱里，最多能装进棱长2厘米的正方体小木块多少个？
大部分学生可能做出这样的方案：（15×10×20）÷（2×2×2）=375（个），这就是缺乏空间想象力，没有通过长、宽、高估计出每层最多能摆多少个、最多能摆几层，而是简单地用大体积÷小体积。
通过理解题意，辨析解题思路后，正确解答是：每层的摆放：（15÷2）×（10÷2）≈7×5=35（个）（明确这里应用“去尾法”取商的近似值），一共可摆放层数：20÷2=10（层），一共可摆放块数：35×10=350（个）。
再如，求做汽油桶、鱼缸、烟囱等用料，学生必须在掌握长（正）方体表面积计算方法的基础上，对它们各需求几个面的面积之和进行辨析，然后正确求解。引导学生根据所学知识和生活实际“用数学”，解决生活上一些实际的简单问题，不断增强应用数学的意识，了解数学的价值，在数学学习活动中获得成功的体验。这样能进一步促进学生积极有效地参与数学学习活动，对数学有更强的好奇心和求知欲，树立学好数学的信心，进而发展学生的思辨能力。
总之，数学教学活动是以学生为主体的数学学习活动，变“学会”为“会学”，不断引发学生数学思考，深化认识数学知识间的相互联系，使其会用数学思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，进而提高学生学习的参与度，提升学习的效度。
（作者单位：三明学院附属小学，福建 三明，365004）
一、在“变”中学会思考
数学教学要善于引导学生改变思维方向，从不同角度，不同方向，去想别人没想到的、去找别人没有找到的方法和窍门，找出知识之间的联系，多分析勤思考，开拓解题思路，培养应变能力，在“变”中有效参与数学学习活动，不断提高学习参与度和学习效率。
1．变“难”为“易”
在数学学习活动中，“转化”思想应用广泛，解决问题的策略就在于把复杂的难度大的问题分解成一个个已经学过的比较容易的小问题加以解答。比如，把三角形和梯形转化成平行四边形后推导出面积计算公式；训练学生把题中的小数、分数先看成整数降低难度，思考并分析数量关系，再还原；或把题中拗口的远离我们生活的文字内容改编成身边的人和事再思考。在教学加减法简便计算时，也可以指导学生把题目转化成到超市购物（学生几乎都有购物的经验），好理解，易解答。
例如，简便计算“270.32-102”，可以看作“你有270.32元，要买一件102元的物品，先付100元，再付2元，最后还剩多少？”学生很快就能写出“270.32-100-2”。同理，计算270.32-98，可以看作先付100元，应找回2元，即270.32-100 + 2。教学实践证明，把“纯数学的问题”转变为“生活中的数学”，贴近学生生活，降低解题难度。让学生主动参与知识形成的全过程，有利于调动学生思维的积极性，不断培养学生数学思维的合理性和灵活性。
2．变“少”为“多”
在新课程背景下，要减轻学生过重的课业负担，怎样既能让学生学得轻松愉快，又能相应提高成绩，我尝试变“少”为“多”，即题目并不需要多，但要进行“变式练习”。
例如，在教学苏教版六年级上册第九单元教材第105~108页的“求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题”后，出示这样一道巩固练习题：商店运来苹果500筐，运来梨400筐。① 运来的苹果是梨的百分之几？② 运来的梨是苹果的百分之几？③ 运来的苹果比梨多百分之几？④ 运来的梨比苹果少百分之几？⑤ 运来的苹果比梨多总数的百分之几？⑥ 运来的梨比苹果少总数的百分之几？
通过此变式题的训练，把本课涉及的知识点都包含进去，使学生进一步明确“求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用一个数÷另一个数”的方法来解答；而“求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几），则用相差数÷‘1’”的方法来解答。
3．变“废”为“宝”
一份作业、一张试卷发下来，正确率高的学生喜出望外，左右展示，错误率高的学生则垂头丧气，立即收起，甚至像对待一张废纸那样揉成团扔了。学生做错题的原因很多，有的源于粗心，有的题意理解不清，有的是知识缺漏等，其实错误本身也是一种可贵的教学资源。我指导学生建立“错题集”，首先把错题照抄，然后分析错误原因并写下来，再做订正，把正确的解答过程写出来。以下选摘一则学生错题集的内容。
错题摘录：判断题“某食堂5天烧了一堆煤，每天烧了这堆煤的1/5”。（对）
错误原因：我没有认真审题，一堆煤没有“平均分”根本不能用分数来表示。
正确答案：此题是（错）。应改为“某食堂5天烧了一堆煤，平均每天烧了这堆煤的1/5”。
这位学生通过分析，经历了一个“分析病情，对症下药”的全过程，对“分数意义”的理解更加深刻了。经常翻阅错题集能提醒自己“不要老在同一个地方摔倒”，不要一直犯同样的错误，同时，学生通过一丝不苟、坚持不懈地进行“错题”整理，可以不断培养数学思维的批判性，提高学生数学学习的有效性，进而发展学生的数学能力。
二、在“辩”中深化理解
“辩”中间是“言”字，表示与“说、论”有关，“辩”有说明是非或争论真假之意，这里主要指答辩、争辩、辩论、辩解。有疑才有问，有问才有究，有究才有对问题研究的深刻性、灵活性和批判性，良好的思维品质对于提高学生分析问题和解决问题的能力起到不可估量的作用，因此有意创设疑问、巧布疑阵能够提高学生学习的参与度，并激发学生深入探究问题的好奇心和求知欲。
就“一题多解”来说，学生会有很多疑问，如“为什么可以这样列式？列式的理由是什么？你能说说解答思路吗？”等等。因此迫使自己努力思考、请教老师或查阅资料等，把握问题的关键再来答辩。
案例再现：教学苏教版六年级（上册）第92页练一练：1．鸡和兔一共有8只，数一数腿有22只。你知道鸡和兔各有多少只吗？（鸡兔同笼问题）
课堂上，我让学生先独立思考，再根据课本的提示步骤进行解答，也可以根据自己的理解答题。然后出示两位学生的解题如下：
甲生的解法：假设养的都是兔。
兔：（8×4－22）÷（4－2）=5（只）；鸡：8－5=3（只）
答：这个养殖户养的鸡3只，兔5只。
乙生的解法：假设养的都是兔。
鸡：（8×4－22）÷（4－2）=5（只）；兔：8－5=3（只）
答：这个养殖户养的鸡5只，兔3只。
学生们看着这两位同学的作业，再对照自己的解答情况，有的同意甲生的，也有同意乙生的，课堂上争论不休。甲生看有人投他反对票，就抢先说：“假设笼子里都是兔，已经没有鸡了，先求出的量当然是兔，怎么可能是鸡呢？我坚持自己的观点。”顿时就有部分和他相同解法的毫不犹豫地投了“赞成”票。而乙生被甲生这么一说，似乎怀疑自己的解法，让他说说解题理由时，却不知如何说明白了。此时和乙生有着相同解法的丙生急忙辩道：“大家把结果代进去验算一下，不就知道了吗？如果5只是兔的话，就有20只腿，剩下2只腿就是鸡腿，那才1只鸡，5+1≠8（只），所以5只不可能是兔，一定是鸡。”丙生说他有更容易理解的办法，就是用方程。解：设鸡有x只，则兔就有（8－x）只，得2x+4（8－x）=22，或解：设兔有x只，则鸡就有（8－x）只，得4x+2（8－x）=22…… 一阵辩论过后，学生对“鸡兔同笼”问题的特征和解题模式有了实质性的掌握，已经抓住知识点的本质了。接着，学生能迅速正确地算出本册第93页“你知道吗？”知识点中“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，鸡兔各几何了”。从那以后，此类题型的正确率高多了。
鼓励学生打开解题思路多说多辩，有效地暴露学习的思维过程，让他们了解知识的本质，对知识间的联系有着更深层的认识和理解，培养学生用数学语言表达数学思想方法，即培养学生“说数学”的能力，进一步提高学生的数学学习参与度。学生在积极的情感支配下，思维将变得灵活而敏捷。
三、在“辨”中提升能力
“辨”是辨别、分辨的意思，如辨认、辨析、思辨、辨正、明辨是非等。通过思考、辨析所学知识，确定该如何学以致用，这就要求学生要根据生活实际判断、分析和辨别。
在教学苏教版六年级上册第二单元《 长方体和正方体 》后的整理复习课，出一些对比练习，让学生通过分析、思考、分辨出题里的条件与条件之间、条件与问题之间的关系，培养学生能确定正确合理的解题思路加以解答的能力。
例如，一个长15厘米、宽10厘米、高20厘米的长方体木箱里，最多能装进棱长2厘米的正方体小木块多少个？
大部分学生可能做出这样的方案：（15×10×20）÷（2×2×2）=375（个），这就是缺乏空间想象力，没有通过长、宽、高估计出每层最多能摆多少个、最多能摆几层，而是简单地用大体积÷小体积。
通过理解题意，辨析解题思路后，正确解答是：每层的摆放：（15÷2）×（10÷2）≈7×5=35（个）（明确这里应用“去尾法”取商的近似值），一共可摆放层数：20÷2=10（层），一共可摆放块数：35×10=350（个）。
再如，求做汽油桶、鱼缸、烟囱等用料，学生必须在掌握长（正）方体表面积计算方法的基础上，对它们各需求几个面的面积之和进行辨析，然后正确求解。引导学生根据所学知识和生活实际“用数学”，解决生活上一些实际的简单问题，不断增强应用数学的意识，了解数学的价值，在数学学习活动中获得成功的体验。这样能进一步促进学生积极有效地参与数学学习活动，对数学有更强的好奇心和求知欲，树立学好数学的信心，进而发展学生的思辨能力。
总之，数学教学活动是以学生为主体的数学学习活动，变“学会”为“会学”，不断引发学生数学思考，深化认识数学知识间的相互联系，使其会用数学思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，进而提高学生学习的参与度，提升学习的效度。
（作者单位：三明学院附属小学，福建 三明，365004）