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【摘要】本文建立了综合评价模型。首先建立均值贡献函数模型进行评价；其次，考虑到该模型的不足，利用极差，建立分数百分制转换模型，将5项指标原始分进行转换，并引入层次分析法，对各项指标进行赋权，得到综合评价的最终结果。
【关键词】学生综合评价 均值贡献函数 百分制转换函数 层次分析法 赋权
【基金项目】本文系学院院长基金教研教改项目，项目编号JG201301005。
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0243-02
一、问题提出
为了对某年级中20位学生进行综合评价，考察其中主要5项指标：德育、智育、体育、能力和英语四级考试总分（原始的分表此处略去）. 然而考虑到每个指标各自的评价系统是不一致的，因此很难通过直接求和或取均值的形式进行综合评定。另一方面，即使是统一地采取百分制计分，由于学科属性的不同、学科所需学时的差异等各种因素，也很难用求和的形式进行评价，这类问题广泛存在，因此建立一个良好的、公平、公正的评价体系是必要的。
二、模型假设
1.待评价的学生数量是有限的，总人数为N；2.综合考察的指标量为P，其中P较大但小于9（如果p超过9，可以考虑利用主成分分析法，将其中若干指标综合成新的指标，以减少评价过程中的计算量）3.每个指标的评价体系之间是相互独立的，互不影响；4.每个指标分数单位不全相同；5.每个指标的评价都能反映出该生在本项指标的真实情况。
三、模型建立于求解
1.均值贡献函数模型 为了让每个指标的评价值具有可加性，需要对原始分值进行无量纲化处理。设xij表示第i个学生的第j指标的原始分数，其中1≤i≤N，1≤j≤p.xj表示第j指标的平均值，则xj=■■xij.对均值贡献函数记为rij，于是可以建立对均值贡献的数学模型：rij=■.这里贡献函数是非负的，即rij≥0对任意的1≤i≤N，1≤j≤p。贡献函数是量纲为1的量，若01则表示相应的指标的贡献作用是增加均值。均值贡献函数模型，可以有效减少“大数吃掉小数”等问题。
2.基于均值贡献函数建立的综合评价模型 假设，每项指标对综合评价的贡献率是一样的。在此基础上，建立综合评价模型：ti=■■rij.其中：ti表示第i个学生的各项指标平均分。
对所有的指标平均分进行排序，即可得到每个学生的综合名次。
该模型简易方便，容易操作，不会因为所考察的指标、学生数量增多而大量增加计算量。不足在于：（1）如果同一指标下的取值都比较接近时，贡献函数都接近于1，考虑到小数的截尾误差，其结果也就难以区分。容易导致因近似计算而导致结果的不稳定现象； （2）由于计算出来的数量都比较小，其数值容易误读；（3）其结果难于读懂，因此，模型不易进行推广，尤其不易公开公布；（4）每项指标一致看待，这也是有欠考虑的。
四、模型改进
鉴于此，对模型进行改进，利用极差的方法进行改进，并采取百分制系统。设每项指标的分数值是不全相同的，即最大值总是严格大于最小值。（如果某个指标的分数值完全相同，则认为是无效数据）。假定参评者的百分制成绩折合计算后，最低分为60，最高分为100.
引入百分制转换函数：定义uij=■？鄢40+60. 1≤i≤N，1≤j≤p.显然：（1）60≤uij≤100.（2）60=uij？圳xij=■xij.100=uij？圳xij=■xij.（3）ui■j 如果考虑到每项指标影响力是一致的，那么对转换后的分数值可以采取平均分综合评价模型：Ui=■■uij=uij，其评价结果呈现效果更佳。
另外，考虑到每项指标对总评的贡献是不同的。例如，对于不同学科，其要求的某项素质可能会更高，那么在该项目的重视程度就会更高。由此，引入指标项的权重qj，进行赋权综合评价。即综合评价分模型为：Ti=■qj？鄢uij；■qj=1.
对于此，可建立层次分析法模型，对不同的权重进行设置.
1.建立层次分析的层次结构 假设：（考虑到不同院系的具体情况）此处仅以问题中所提到的5项指标作为考察对象。其中目标层：合理分配指标；准则层：学生学习积极性、学风校风建设、整体教学水平、校企合作；方案层：德育、智育、体育、能力、英语。
2.计算相关特征 分别记成对比较矩阵为A，B1，B2，B3，B4，B5.
以A=■为例（此处略去其他的矩阵的相关特征计算），A的最大特征根为4.03414，CR=■=0.0126其对应的归一化特征向量为：w=（0.1842，0.5263，0.2018，0.0877）T.记Wij=（w1，...，wn），则Q=（q1，...，qn）=Wijw.故而有：Q=（q1，...，qn）=Wijw=（0.42，0.23，0.06，0.10，0.19）.此外，还应该做总体的一致性检验（此处略去）.如果■qi=q■表示第i0指标的贡献是最大的。以本案为例，综合评价中着重强调德育建设。
五、模型评价
利用赋权法进行综合评价，其适用性范围得到极大的推广，然而层次分析法也有其局限性。对于不同的院校、专业、对象等，其成对比较矩阵都将发生变化，即使是同一个院校，在不同的发展时期，其成对比较矩阵也可能变化。因此，权重的设置要依实际情况而定。
参考文献：
[1]杨启帆. 数学建模. 高等教育出版社， 2012.
[2]韩明等. 数学建模案例. 同济大学出版社， 2012.
[3]徐全智等. 数学建模. 高等教育出版社， 2008.
[4]姜启源. 数学模型. 高等教育出版社， 2001.
【关键词】学生综合评价 均值贡献函数 百分制转换函数 层次分析法 赋权
【基金项目】本文系学院院长基金教研教改项目，项目编号JG201301005。
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0243-02
一、问题提出
为了对某年级中20位学生进行综合评价，考察其中主要5项指标：德育、智育、体育、能力和英语四级考试总分（原始的分表此处略去）. 然而考虑到每个指标各自的评价系统是不一致的，因此很难通过直接求和或取均值的形式进行综合评定。另一方面，即使是统一地采取百分制计分，由于学科属性的不同、学科所需学时的差异等各种因素，也很难用求和的形式进行评价，这类问题广泛存在，因此建立一个良好的、公平、公正的评价体系是必要的。
二、模型假设
1.待评价的学生数量是有限的，总人数为N；2.综合考察的指标量为P，其中P较大但小于9（如果p超过9，可以考虑利用主成分分析法，将其中若干指标综合成新的指标，以减少评价过程中的计算量）3.每个指标的评价体系之间是相互独立的，互不影响；4.每个指标分数单位不全相同；5.每个指标的评价都能反映出该生在本项指标的真实情况。
三、模型建立于求解
1.均值贡献函数模型 为了让每个指标的评价值具有可加性，需要对原始分值进行无量纲化处理。设xij表示第i个学生的第j指标的原始分数，其中1≤i≤N，1≤j≤p.xj表示第j指标的平均值，则xj=■■xij.对均值贡献函数记为rij，于是可以建立对均值贡献的数学模型：rij=■.这里贡献函数是非负的，即rij≥0对任意的1≤i≤N，1≤j≤p。贡献函数是量纲为1的量，若0
2.基于均值贡献函数建立的综合评价模型 假设，每项指标对综合评价的贡献率是一样的。在此基础上，建立综合评价模型：ti=■■rij.其中：ti表示第i个学生的各项指标平均分。
对所有的指标平均分进行排序，即可得到每个学生的综合名次。
该模型简易方便，容易操作，不会因为所考察的指标、学生数量增多而大量增加计算量。不足在于：（1）如果同一指标下的取值都比较接近时，贡献函数都接近于1，考虑到小数的截尾误差，其结果也就难以区分。容易导致因近似计算而导致结果的不稳定现象； （2）由于计算出来的数量都比较小，其数值容易误读；（3）其结果难于读懂，因此，模型不易进行推广，尤其不易公开公布；（4）每项指标一致看待，这也是有欠考虑的。
四、模型改进
鉴于此，对模型进行改进，利用极差的方法进行改进，并采取百分制系统。设每项指标的分数值是不全相同的，即最大值总是严格大于最小值。（如果某个指标的分数值完全相同，则认为是无效数据）。假定参评者的百分制成绩折合计算后，最低分为60，最高分为100.
引入百分制转换函数：定义uij=■？鄢40+60. 1≤i≤N，1≤j≤p.显然：（1）60≤uij≤100.（2）60=uij？圳xij=■xij.100=uij？圳xij=■xij.（3）ui■j
另外，考虑到每项指标对总评的贡献是不同的。例如，对于不同学科，其要求的某项素质可能会更高，那么在该项目的重视程度就会更高。由此，引入指标项的权重qj，进行赋权综合评价。即综合评价分模型为：Ti=■qj？鄢uij；■qj=1.
对于此，可建立层次分析法模型，对不同的权重进行设置.
1.建立层次分析的层次结构 假设：（考虑到不同院系的具体情况）此处仅以问题中所提到的5项指标作为考察对象。其中目标层：合理分配指标；准则层：学生学习积极性、学风校风建设、整体教学水平、校企合作；方案层：德育、智育、体育、能力、英语。
2.计算相关特征 分别记成对比较矩阵为A，B1，B2，B3，B4，B5.
以A=■为例（此处略去其他的矩阵的相关特征计算），A的最大特征根为4.03414，CR=■=0.0126其对应的归一化特征向量为：w=（0.1842，0.5263，0.2018，0.0877）T.记Wij=（w1，...，wn），则Q=（q1，...，qn）=Wijw.故而有：Q=（q1，...，qn）=Wijw=（0.42，0.23，0.06，0.10，0.19）.此外，还应该做总体的一致性检验（此处略去）.如果■qi=q■表示第i0指标的贡献是最大的。以本案为例，综合评价中着重强调德育建设。
五、模型评价
利用赋权法进行综合评价，其适用性范围得到极大的推广，然而层次分析法也有其局限性。对于不同的院校、专业、对象等，其成对比较矩阵都将发生变化，即使是同一个院校，在不同的发展时期，其成对比较矩阵也可能变化。因此，权重的设置要依实际情况而定。
参考文献：
[1]杨启帆. 数学建模. 高等教育出版社， 2012.
[2]韩明等. 数学建模案例. 同济大学出版社， 2012.
[3]徐全智等. 数学建模. 高等教育出版社， 2008.
[4]姜启源. 数学模型. 高等教育出版社， 2001.