论文部分内容阅读
在数学解题中，如果你对哪个知识点没有掌握，那么在解决相关题目时就会有“巧妇难为无米之炊”的困惑.如果你对数学解题方法没有掌握，那么在解题时就犹如“航海没有了灯塔，旅行迷失了方向”.可见数学解题方法的重要性，下面就让我们一起赏析古典概型与几何概型中的常用方法吧.
一、求和法
如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））
例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.
分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.
解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B.
从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.
（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.
事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；
事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.
由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.
（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.
事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；
事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，
由（1）可知，P（A）=716，
由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.
点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.
二、正难则反法
对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.
例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n 分析：利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足n 解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个.
因此所求事件的概率为13.
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.
所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316，
故满足条件n 点评：在数学解题中，若从正面或顺向难以解决，则不妨进行反面或逆向思考，这就是正难则反策略.这种策略提醒我们，从正面解决困难时可考虑反面求解，直接解决困难时可考虑间接解决，顺推困难时可考虑逆推.这种思维实际上是逆向思维，体现了思维的灵活.
三、数形结合法
根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式.
例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0
x>0
y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.
分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.
解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a.
若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1. ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.
一、求和法
如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））
例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.
分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.
解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B.
从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.
（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.
事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；
事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.
由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.
（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.
事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；
事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，
由（1）可知，P（A）=716，
由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.
点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.
二、正难则反法
对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.
例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
因此所求事件的概率为13.
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个.
所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个.
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316，
故满足条件n
三、数形结合法
根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式.
例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0
x>0
y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.
分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问.
解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a.
若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1. ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.