自主选择构造命题 严谨规范推理证明

• 作 者: 邓厚波
• 出 处: 初中生世界·七年级
• 发表日期: 2017年7期

　　苏科版《数学》教材第166页“探索研究”第12题，给出三个条件，要求我们用两个事项作为条件，另一个事项作为结构，构造1～3个命题，并判断和证明命题的真假.这类习题在各级考试中比较常见，应对这类考题的关键是先在草稿上构造真命题，然后贯通思路，再严谨规范书写推理证明.下面我们举例关注这类问题.
　　例1 如下图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作為结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.
　　【解析】（方法1）已知∠B=∠D，∠A=∠C，证明∠1=∠2.
　　证明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD.
　　∴∠B=∠BFC.
　　∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D.
　　∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.
　　∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2.
　　（方法2）已知∠B=∠D，∠1=∠2，证明∠A=∠C.证明过程略.
　　（方法3）已知∠1=∠2，∠A=∠C，证明∠B=∠D.证明过程略.
　　例2 如右图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性.
　　（1）结论：① ；② ；
　　③ ；④ ；
　　（2）选择结论 ，说明理由.
　　图3 图4
　　【解析】（1）①如图1，过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
　　∴∠1 ∠PAB=180°，
　　∠2 ∠PCD=180°，
　　∴∠APC ∠PAB ∠PCD=360°；
　　②如图2，过点P作直线PE∥AB，
　　∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，
　　∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，
　　∴∠APC=∠PAB ∠PCD；
　　③如图3，∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD.
　　∵∠PEB是△APE的外角，
　　∴∠PEB=∠PAB ∠APC，
　　∴∠PCD=∠APC ∠PAB；
　　④如图4，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，
　　∵∠PFD是△CPF的外角，
　　∴∠PCD ∠APC=∠PFD，
　　∴∠PAB=∠APC ∠PCD.
　　（2）选择结论①，证明同上.
　　（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）