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数学习题的解决之所以能成为数学教学的重要环节之一，主要是它具有诸多功能. 这些功能渗透在习题解题过程中，对学生进行着技能的或思维的，智力的或非智力的训练，使学生逐渐接近知识功能并达到数学教学大纲所要求的培养目标.
１. 知识功能
所有的数学习题最根本的功能就是通过解题使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧. 数学习题的知识功能体现在学生学习数学知识的三个环节中. （１） 通过数学习题引入新知识. 学习新知识，最重要的是建立起新旧知识间的联系. 引起学生的思考、在学生原有知识基础上产生疑问就要靠习题来联络. 比如，已知底数２和指数３，就可以求幂23 = 8，那么，如果已知底数２和幂５，即2x = 5，如何求指数ｘ呢？这样一个看似简单的数学习题会毫无疑问地引发学生学习“对数”的兴趣.
（２） 通过数学习题巩固知识. “在数学中，例子比定律更重要”.在掌握概念的过程中，比形成概念更重要的是概念的同化，也就是把概念有机地、和谐地融入到原有认知结构中. 数学习题能有效地引起学生进行认知活动，如学习了“函数的单调性”后，指导学生做一些判断或证明函数的单调性习题，会让学生加深对单调性的认识，还会使学生熟练操作判断或证明函数的单调性的步骤：①设；②作差；③化积；④判断符号.
（３） 通过数学习题运用知识. 怎样了解学生是否理解、掌握并会应用所学的定理、概念和公式了呢？主要还是靠数学习题. 比如，理解“排列”的定义并不难，但要想处理好排列的习题却需要拥有一些“插空”、“捆绑”、“顺序一定”的技巧，这些技巧都必须要经过习题而取得.
２. 教育功能
学生一旦进入解题状态，他的思维活动就具有指定的目的性、方向性、确定性和辨别性，情感亦随之高涨、低落和起伏. 于是，数学学科对学生在智力和非智力方面的教育功能即一并凸现出来. 在智力方面，数学习题帮助学生树立正确的数学观念，形成科学的思维方式与合理的思维习惯，焕发学生的应用意识，激发他们的创造能力，培养数学思维的灵活性、广阔性、批判性及创造性. 在非智力方面，数学习题亦推动着学生个性品质的发展——认真、严谨、自信、耐心、坚定、顽强，从动机、兴趣、情感、意志和性格等心理因素角度对学生的学习活动产生不可低估的定向、动力、引导、维持、调节、控制和强化作用. 数学习题给予学生数学美的熏陶和传统数学成就的展示，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义世界观的教育和爱国主义思想的教育.
３. 评价功能
无论是素质教育还是应试教育，在中学数学教学中，解决数学习题（包括数学习题考试）都不失为考核与测试学生知识与能力的一种基本途径. 数学习题可以较为全面地诊断学生对于知识的理解、掌握及应用的水平，是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段. 数学习题在学生解决的成败得失过程中足以暴露学生学习中存在的意识、观念上的缺陷，评估学习环节潜在的不足，是鉴别学生能力、水准的一面镜子.
４. 示范功能
一般说来，教材中的例习题都是为诠释本节课的某个定理、定义或公式而配备的，它们是连接理论知识和数学问题之间的桥梁，是一套通向问题解决的解题程序，对解题的思路、解题步骤的表达、书写的格式，图例表格的绘制等均有一定的规范要求，因此它们对解决此类相关问题以及对于此类问题的格式化起到了必要的示范、规范及范例作用，积极促进了学生对产生式“条件”的认知与概括，最终掌握一般的产生式规则. 比如在“异面直线所成的角”一节课中，有一道例题在求“异面直线所成的角”和求“异面直线的距离”的过程中就明确表明了求“角”或求“距离”问题的解题的统一步骤为：①作（辅助线）；②证（哪条线或角为所求）；③算（计算出要求的角或距离），从而也为学生以后求解线面角、二面角、点面距离、线面距离、面面距离等问题作出了良好的规范，也为学生能在考试中可以分步得分、多得分提供了有力的保障.
５. 拓展功能
高中数学教材的习题大部分都较为基础，与高考题有一定的距离，颇有拓展、开发和挖掘的余地和空间. 如高中数学第二册（上）通过例题“已知ａ，ｂ，ｍ是正数，并且ａ ＜ ｂ，求证＞”介绍了比较法的证明方法，但事实上也可以强化综合法和分析法；另外，还可以将不等式的问题置身于函数问题中：将ａ，ｂ视为常数，把ｍ当做变量，构造函数ｆ（ｍ） = ，通过判断它在（0,+∞）上是单调增函数而得证. 这样，将不等式拓展上升到函数思想的高度，同时强化了原不等式的结论. 所以，在教学中要注意对习题总结、提炼和灵活运用，从而大大拓宽数学例习题的教学功能，进而拓展学生的思维、培养学生的创造能力.
６. 提升功能
解题并不是数学教学的根本目的，而只是学习数学的一种手段、一种媒介. 通过解题来达到对数学知识的理解、掌握、应用，深刻领悟高中数学思想与方法，这才是数学教学的本质. “题海无涯，人生有限”，学生要想深入地了解和掌握数学，拥有一个能“点石成金”的手指头的意义远远要胜于点石成金后的“金子”. 教师欲通过覆盖大量题型，使学生以牺牲宝贵的时间为代价来获取较高的数学成绩显然是不可取的. 因此，教师要努力发掘习题中蕴涵的数学思想. 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义；数学思想的重要意义在于指导学习者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发展解题方法提供保障，同时数学思想也是历年高考的重点. 中学常见的数学思想有：方程与函数的思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想. 数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法又都是转化与化归思想的具体体现，即将难解的问题转化为熟悉的已掌握的、已解决的问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将实际问题转化为数学问题. 例如：①高中数学第一册（上） 习题３．２第２题“在等差数列｛an｝中，已知a5 = -1，a8 = 2，求a1与ｑ，” 体现了方程思想；②第一册（上）P132 “求和：（a - 1） + （ａ２－２） + … + （an - n）”一题体现了分类讨论思想；③立体几何中，两条异面直线所成角、直线与平面所成的角、面与面所成的角问题最终都化归到平面几何中两条相交直线所成的角，体现了转化的思想；④第二册（上）P69 “到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是ｘ － ｙ ＝ ０吗？为什么？”体现了数形结合的思想.
７. 模型功能
课本上的诸多例习题为学生提供了模型或结论的功能，就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样，在学游泳时，你模仿别人的做法，用手和脚的动作来保持头部位于水面之上，最后你通过操练游泳学会了游泳，在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会了解题”.所以，如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型或结论的话，将会提高思维的效率. 例如，高中数学教材第二册（上）有一练习题“判断下列各对直线是否平行或垂直，l1：Ax + By + C1 = 0与l2：-Bx + Ay + C2 = 0”，学生在对两条直线作出“垂直”的判断后，教师可以趁热打铁，指导学生记忆与已知直线Ax + By + C = 0垂直的直线的方程的模式，简化了直线方程中的待定系数的计算.
８. 联系功能
学生在学习高中数学的初始阶段，主要是以知识点为学习的目标，学习要求仅局限于能准确了解、理解、掌握必需的数学概念，发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能. 由于后面与之相关的知识还没有接触到，暂时不能进行纵向联系，所以，学生学到的往往是零碎的、散乱的知识点. 而在以后的学习中，学生会发现虽然学习的章节、单元、数学分支不同，但知识的纵向联系与横向联系在习题中水乳交融，综合性能明显. 一道好的数学习题善于将零散的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化、注重各个知识点之间的融会贯通与整合，近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了数学习题的联系功能. 因此，师生要注意课本上例习题的前后联系作用. 例如，在“空间直线和平面”部分中学习“点到平面的距离”时，学生只会用定义求解，而在“简单几何体”部分学习了棱锥的体积公式后，学生就会接触到求三棱锥的高和体积问题，如果适时加以引导，学生就会惊喜地获得求“点面距离”的第二种方法即“等体积法”，完善了对“点面距离”的认知结构.
９. 巩固功能
教育心理学认为，练习是促使陈述性知识向智慧技能转化的必要条件. 高中数学教材中的例习题无一例外是为巩固数学知识而“讲”和“设”的. 为了牢固地掌握基础知识，就必须通过例题和习题来巩固. 例如，学生在学习“互斥事件”、“对立事件”概念时，虽然能一字不错地说出它们的定义，但未必能准确地判断两个事件是否为“互斥事件”与“对立事件”，需要借助于书后的练习或其他具体事例进行说明、加强巩固已有认知和新的信息之间的同化与融合. 与此同时，在巩固的基础上，再通过对例习题的反思与深化，达到提高运用知识分析问题和解决问题的目的.
１０. 归纳功能
数学问题的背景可以是千变万化的，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的. 因此，数学习题的功能不止停留在本道习题所蕴涵的数学概念、定义的实质及其所渗透的数学思想、方法上，更延伸为它的高度概括的、归纳的功能，更应最大限度地展现数学本质，包括数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼. 华罗庚先生曾说的“书由越读越厚，再到越读越薄”想必就是这个意思. 这就可以解释为什么很多学生尽管抱怨作了大量的习题，却仍然不能摆脱较低的数学成绩，我认为很大原因在于学生对知识理解得不够深刻、剔透、到位，没有依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，没有形成概念、判断或推理，没有努力挖掘事物的本质、规律及内部联系，不善于总结每个公式、定理的主要用途……因而，有的人即使做了１００道题，也仍然还是１００道题；而有的人做了１００道题，却能把它归结为十个类型题，达到举一反三、由例及类、解一题通十题.
【参考文献】
［１］ 沈祥．数学新题型研究［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２００３．
［２］ ［英］斯科特．数学史［Ｍ］．南宁：广西师范大学出版社，２００２．
［３］ 肖柏荣，潘娉娇．数学思想方法及其教学示例［Ｍ］．江苏教育出版社，２０００.
［４］ Ｐ·Ｒ·Ｈａｌｍｏｓ．数学的心脏［Ｊ］．数学通报，１９８２．
［５］ 张大均．教育心理学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３.
［６］ 罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］． 陕西师范大学出版社，２００１.
１. 知识功能
所有的数学习题最根本的功能就是通过解题使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧. 数学习题的知识功能体现在学生学习数学知识的三个环节中. （１） 通过数学习题引入新知识. 学习新知识，最重要的是建立起新旧知识间的联系. 引起学生的思考、在学生原有知识基础上产生疑问就要靠习题来联络. 比如，已知底数２和指数３，就可以求幂23 = 8，那么，如果已知底数２和幂５，即2x = 5，如何求指数ｘ呢？这样一个看似简单的数学习题会毫无疑问地引发学生学习“对数”的兴趣.
（２） 通过数学习题巩固知识. “在数学中，例子比定律更重要”.在掌握概念的过程中，比形成概念更重要的是概念的同化，也就是把概念有机地、和谐地融入到原有认知结构中. 数学习题能有效地引起学生进行认知活动，如学习了“函数的单调性”后，指导学生做一些判断或证明函数的单调性习题，会让学生加深对单调性的认识，还会使学生熟练操作判断或证明函数的单调性的步骤：①设；②作差；③化积；④判断符号.
（３） 通过数学习题运用知识. 怎样了解学生是否理解、掌握并会应用所学的定理、概念和公式了呢？主要还是靠数学习题. 比如，理解“排列”的定义并不难，但要想处理好排列的习题却需要拥有一些“插空”、“捆绑”、“顺序一定”的技巧，这些技巧都必须要经过习题而取得.
２. 教育功能
学生一旦进入解题状态，他的思维活动就具有指定的目的性、方向性、确定性和辨别性，情感亦随之高涨、低落和起伏. 于是，数学学科对学生在智力和非智力方面的教育功能即一并凸现出来. 在智力方面，数学习题帮助学生树立正确的数学观念，形成科学的思维方式与合理的思维习惯，焕发学生的应用意识，激发他们的创造能力，培养数学思维的灵活性、广阔性、批判性及创造性. 在非智力方面，数学习题亦推动着学生个性品质的发展——认真、严谨、自信、耐心、坚定、顽强，从动机、兴趣、情感、意志和性格等心理因素角度对学生的学习活动产生不可低估的定向、动力、引导、维持、调节、控制和强化作用. 数学习题给予学生数学美的熏陶和传统数学成就的展示，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义世界观的教育和爱国主义思想的教育.
３. 评价功能
无论是素质教育还是应试教育，在中学数学教学中，解决数学习题（包括数学习题考试）都不失为考核与测试学生知识与能力的一种基本途径. 数学习题可以较为全面地诊断学生对于知识的理解、掌握及应用的水平，是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段. 数学习题在学生解决的成败得失过程中足以暴露学生学习中存在的意识、观念上的缺陷，评估学习环节潜在的不足，是鉴别学生能力、水准的一面镜子.
４. 示范功能
一般说来，教材中的例习题都是为诠释本节课的某个定理、定义或公式而配备的，它们是连接理论知识和数学问题之间的桥梁，是一套通向问题解决的解题程序，对解题的思路、解题步骤的表达、书写的格式，图例表格的绘制等均有一定的规范要求，因此它们对解决此类相关问题以及对于此类问题的格式化起到了必要的示范、规范及范例作用，积极促进了学生对产生式“条件”的认知与概括，最终掌握一般的产生式规则. 比如在“异面直线所成的角”一节课中，有一道例题在求“异面直线所成的角”和求“异面直线的距离”的过程中就明确表明了求“角”或求“距离”问题的解题的统一步骤为：①作（辅助线）；②证（哪条线或角为所求）；③算（计算出要求的角或距离），从而也为学生以后求解线面角、二面角、点面距离、线面距离、面面距离等问题作出了良好的规范，也为学生能在考试中可以分步得分、多得分提供了有力的保障.
５. 拓展功能
高中数学教材的习题大部分都较为基础，与高考题有一定的距离，颇有拓展、开发和挖掘的余地和空间. 如高中数学第二册（上）通过例题“已知ａ，ｂ，ｍ是正数，并且ａ ＜ ｂ，求证＞”介绍了比较法的证明方法，但事实上也可以强化综合法和分析法；另外，还可以将不等式的问题置身于函数问题中：将ａ，ｂ视为常数，把ｍ当做变量，构造函数ｆ（ｍ） = ，通过判断它在（0,+∞）上是单调增函数而得证. 这样，将不等式拓展上升到函数思想的高度，同时强化了原不等式的结论. 所以，在教学中要注意对习题总结、提炼和灵活运用，从而大大拓宽数学例习题的教学功能，进而拓展学生的思维、培养学生的创造能力.
６. 提升功能
解题并不是数学教学的根本目的，而只是学习数学的一种手段、一种媒介. 通过解题来达到对数学知识的理解、掌握、应用，深刻领悟高中数学思想与方法，这才是数学教学的本质. “题海无涯，人生有限”，学生要想深入地了解和掌握数学，拥有一个能“点石成金”的手指头的意义远远要胜于点石成金后的“金子”. 教师欲通过覆盖大量题型，使学生以牺牲宝贵的时间为代价来获取较高的数学成绩显然是不可取的. 因此，教师要努力发掘习题中蕴涵的数学思想. 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义；数学思想的重要意义在于指导学习者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发展解题方法提供保障，同时数学思想也是历年高考的重点. 中学常见的数学思想有：方程与函数的思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想. 数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法又都是转化与化归思想的具体体现，即将难解的问题转化为熟悉的已掌握的、已解决的问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将实际问题转化为数学问题. 例如：①高中数学第一册（上） 习题３．２第２题“在等差数列｛an｝中，已知a5 = -1，a8 = 2，求a1与ｑ，” 体现了方程思想；②第一册（上）P132 “求和：（a - 1） + （ａ２－２） + … + （an - n）”一题体现了分类讨论思想；③立体几何中，两条异面直线所成角、直线与平面所成的角、面与面所成的角问题最终都化归到平面几何中两条相交直线所成的角，体现了转化的思想；④第二册（上）P69 “到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是ｘ － ｙ ＝ ０吗？为什么？”体现了数形结合的思想.
７. 模型功能
课本上的诸多例习题为学生提供了模型或结论的功能，就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样，在学游泳时，你模仿别人的做法，用手和脚的动作来保持头部位于水面之上，最后你通过操练游泳学会了游泳，在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会了解题”.所以，如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型或结论的话，将会提高思维的效率. 例如，高中数学教材第二册（上）有一练习题“判断下列各对直线是否平行或垂直，l1：Ax + By + C1 = 0与l2：-Bx + Ay + C2 = 0”，学生在对两条直线作出“垂直”的判断后，教师可以趁热打铁，指导学生记忆与已知直线Ax + By + C = 0垂直的直线的方程的模式，简化了直线方程中的待定系数的计算.
８. 联系功能
学生在学习高中数学的初始阶段，主要是以知识点为学习的目标，学习要求仅局限于能准确了解、理解、掌握必需的数学概念，发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能. 由于后面与之相关的知识还没有接触到，暂时不能进行纵向联系，所以，学生学到的往往是零碎的、散乱的知识点. 而在以后的学习中，学生会发现虽然学习的章节、单元、数学分支不同，但知识的纵向联系与横向联系在习题中水乳交融，综合性能明显. 一道好的数学习题善于将零散的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化、注重各个知识点之间的融会贯通与整合，近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了数学习题的联系功能. 因此，师生要注意课本上例习题的前后联系作用. 例如，在“空间直线和平面”部分中学习“点到平面的距离”时，学生只会用定义求解，而在“简单几何体”部分学习了棱锥的体积公式后，学生就会接触到求三棱锥的高和体积问题，如果适时加以引导，学生就会惊喜地获得求“点面距离”的第二种方法即“等体积法”，完善了对“点面距离”的认知结构.
９. 巩固功能
教育心理学认为，练习是促使陈述性知识向智慧技能转化的必要条件. 高中数学教材中的例习题无一例外是为巩固数学知识而“讲”和“设”的. 为了牢固地掌握基础知识，就必须通过例题和习题来巩固. 例如，学生在学习“互斥事件”、“对立事件”概念时，虽然能一字不错地说出它们的定义，但未必能准确地判断两个事件是否为“互斥事件”与“对立事件”，需要借助于书后的练习或其他具体事例进行说明、加强巩固已有认知和新的信息之间的同化与融合. 与此同时，在巩固的基础上，再通过对例习题的反思与深化，达到提高运用知识分析问题和解决问题的目的.
１０. 归纳功能
数学问题的背景可以是千变万化的，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的. 因此，数学习题的功能不止停留在本道习题所蕴涵的数学概念、定义的实质及其所渗透的数学思想、方法上，更延伸为它的高度概括的、归纳的功能，更应最大限度地展现数学本质，包括数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼. 华罗庚先生曾说的“书由越读越厚，再到越读越薄”想必就是这个意思. 这就可以解释为什么很多学生尽管抱怨作了大量的习题，却仍然不能摆脱较低的数学成绩，我认为很大原因在于学生对知识理解得不够深刻、剔透、到位，没有依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，没有形成概念、判断或推理，没有努力挖掘事物的本质、规律及内部联系，不善于总结每个公式、定理的主要用途……因而，有的人即使做了１００道题，也仍然还是１００道题；而有的人做了１００道题，却能把它归结为十个类型题，达到举一反三、由例及类、解一题通十题.
【参考文献】
［１］ 沈祥．数学新题型研究［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２００３．
［２］ ［英］斯科特．数学史［Ｍ］．南宁：广西师范大学出版社，２００２．
［３］ 肖柏荣，潘娉娇．数学思想方法及其教学示例［Ｍ］．江苏教育出版社，２０００.
［４］ Ｐ·Ｒ·Ｈａｌｍｏｓ．数学的心脏［Ｊ］．数学通报，１９８２．
［５］ 张大均．教育心理学［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３.
［６］ 罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］． 陕西师范大学出版社，２００１.