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用向量解决立体几何问题有两种方式可供选择,一种是用向量代数式运算,一种是向量的坐标运算. 用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底,一般选共起点的三个不共面的向量构成基底,这样图形中任何其它向量总可以用这一组基向量来表示,把相关向量表示出来后，就可用向量数量积运算来讨论向量所成的角，特别是通过数量积是否为零来判断垂直问题，用向量是否共线来说明平行问题等．
一、利用向量解决空间位置关系问题
1. 平行问题
例1 如图所示,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为[a，M、N]分别是[A1B]和[AC]上的点，[A1M=AN=23a,][E是A1D1中点.]
[∴MN//面BB1C1C]．
点拨 （1）建立空间直角坐标系，应尽可能地利用已经存在的过同一个点的两两互相垂直的三条直线，如果没有三线，也应多找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直．
（2）建立直角坐标系后，不需要写出所有点的坐标，也不需要写出所有向量的坐标，只须写出需要用到的点和向量的坐标．
（3）平面[α]的法向量是不惟一的．求平面[α]的法向量一般用解方程组的方法来求，首先设平面[α]的法向量为[n=(x,y,z)]，在平面[α]内任找两不共线且已知坐标的向量，如[AB]和[CD]，建立方程[AB⋅n=0]和[CD⋅n=0]，解出[x或y或z]，或找出它们之间的关系，可用一个字母来表示另外两个字母，再令这个字母取一个特殊值（不能取0），算出另外两个字母，即可得到方程组的一组解．
2. 垂直问题
例2 如图，在三棱锥[P-ABC]中，[AB=AC]，[D]为[BC]的中点，[PO]⊥平面[ABC]，垂足[O]落在线段[AD]上，已知[BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.]
（1）证明：[AP⊥BC]；
（2）在线段[AP]上是否存在点[M]，使得面[AMC][⊥]面[BMC]？若存在，求出[AM]的长；若不存在，请说明理由．
解析 （1）如图，以[O]为原点，以射线[OP]为[z]轴的正半轴，以射线[OD]为[y]轴的正半轴，建立空间直角坐标系[O-xyz]，则[O(0,0,0), A(0,-3,0), ][B(4,2,0),][ C(-4,2,0),][P(0,0,4),]
[AP=(0,3,4), BC=(-8,0,0),]
综上所述，存在点[M]符合题意，[AM=3]．
点拨 （1）本题中并没有互相垂直的三线，所以先找出两条线互相垂直，再作出第三条线与它们都垂直，把这三条线作为坐标系中的[x、y、z]轴．
（2）存在性问题一般先假设存在，然后在这个条件下进行计算，若能算出来，即表示存在，若算不出来或者不合题意即表示不存在．
二、利用向量解决“空间角”问题
1. 异面直线所成角问题（线线角问题）
例3 如图所示，[AF、DE]分别是[⊙O]、[⊙O1]的直径. [AD]与两圆所在的平面均垂直，[AD＝8],[BC]是[⊙O]的直径，[AB＝AC＝6]，[OE∥AD]. 求直线[BD]与[EF]所成的角.
解析 以[O]为原点，[BC、AF、OE]所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则[O]（0，0，0），[A]（0，[-32]，0），[B]（[32]，0，0），[D]（0，[-32]，8），[E]（0，0，8），[F]（0，[32]，0），
[BD=(-32,-32,8),EF=(0,32,-8)]，
[cos=BD⋅EF|BD||EF|=0-18-64100×82=-8210.]
设异面直线[BD]与[EF]所成角为[α]，
则[|x0-x0|≤L|x0-x0|]，
因此直线[BD]与[EF]所成的角为[arccos8210]．
点拨 向量在解决异面直线所成角时，通常要先建立空间直角坐标系，然后计算出两个向量的坐标，再代入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是[0,π]，而异面直线所成角的范围是[(0,π2]]，所以一定要注意夹角的余弦值应该取正值，若算出两向量夹角的余弦值是负值，取其绝对值作为两异面直线夹角的余弦值．
2. 线面角问题
例4 如图，四棱锥[S-ABCD]中，[AB⊥BC],[BC⊥CD]，侧面[SAB]为等边三角形，[AB=BC=2,][CD=SD=1]．
（1）证明：[SD⊥]平面[SAB];
（2）求[AB]与平面[SBC]所成角的大小．
解析 以[C]为坐标原点，射线[CD]为[x]轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系[C-xyz]．设[D]（1，0，0），则[A]（2，2，0）、[B]（0，2，0）.
故[AB]与平面[SBC]所成的角为[arcsin217]（或[π2-arccos217]）．
点拨 求直线与平面所成角可转化为求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角，因规定直线与平面所成角[θ∈[0，π2]]，两向量所成角[α∈[0，π]]，所以用此法向量求出的线面角应满足[θ=|π2-α|]，[sinθ=cosα]．
3. 面面角（二面角）问题
例5 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]的底面边长为3，侧棱[AA1=323]，[D]是[CB]延长线上一点，且[BD=BC]，求二面角[B1-AD-B]的大小．
故所求二面角[B1-AD-B]的大小为[60∘]．
点拨 （1）本题容易得到面[ABD]的一条垂线，所以面[ABD]的法向量就不需要再用方程组来解了，直接把这条垂线的方向向量作为平面[ABD]的法向量．
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取[n2=(-32,-1,-32)]时，会算得[cos=-12]，从而所求二面角为[120∘]，但依题意只能为[60∘]．所以用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量所取的方向不同，所求出来的角度也不同，因此，最后所求角是法向量的夹角还是它的补角，应根据所求二面角的实际图形来确定．
三、利用向量解决“空间距离”问题
例6 如图所求，已知四边形[ABCD]、[EADM]和[MDCF]都是边长为[a]的正方形，点[P、Q]分别是[ED]和[AC]的中点.
（1）求[P]到平面[EFB]的距离；
（2）求异面直线[PM]与[FQ]的距离.
解析 以[D]为坐标原点，以射线[DA、DC、DM]分别为[x、y、z]轴，建立空间直角坐标系，
得[D]（0，0，0）、[A]（[a]，0，0）、[B]（[a，a]，0）、[C(0,a,0)]、[M(0，0，a)]、[E(a，0，a)]、[F(0，a，a)]，
则[P(a2]，0，[a2]）、[Q(a2]，[a2]，0）.
（1）设[n=(x，y，z)]是平面[EFB]的单位法向量，即|[n]|=1，[n]⊥平面[EFB]，∴[n]⊥[EF]，[n]⊥[BE].
又[EF=(－a，a，0)]，[EB=(0，a，－a)] ，
即有[x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,ay-az=0.]得其中的一组解[x=33,y=33,z=33.]
∴[n]=（[33]，[33]，[33]），[PE]=（[a2]，0，[a2]）.
设所求距离为[d]，则[d=|PE]·[n][|=33a].
（2）设[e=(x1，y1，z1)]是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由[PM]=（－[a2]，0，[a2]），[FQ]=（[a2]，－[a2]，[－a]），及[e⊥PM,e⊥FQ],可得[x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.]
求得其中的一个[e]=（[33]，－[33]，[33]），
而[MF=(0，a，0)]，设所求距离为[d]，
则[d=|MF]·[e][|=|－33a|=][33a].
点拨 本题用到了平面的单位法向量和直线的单位方向向量，由于单位向量的模长为1，所以点[A]到平面[α]的距离[h=BA⋅nn]=[BA⋅n]．
综上，立体几何中线面位置关系的证明、夹角和距离的求解等问题，一般都可以转化为平面的法向量、直线的方向向量之间的关系问题，通过建立适当的空间直角坐标系，灵活求出相关平面的法向量、直线的方向向量的坐标，运用代数方法“程序化”地取代传统的几何逻辑推理进行解题，这种方法更显简洁明了．
一、利用向量解决空间位置关系问题
1. 平行问题
例1 如图所示,在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为[a，M、N]分别是[A1B]和[AC]上的点，[A1M=AN=23a,][E是A1D1中点.]
[∴MN//面BB1C1C]．
点拨 （1）建立空间直角坐标系，应尽可能地利用已经存在的过同一个点的两两互相垂直的三条直线，如果没有三线，也应多找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直．
（2）建立直角坐标系后，不需要写出所有点的坐标，也不需要写出所有向量的坐标，只须写出需要用到的点和向量的坐标．
（3）平面[α]的法向量是不惟一的．求平面[α]的法向量一般用解方程组的方法来求，首先设平面[α]的法向量为[n=(x,y,z)]，在平面[α]内任找两不共线且已知坐标的向量，如[AB]和[CD]，建立方程[AB⋅n=0]和[CD⋅n=0]，解出[x或y或z]，或找出它们之间的关系，可用一个字母来表示另外两个字母，再令这个字母取一个特殊值（不能取0），算出另外两个字母，即可得到方程组的一组解．
2. 垂直问题
例2 如图，在三棱锥[P-ABC]中，[AB=AC]，[D]为[BC]的中点，[PO]⊥平面[ABC]，垂足[O]落在线段[AD]上，已知[BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.]
（1）证明：[AP⊥BC]；
（2）在线段[AP]上是否存在点[M]，使得面[AMC][⊥]面[BMC]？若存在，求出[AM]的长；若不存在，请说明理由．
解析 （1）如图，以[O]为原点，以射线[OP]为[z]轴的正半轴，以射线[OD]为[y]轴的正半轴，建立空间直角坐标系[O-xyz]，则[O(0,0,0), A(0,-3,0), ][B(4,2,0),][ C(-4,2,0),][P(0,0,4),]
[AP=(0,3,4), BC=(-8,0,0),]
综上所述，存在点[M]符合题意，[AM=3]．
点拨 （1）本题中并没有互相垂直的三线，所以先找出两条线互相垂直，再作出第三条线与它们都垂直，把这三条线作为坐标系中的[x、y、z]轴．
（2）存在性问题一般先假设存在，然后在这个条件下进行计算，若能算出来，即表示存在，若算不出来或者不合题意即表示不存在．
二、利用向量解决“空间角”问题
1. 异面直线所成角问题（线线角问题）
例3 如图所示，[AF、DE]分别是[⊙O]、[⊙O1]的直径. [AD]与两圆所在的平面均垂直，[AD＝8],[BC]是[⊙O]的直径，[AB＝AC＝6]，[OE∥AD]. 求直线[BD]与[EF]所成的角.
解析 以[O]为原点，[BC、AF、OE]所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则[O]（0，0，0），[A]（0，[-32]，0），[B]（[32]，0，0），[D]（0，[-32]，8），[E]（0，0，8），[F]（0，[32]，0），
[BD=(-32,-32,8),EF=(0,32,-8)]，
[cos
设异面直线[BD]与[EF]所成角为[α]，
则[|x0-x0|≤L|x0-x0|]，
因此直线[BD]与[EF]所成的角为[arccos8210]．
点拨 向量在解决异面直线所成角时，通常要先建立空间直角坐标系，然后计算出两个向量的坐标，再代入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是[0,π]，而异面直线所成角的范围是[(0,π2]]，所以一定要注意夹角的余弦值应该取正值，若算出两向量夹角的余弦值是负值，取其绝对值作为两异面直线夹角的余弦值．
2. 线面角问题
例4 如图，四棱锥[S-ABCD]中，[AB⊥BC],[BC⊥CD]，侧面[SAB]为等边三角形，[AB=BC=2,][CD=SD=1]．
（1）证明：[SD⊥]平面[SAB];
（2）求[AB]与平面[SBC]所成角的大小．
解析 以[C]为坐标原点，射线[CD]为[x]轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系[C-xyz]．设[D]（1，0，0），则[A]（2，2，0）、[B]（0，2，0）.
故[AB]与平面[SBC]所成的角为[arcsin217]（或[π2-arccos217]）．
点拨 求直线与平面所成角可转化为求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余角，因规定直线与平面所成角[θ∈[0，π2]]，两向量所成角[α∈[0，π]]，所以用此法向量求出的线面角应满足[θ=|π2-α|]，[sinθ=cosα]．
3. 面面角（二面角）问题
例5 如图，正三棱柱[ABC-A1B1C1]的底面边长为3，侧棱[AA1=323]，[D]是[CB]延长线上一点，且[BD=BC]，求二面角[B1-AD-B]的大小．
故所求二面角[B1-AD-B]的大小为[60∘]．
点拨 （1）本题容易得到面[ABD]的一条垂线，所以面[ABD]的法向量就不需要再用方程组来解了，直接把这条垂线的方向向量作为平面[ABD]的法向量．
（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取[n2=(-32,-1,-32)]时，会算得[cos
三、利用向量解决“空间距离”问题
例6 如图所求，已知四边形[ABCD]、[EADM]和[MDCF]都是边长为[a]的正方形，点[P、Q]分别是[ED]和[AC]的中点.
（1）求[P]到平面[EFB]的距离；
（2）求异面直线[PM]与[FQ]的距离.
解析 以[D]为坐标原点，以射线[DA、DC、DM]分别为[x、y、z]轴，建立空间直角坐标系，
得[D]（0，0，0）、[A]（[a]，0，0）、[B]（[a，a]，0）、[C(0,a,0)]、[M(0，0，a)]、[E(a，0，a)]、[F(0，a，a)]，
则[P(a2]，0，[a2]）、[Q(a2]，[a2]，0）.
（1）设[n=(x，y，z)]是平面[EFB]的单位法向量，即|[n]|=1，[n]⊥平面[EFB]，∴[n]⊥[EF]，[n]⊥[BE].
又[EF=(－a，a，0)]，[EB=(0，a，－a)] ，
即有[x2+y2+z2=1,-ax+ay=0,ay-az=0.]得其中的一组解[x=33,y=33,z=33.]
∴[n]=（[33]，[33]，[33]），[PE]=（[a2]，0，[a2]）.
设所求距离为[d]，则[d=|PE]·[n][|=33a].
（2）设[e=(x1，y1，z1)]是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由[PM]=（－[a2]，0，[a2]），[FQ]=（[a2]，－[a2]，[－a]），及[e⊥PM,e⊥FQ],可得[x12+y12+z12=1,-a2x1+a2z1=0,a2x1-a2y1-az1=0.]
求得其中的一个[e]=（[33]，－[33]，[33]），
而[MF=(0，a，0)]，设所求距离为[d]，
则[d=|MF]·[e][|=|－33a|=][33a].
点拨 本题用到了平面的单位法向量和直线的单位方向向量，由于单位向量的模长为1，所以点[A]到平面[α]的距离[h=BA⋅nn]=[BA⋅n]．
综上，立体几何中线面位置关系的证明、夹角和距离的求解等问题，一般都可以转化为平面的法向量、直线的方向向量之间的关系问题，通过建立适当的空间直角坐标系，灵活求出相关平面的法向量、直线的方向向量的坐标，运用代数方法“程序化”地取代传统的几何逻辑推理进行解题，这种方法更显简洁明了．