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表示是综合的 ultraspherical 多项式的扩大的系数的公式时间的一个任意的数字在一种更紧缩的形式以原来的扩大的系数被说并且比菲利浦斯和 Karageorghis (1990 ) 的公式以一个更简单的方法证明了。一个新公式为 ultraspherical 多项式，第一和第二种类型的 Chebyshev 多项式和 Legendre 多项式是重要特殊情况的 q 时间集成被证明。为与改变系数解决平常的微分方程的这些公式的应用被讨论。