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【摘 要】 机械结构中常会遇到的问题是振动，这是因为振动往往会使结构产生共振或疲劳，而使结构破坏，为避免结构的破坏，因此对结构本身刚度特性（结构的固有频率和振型）的了解，能够有效避免结构本身在使用中由于共振因素造成的损失。通过结构动力学中模态分析的方法，利用理论求解与ANSYS仿真能直观地得出结构系统的振型图。不同工况下结构系统的前6阶固有频率的计算，吊笼运行到不同位置且在激振力作用下作用点的动力位移的计算式，画出前6阶固有频率所对应的结构系统的振型图，并利用ANSYS仿真出前6阶固有频率所对应的结构系统的振型云图。 吊笼运行到不同位置对结构系统的动态特性的影响，当吊笼运行在不同位置分析得出顶部自由端受外加激振力的影响较大，在施工中应对与顶部自由端相连接的附着装置的刚度予以加强，使结构系统的稳定性提高。
【关键词】 固有频率 振动 模态分析 振型 施工升降机
【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2015.07.015
1 前言
结构自由振动时具有的基本振动特性被称为结构的模态。结构模态是由结构本身特性和材料特性共同决定的，与外部载荷等条件无关。一般情况下多数升降机导轨架每个标准节质量是一致的，那么导轨架分布质量连接而成的结构看成是连续体系统，该系统有阻尼并受到外加激振力的作用，因此将其简化为一般载荷作用下有阻尼系统的受迫振动，利用边界条件比较容易计算出结构系统的固有频率和振型函数，减少了计算的工作量，为后面的求解系统的位移响应打下了基础。本文研究的是把升降机导轨架的振动看成是一般载荷作用下的连续体振动并研究其动态特性对结构系统的影响。
2 结构模态计算与分析
2.1 一般载荷下连续体有阻尼系统的振动微分方程
由结构动力学的理论知：一般载荷下连续体有阻尼系统的振动微分方程为：
[m（x）][?2y?t2+c（x）?y?t+?2?x2EI（x）?y?x2+cSI（x）?3y?t?x2=q（x，t）] （1）
2.2 无阻尼自由振动振型函数计算
由（1）无阻尼自由振动时方程变为：
[m（x）?2y?t2+EI?4y?x4=0] （2）
分离变量法[y（x，t）=y（x）T（t）]代入（2）式变为[m（x）y（x）][T（t）+EIy（4）（x）T（t）=0]
令[-T（t）T（t）=EImy（4）（x）y（x）=w2] （3）
[∴][EImy（4）（x）y（x）=w2]设[w2mEI=k4] （4）
[y（4）（x）-k4y（x）=0] （5）
[∴][r=±k，±ki]
get[y=C1′ekx+C2′e-kx+C3′coskx+C4′sinkx] （6）
Because [Skx=12（chkx+coskx）]
[Tkx=12（shkx+sinkx）] （7）
[Ukx=12（chkx-coskx）] [Vkx=12（shkx-sinkx）] （8）
[∴y（x）=C1′Skx+C2′e-kx+C3′coskx+C4′sinkx] （9）
无论何种情况设梁在左端为坐标原点[x=0]该处的初始参数[y0]，[y0′]，[M0]和[Q0]
[∴y（x）=C1Skx+C2Tkx（x）+C3Ukx（x）+C4Vkx（x）] （10）
在原点处可得：
[y（x）=y0]，[y（x）=y0]，[y（x）=y0]，[y（x）=y0] （11）
则得到：[y0=C1]，[C2=y0k]，[C3=y0k2=y（x）k2][=-MEIk3]，[C4=y0k3=y（x）k3=-Q0EIk3]
[∴y（x）=y0Skx+y0kTkx-MEIk2Ukx-Q0EIk3Vkx] （12）
3 工况的选取及计算模型的简化
由于风载荷沿导轨架对角线方向时将产生较大值，为了考虑最不利的工况，将其分解为沿吊笼长度方向和垂直于吊笼长度方向，认为风载荷沿全梁等高变化，由于一个吊笼停在最低点，另一个吊笼运行的工况是最危险工况，因此选取该工况并将计算模型简化，即选择其中一个方向（z方向）来提取其振型图。导轨架纵向振动弱于横向振动（纵向主要以强度和稳定性计算为主），所以提取导轨架的横向振动悬臂工况下的六个阶振型图。
4 结构系统动态特性计算与分析
4.1 等截面悬臂系统自振频率和振型函数计算
悬臂时考虑边界条件[∵y0=0] [y0=0]代入（12）可得[y（x）=-MEIk2Ukx-Q0EIk3Vkx] （13）
自由端[M（l）=0] [Q（l）=0]令[kl=α]代入（13）整理得：[-M0EISα-Q0kEITα=0-M0EIVα-Q0kEISα=0] （14）
该方程有非零解则[Sα TαVα Sα]=0得到：[chαcosα=1]
由此求出[α1=1.8751] [α2=4.6941] [α3=7.8548]
[α4=10.9586] [α5=14.1372] [α6=17.2788]
自由振动时由（4）知：[mw2EI=k4]且[kjl=αj]则[mwj2EI=kj4][∴wj=αj2l2EIm] （15）
所以各阶频率可知：
[∴w1=3.5160l2EIm] [w2=22.0.345l2EIm]
[w3=61.6972l2EIm] [w4=120.0902l2EIm] [w5=199.8600l2EIm] [w6=298.5569l2EIm]
由（14）知[Q0k=-M0SαTα]并消去[Q0]得到：
[y（x）=-MEIk2Ukx-SαTαVkx] （16）
令[C=-M02EIk2]把（7）带入（16）式整理得：
[y（x）C（chkix-coskix）-σi（shkix-sinkix）]（17）
其中[σi][=coskil+chkilsinkil+shkil]
[σ1=0.734096]，[σ2=1.018466]，[σ3=0.999225]
[σ4=1.000033]，[σ5=1.000000]，[σ6=1.000000]
4.2 位移响应计算
由结构动力学的知识有：
[hj（t）][+2ζjwjhj+wj2hj（t）=Fj?mj?]
一般载荷下用杜哈曼积分可算出[hj（t）]：
[hj（t）][=1mj?wj0tFj?e-wjζj（t-τ）sinwj（t-τ）dτ]
再利用[y（x，t）=j=1∝hj（t）yj（x）]，可以求出最后的位移响应[yj（x）]（代表各阶振型函数）。由于有风载荷激励和吊笼运行载荷激励两部分，所以作用点处的动力位移由这两部分叠加。
4.3 理论振型图
由前面得到的振型函数：
[∴][yi（x）=C（chkix-coskix）-σ1（shkix-sinkix）]
令每一阶振型函数为0，即可算出曲线与轴的焦点，便可绘制出振型图，其它振型图也由此方法得到。由不加附着理论计算振型图可知：自由端处的振动位移较大，并且需要在振型云图中振动位移较大的地方增加附着，在实际应用中，由于外加激振力的作用，该处动力位移比较大的地方应增加附着装置的刚度，以此提高结构系统的稳定性。由此振动型图知道导轨架的振动情况，选择增加附着装置来限制其导轨架的振动位移。例如一个吊笼满载停在最低点，另一个吊笼运行时，当监测到吊笼位置出现较大的位移，可知是吊笼本身运行或制动时所产生的激振力对导轨架的作用，当监测到导轨架自由端出现较大的位移，可知是风载荷所产生的激振力对导轨架的作用，由此可以增加该处的附着装置，保证导轨架的稳定。
5 结论
通过运用模态分析方法，理论求解出升降机导轨架的基本振型图，得到外加激振力作用下系统的位移情况和吊笼运行时最大位移发生处，通过附着装置加强此处的刚度，有效避免因共振而造成结构系统的破坏。由振型位移云图可知，顶部自由端受外部激励影响较大，而吊笼运行接近自由端时固有频率加大，振动剧烈，因此在实际施工中应加强与顶部自由端相连接的附着装置的刚度，提高结构系统的稳定性。通过运用此方法增加附着装置的刚度降低了危险点及危险截面的位移，消除了不安全隐患，增加了施工升降机实际应用的安全性能。.
作者简介
黄宇，本科，工程师，现于沈阳特种设备检测研究院从事特种设备检验工作。
（责任编辑：张晓明）
【关键词】 固有频率 振动 模态分析 振型 施工升降机
【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2015.07.015
1 前言
结构自由振动时具有的基本振动特性被称为结构的模态。结构模态是由结构本身特性和材料特性共同决定的，与外部载荷等条件无关。一般情况下多数升降机导轨架每个标准节质量是一致的，那么导轨架分布质量连接而成的结构看成是连续体系统，该系统有阻尼并受到外加激振力的作用，因此将其简化为一般载荷作用下有阻尼系统的受迫振动，利用边界条件比较容易计算出结构系统的固有频率和振型函数，减少了计算的工作量，为后面的求解系统的位移响应打下了基础。本文研究的是把升降机导轨架的振动看成是一般载荷作用下的连续体振动并研究其动态特性对结构系统的影响。
2 结构模态计算与分析
2.1 一般载荷下连续体有阻尼系统的振动微分方程
由结构动力学的理论知：一般载荷下连续体有阻尼系统的振动微分方程为：
[m（x）][?2y?t2+c（x）?y?t+?2?x2EI（x）?y?x2+cSI（x）?3y?t?x2=q（x，t）] （1）
2.2 无阻尼自由振动振型函数计算
由（1）无阻尼自由振动时方程变为：
[m（x）?2y?t2+EI?4y?x4=0] （2）
分离变量法[y（x，t）=y（x）T（t）]代入（2）式变为[m（x）y（x）][T（t）+EIy（4）（x）T（t）=0]
令[-T（t）T（t）=EImy（4）（x）y（x）=w2] （3）
[∴][EImy（4）（x）y（x）=w2]设[w2mEI=k4] （4）
[y（4）（x）-k4y（x）=0] （5）
[∴][r=±k，±ki]
get[y=C1′ekx+C2′e-kx+C3′coskx+C4′sinkx] （6）
Because [Skx=12（chkx+coskx）]
[Tkx=12（shkx+sinkx）] （7）
[Ukx=12（chkx-coskx）] [Vkx=12（shkx-sinkx）] （8）
[∴y（x）=C1′Skx+C2′e-kx+C3′coskx+C4′sinkx] （9）
无论何种情况设梁在左端为坐标原点[x=0]该处的初始参数[y0]，[y0′]，[M0]和[Q0]
[∴y（x）=C1Skx+C2Tkx（x）+C3Ukx（x）+C4Vkx（x）] （10）
在原点处可得：
[y（x）=y0]，[y（x）=y0]，[y（x）=y0]，[y（x）=y0] （11）
则得到：[y0=C1]，[C2=y0k]，[C3=y0k2=y（x）k2][=-MEIk3]，[C4=y0k3=y（x）k3=-Q0EIk3]
[∴y（x）=y0Skx+y0kTkx-MEIk2Ukx-Q0EIk3Vkx] （12）
3 工况的选取及计算模型的简化
由于风载荷沿导轨架对角线方向时将产生较大值，为了考虑最不利的工况，将其分解为沿吊笼长度方向和垂直于吊笼长度方向，认为风载荷沿全梁等高变化，由于一个吊笼停在最低点，另一个吊笼运行的工况是最危险工况，因此选取该工况并将计算模型简化，即选择其中一个方向（z方向）来提取其振型图。导轨架纵向振动弱于横向振动（纵向主要以强度和稳定性计算为主），所以提取导轨架的横向振动悬臂工况下的六个阶振型图。
4 结构系统动态特性计算与分析
4.1 等截面悬臂系统自振频率和振型函数计算
悬臂时考虑边界条件[∵y0=0] [y0=0]代入（12）可得[y（x）=-MEIk2Ukx-Q0EIk3Vkx] （13）
自由端[M（l）=0] [Q（l）=0]令[kl=α]代入（13）整理得：[-M0EISα-Q0kEITα=0-M0EIVα-Q0kEISα=0] （14）
该方程有非零解则[Sα TαVα Sα]=0得到：[chαcosα=1]
由此求出[α1=1.8751] [α2=4.6941] [α3=7.8548]
[α4=10.9586] [α5=14.1372] [α6=17.2788]
自由振动时由（4）知：[mw2EI=k4]且[kjl=αj]则[mwj2EI=kj4][∴wj=αj2l2EIm] （15）
所以各阶频率可知：
[∴w1=3.5160l2EIm] [w2=22.0.345l2EIm]
[w3=61.6972l2EIm] [w4=120.0902l2EIm] [w5=199.8600l2EIm] [w6=298.5569l2EIm]
由（14）知[Q0k=-M0SαTα]并消去[Q0]得到：
[y（x）=-MEIk2Ukx-SαTαVkx] （16）
令[C=-M02EIk2]把（7）带入（16）式整理得：
[y（x）C（chkix-coskix）-σi（shkix-sinkix）]（17）
其中[σi][=coskil+chkilsinkil+shkil]
[σ1=0.734096]，[σ2=1.018466]，[σ3=0.999225]
[σ4=1.000033]，[σ5=1.000000]，[σ6=1.000000]
4.2 位移响应计算
由结构动力学的知识有：
[hj（t）][+2ζjwjhj+wj2hj（t）=Fj?mj?]
一般载荷下用杜哈曼积分可算出[hj（t）]：
[hj（t）][=1mj?wj0tFj?e-wjζj（t-τ）sinwj（t-τ）dτ]
再利用[y（x，t）=j=1∝hj（t）yj（x）]，可以求出最后的位移响应[yj（x）]（代表各阶振型函数）。由于有风载荷激励和吊笼运行载荷激励两部分，所以作用点处的动力位移由这两部分叠加。
4.3 理论振型图
由前面得到的振型函数：
[∴][yi（x）=C（chkix-coskix）-σ1（shkix-sinkix）]
令每一阶振型函数为0，即可算出曲线与轴的焦点，便可绘制出振型图，其它振型图也由此方法得到。由不加附着理论计算振型图可知：自由端处的振动位移较大，并且需要在振型云图中振动位移较大的地方增加附着，在实际应用中，由于外加激振力的作用，该处动力位移比较大的地方应增加附着装置的刚度，以此提高结构系统的稳定性。由此振动型图知道导轨架的振动情况，选择增加附着装置来限制其导轨架的振动位移。例如一个吊笼满载停在最低点，另一个吊笼运行时，当监测到吊笼位置出现较大的位移，可知是吊笼本身运行或制动时所产生的激振力对导轨架的作用，当监测到导轨架自由端出现较大的位移，可知是风载荷所产生的激振力对导轨架的作用，由此可以增加该处的附着装置，保证导轨架的稳定。
5 结论
通过运用模态分析方法，理论求解出升降机导轨架的基本振型图，得到外加激振力作用下系统的位移情况和吊笼运行时最大位移发生处，通过附着装置加强此处的刚度，有效避免因共振而造成结构系统的破坏。由振型位移云图可知，顶部自由端受外部激励影响较大，而吊笼运行接近自由端时固有频率加大，振动剧烈，因此在实际施工中应加强与顶部自由端相连接的附着装置的刚度，提高结构系统的稳定性。通过运用此方法增加附着装置的刚度降低了危险点及危险截面的位移，消除了不安全隐患，增加了施工升降机实际应用的安全性能。.
作者简介
黄宇，本科，工程师，现于沈阳特种设备检测研究院从事特种设备检验工作。
（责任编辑：张晓明）