论文部分内容阅读
中图分类号：O29文献标识码：A文章编号：1671－7597（2009）0120167－01
以下面两个题目为例：
1．设集合，问从集合A到集合B的不同映射的个数有多少个？
2．用五种不同的颜色给图中的4个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种不同的涂色方法？
解：（1）首先要弄清映射的意义：A中的任一元素，B中有唯一一个元素与之对应。
含义有三层：①A中每个元素都“射出”；
②B中的元素可以被“射到”，可以不被“射到”；
③可以是“1对1”，可以是“多对一”。
其次是完成一件事的含义：A中的每一个元素全“射出”，可以分三个步骤（因为有三个元素，一个一个“射出”）第一步：射出x，有四个目标，所以有四个方法。第二步射出y，第三步射出z。所以共有43（种）。
（2）完成一件事情可分两类：第一类用三种颜色来完成涂色；第二类用四种颜色来完成涂色。
第一类：因为1区域与3区域不相邻可以用同种颜色的。即从五种颜色中取3种涂在1、2、4。所以有（种）。
第二类（用四种）4个区域全不同颜色。所以有 （种）。
所以共有60+120=180（种）。
另解完成一件事分四个步骤：
第一步涂2区域：5种；第二步涂1区域：4种；第三步涂4区域：3种；第四步涂3区域：3种。因为五种颜色已用过三种，但涂1区域的颜色还能用，所以共有5×4×3×3=180(种)。
我发现解决问题的方法在我所讲的16种题型中没有涉及，这两个题目涉及到解决排列组合问题基本方法：分步计数原理和分类计数原理。
常见到一些同学不注意寻求合理的设计，而是死记（形式上模仿）什么“直排法”，“捆绑法”，“插空法”，…把方法绝对化了,把方法当成了标签，于是，当遇到稍复杂一些或者遇到自己不熟悉的题型时，往往手足无措。
其实，每一个具体的有关排列、组合问题，都有明确的“事”。其实完成一件事，总有多少种不同的方法。如何做完这件事，首要的任务就是进行合理的设计或构思，分析是要分类还是分步完成？还是要分阶段逐步完成呢？还是把分类和分步结合起来呢？这个问题解决好了，就容易形成正确的算式。
这里和大家一起分析一道较复杂的一点题目,以说明合理的设计思想在解题中的重要性。
题目：a,b,c,d，e，f六人排一列纵队，a不能在前两个位置，b不能在第三个位置，求排法总数。
分析1：前三个位置有特殊限定条件，可以按a、b的合理安排方式把完成这件“站队任务”的方法分成如下三类：
①a、b在第4、5、6三个位置中的两个；
②a在第4、5、6位，b在第1、2位；
③a在第3位。
分析2：把上面的分类方式简化一点，改为按b 的安排方式分类，就是如下两类：
①把b安排在第1或第2位（当然a只能安排在第3、4、5、6位之一）；
②把b安排在第4、5、6位之一（当然a只能安排在第3、4、5、6位中除去b占据的位置之外的一个位置）。
分析3：与分析2类似，按a的合理安排方式分类，则有如下两类：
①a在第3位（当然b与其余4人已经无限定条件了）；
②a在第4、5、6位之一（这时，b有4个供选位置）。
总排法数又是
分析4：先安排a、b，再安排c,d,e,f。这是两个阶段，两个阶段各自实现本阶段任务的方法数之积就是所求的总方法数．安排a,b的方法数可这样考虑：
不考虑b，则a可以在第3、4、5、6位中选一个。不考虑a,b可以在第1、2、4、5、6位中选一个。但是a、b不能同在一个位置，所以有3种不允许的安排方式(a、b同在第3位，a、b同在第4位，a、b同在第5位），应当把它们去掉。因此，总的排队方法数是
通过对该题目的4种不同解法的比较，我们看到：分类计数原理和分步计数原理应该是排列组合这一章的精华所在，而且，若掌握的好，这对学生的分类讨论的数学思想方法的帮助也非常大。
每次遇到题目后，应当首先考虑的是：什么是完成一件事，然后再考虑是用分类还是分步，不同的设计或构思将导致不同的解法，经过精心的设计或构思才能产生正确的算式。
中学老师在教学过程中经常对教学内容进行整理分类，解题技巧的培训，也非常到位，这对学生对知识的掌握的确帮助非常大，但绝不能忽视基本数学思想的培养，若干年以后，如果不从事数学研究,学生会忘记所学的绝大部分中学知识点、公式、解题技巧，但是学生在中学时代培养出的解决问题的习惯，才是学生终身受益的东西。合理的设计思想是正确解题的关键。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
以下面两个题目为例：
1．设集合，问从集合A到集合B的不同映射的个数有多少个？
2．用五种不同的颜色给图中的4个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种不同的涂色方法？
解：（1）首先要弄清映射的意义：A中的任一元素，B中有唯一一个元素与之对应。
含义有三层：①A中每个元素都“射出”；
②B中的元素可以被“射到”，可以不被“射到”；
③可以是“1对1”，可以是“多对一”。
其次是完成一件事的含义：A中的每一个元素全“射出”，可以分三个步骤（因为有三个元素，一个一个“射出”）第一步：射出x，有四个目标，所以有四个方法。第二步射出y，第三步射出z。所以共有43（种）。
（2）完成一件事情可分两类：第一类用三种颜色来完成涂色；第二类用四种颜色来完成涂色。
第一类：因为1区域与3区域不相邻可以用同种颜色的。即从五种颜色中取3种涂在1、2、4。所以有（种）。
第二类（用四种）4个区域全不同颜色。所以有 （种）。
所以共有60+120=180（种）。
另解完成一件事分四个步骤：
第一步涂2区域：5种；第二步涂1区域：4种；第三步涂4区域：3种；第四步涂3区域：3种。因为五种颜色已用过三种，但涂1区域的颜色还能用，所以共有5×4×3×3=180(种)。
我发现解决问题的方法在我所讲的16种题型中没有涉及，这两个题目涉及到解决排列组合问题基本方法：分步计数原理和分类计数原理。
常见到一些同学不注意寻求合理的设计，而是死记（形式上模仿）什么“直排法”，“捆绑法”，“插空法”，…把方法绝对化了,把方法当成了标签，于是，当遇到稍复杂一些或者遇到自己不熟悉的题型时，往往手足无措。
其实，每一个具体的有关排列、组合问题，都有明确的“事”。其实完成一件事，总有多少种不同的方法。如何做完这件事，首要的任务就是进行合理的设计或构思，分析是要分类还是分步完成？还是要分阶段逐步完成呢？还是把分类和分步结合起来呢？这个问题解决好了，就容易形成正确的算式。
这里和大家一起分析一道较复杂的一点题目,以说明合理的设计思想在解题中的重要性。
题目：a,b,c,d，e，f六人排一列纵队，a不能在前两个位置，b不能在第三个位置，求排法总数。
分析1：前三个位置有特殊限定条件，可以按a、b的合理安排方式把完成这件“站队任务”的方法分成如下三类：
①a、b在第4、5、6三个位置中的两个；
②a在第4、5、6位，b在第1、2位；
③a在第3位。
分析2：把上面的分类方式简化一点，改为按b 的安排方式分类，就是如下两类：
①把b安排在第1或第2位（当然a只能安排在第3、4、5、6位之一）；
②把b安排在第4、5、6位之一（当然a只能安排在第3、4、5、6位中除去b占据的位置之外的一个位置）。
分析3：与分析2类似，按a的合理安排方式分类，则有如下两类：
①a在第3位（当然b与其余4人已经无限定条件了）；
②a在第4、5、6位之一（这时，b有4个供选位置）。
总排法数又是
分析4：先安排a、b，再安排c,d,e,f。这是两个阶段，两个阶段各自实现本阶段任务的方法数之积就是所求的总方法数．安排a,b的方法数可这样考虑：
不考虑b，则a可以在第3、4、5、6位中选一个。不考虑a,b可以在第1、2、4、5、6位中选一个。但是a、b不能同在一个位置，所以有3种不允许的安排方式(a、b同在第3位，a、b同在第4位，a、b同在第5位），应当把它们去掉。因此，总的排队方法数是
通过对该题目的4种不同解法的比较，我们看到：分类计数原理和分步计数原理应该是排列组合这一章的精华所在，而且，若掌握的好，这对学生的分类讨论的数学思想方法的帮助也非常大。
每次遇到题目后，应当首先考虑的是：什么是完成一件事，然后再考虑是用分类还是分步，不同的设计或构思将导致不同的解法，经过精心的设计或构思才能产生正确的算式。
中学老师在教学过程中经常对教学内容进行整理分类，解题技巧的培训，也非常到位，这对学生对知识的掌握的确帮助非常大，但绝不能忽视基本数学思想的培养，若干年以后，如果不从事数学研究,学生会忘记所学的绝大部分中学知识点、公式、解题技巧，但是学生在中学时代培养出的解决问题的习惯，才是学生终身受益的东西。合理的设计思想是正确解题的关键。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”