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【摘 要】学生要学会联想，学会善于发现各种问题之间的联系，善于揭示问题之间联系的规律，让思维插上“联想”的翅膀，从而提高解决数学问题的能力。
【关键词】联想 方法
数学解题与联想是分不开的。在数学解题中， 学生们应该通过各种大胆的联想，如在形式、结构、方法、特征等上，寻求解题的适当途径、方法，探索新的结论，促使思维向多层次、多方位发散，从而使自己分析问题、解决问题的能力不断提高。
一、形式上的联想
例１．已知ｎｂ１＋（ｎ－１）ｂ２＋…＋２ｂｎ－１＋ｂｎ＝（）ｎ－１＋（）ｎ－２＋…＋＋１（ｎ∈Ｎ＊）求数列｛ｂｎ｝的通项公式。
联想：我们对于“已知Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ求数列｛ａｎ｝的通项公式”这一类型的问题非常熟悉，即ａｎ＝Ｓ１，ｎ；Ｓｎ－Ｓｎ，ｎ≥２；。题中等式左边的形式与它非常相象，联想上述的方法，就能顺利求解出问题结果。
解：由ｎｂ１＋（ｎ－１）ｂ２＋…＋２ｂｎ－１＋ｂｎ＝（）ｎ－１＋（）ｎ－２＋…＋＋１，得（ｎ－１）ｂ１＋（ｎ－２）ｂ２＋…＋２ｂｎ－２＋ｂｎ＝（）ｎ－２＋（）ｎ－３＋…＋＋１．
两式相减，得ｂ１＋ｂ２＋…ｂｎ＝（）ｎ－１＝Ｓｎ∴当ｎ＝１时，ｂ１＝Ｓ１＝１当ｎ≥２时，ｂｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝－（）ｎ－２即ｂｎ＝１，ｎ＝１；－（）ｎ－２，ｎ≥２．
二、结构上的联想
例２．若ｆ（ｘ＋ｍ）＝对于正常数ｍ和任意实数ｘ都成立，证明ｆ（ｘ）是周期函数。
联想：例２等式的结构与ｔａｎ（ｘ＋）＝相似，而ｙ＝ｔａｎｘ的最小正周期Ｔ＝π。因此，我们大胆猜测ｆ（ｘ）的周期是３ｍ，然后加以严格证明。
证：∵ｆ（ｘ＋ｍ）＝， ∴ｆ（ｘ＋２ｍ）＝ｆ［（ｘ＋ｍ）＋Ｍ］＝＝－∴ｆ（ｘ＋３ｍ）＝ｆ［（ｘ＋２ｍ）＋Ｍ］＝＝ｆ（ｘ）＝－
所以ｆ（ｘ）是周期为３ｍ的周期函数。
三、方法上的联想
例３．若将ｙ＝ｓｉｎｘ图象上的每一点沿向量的方向移动＝（π；－２）个单位，则所得点的轨迹方程是。
联想：对于函数图象的平移问题，我们熟悉的是函数图象的左右平移和上下平移，方法为“左加右减，上加下减”。对于函数图象沿向量的平移的问题，大家相对比较陌生。那能否将两者统一起来呢？我们知道向量＝（ｘ，ｙ）可分解成两个向量１＝（ｘ，０），１＝（０，ｙ）因此，沿向量＝（ｘ，ｙ）就可以分解成两步“先左右，后上下”。这样，两类问题就可以采用同一种方法了。
解：因为函数图象ｙ＝ｓｉｎｘ的每一点沿向量＝（π，－２）的方向移动个单位，所以只需将函数图象ｙ＝ｓｉｎｘ的每一点先向右平移个单位，然后向下平移１个单位即可。因此，所得的轨迹方程为：ｙ＝ｓｉｎ（ｘ－）－１＝－ｃｏｓｘ－１．
四、特征上的联想
例４．若对平面上的点（ｘ，ｙ）作变换ｘ＇＝ｘｙ＇＝ｙ可将圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２变为椭圆Ｅ：ｘ＇２＋４ｙ＇２＝ｒ２。设圆Ｃ的两条互相垂直的直径ＡＢ和ＣＤ，且ＡＢ的斜率为ｋ（ｋ＞０）。则在上述变换下，ＡＢ、ＣＤ分别换成为椭圆过中心的弦Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇．
（１）求Ａ＇Ｂ＇、Ｃ＇Ｄ＇所在的直线方程；（２）Ｋ取何值时，Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇的夹角?兹最小？并求此最小值。
联想：由于椭圆上的动点（ｘ＇，ｙ＇）是由圆上对应的动点（ｘ，ｙ）经过变换得到的，换句话说，椭圆上的动点是随着圆上对应的动点（ｘ，ｙ）的运动而运动的。
解：（１）ＡＢ：ｙ＝ｋｘ，ＣＤ：ｙ＝－ｘ，将ｘ＝ｘ＇ｙ＝２ｙ＇代入，
得Ａ＇Ｂ＇：ｙ＇＝ｘ＇， Ｃ＇Ｄ＇：ｙ＇＝－ｘ＇．
（２）ｔａｎ?兹＝＝＋≥
∴ｋ＝１时，Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇的夹角?兹最小等于ａｒｃｔａｎ．
（河南巩义市第二高级中学；４５１２００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】联想 方法
数学解题与联想是分不开的。在数学解题中， 学生们应该通过各种大胆的联想，如在形式、结构、方法、特征等上，寻求解题的适当途径、方法，探索新的结论，促使思维向多层次、多方位发散，从而使自己分析问题、解决问题的能力不断提高。
一、形式上的联想
例１．已知ｎｂ１＋（ｎ－１）ｂ２＋…＋２ｂｎ－１＋ｂｎ＝（）ｎ－１＋（）ｎ－２＋…＋＋１（ｎ∈Ｎ＊）求数列｛ｂｎ｝的通项公式。
联想：我们对于“已知Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ求数列｛ａｎ｝的通项公式”这一类型的问题非常熟悉，即ａｎ＝Ｓ１，ｎ；Ｓｎ－Ｓｎ，ｎ≥２；。题中等式左边的形式与它非常相象，联想上述的方法，就能顺利求解出问题结果。
解：由ｎｂ１＋（ｎ－１）ｂ２＋…＋２ｂｎ－１＋ｂｎ＝（）ｎ－１＋（）ｎ－２＋…＋＋１，得（ｎ－１）ｂ１＋（ｎ－２）ｂ２＋…＋２ｂｎ－２＋ｂｎ＝（）ｎ－２＋（）ｎ－３＋…＋＋１．
两式相减，得ｂ１＋ｂ２＋…ｂｎ＝（）ｎ－１＝Ｓｎ∴当ｎ＝１时，ｂ１＝Ｓ１＝１当ｎ≥２时，ｂｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝－（）ｎ－２即ｂｎ＝１，ｎ＝１；－（）ｎ－２，ｎ≥２．
二、结构上的联想
例２．若ｆ（ｘ＋ｍ）＝对于正常数ｍ和任意实数ｘ都成立，证明ｆ（ｘ）是周期函数。
联想：例２等式的结构与ｔａｎ（ｘ＋）＝相似，而ｙ＝ｔａｎｘ的最小正周期Ｔ＝π。因此，我们大胆猜测ｆ（ｘ）的周期是３ｍ，然后加以严格证明。
证：∵ｆ（ｘ＋ｍ）＝， ∴ｆ（ｘ＋２ｍ）＝ｆ［（ｘ＋ｍ）＋Ｍ］＝＝－∴ｆ（ｘ＋３ｍ）＝ｆ［（ｘ＋２ｍ）＋Ｍ］＝＝ｆ（ｘ）＝－
所以ｆ（ｘ）是周期为３ｍ的周期函数。
三、方法上的联想
例３．若将ｙ＝ｓｉｎｘ图象上的每一点沿向量的方向移动＝（π；－２）个单位，则所得点的轨迹方程是。
联想：对于函数图象的平移问题，我们熟悉的是函数图象的左右平移和上下平移，方法为“左加右减，上加下减”。对于函数图象沿向量的平移的问题，大家相对比较陌生。那能否将两者统一起来呢？我们知道向量＝（ｘ，ｙ）可分解成两个向量１＝（ｘ，０），１＝（０，ｙ）因此，沿向量＝（ｘ，ｙ）就可以分解成两步“先左右，后上下”。这样，两类问题就可以采用同一种方法了。
解：因为函数图象ｙ＝ｓｉｎｘ的每一点沿向量＝（π，－２）的方向移动个单位，所以只需将函数图象ｙ＝ｓｉｎｘ的每一点先向右平移个单位，然后向下平移１个单位即可。因此，所得的轨迹方程为：ｙ＝ｓｉｎ（ｘ－）－１＝－ｃｏｓｘ－１．
四、特征上的联想
例４．若对平面上的点（ｘ，ｙ）作变换ｘ＇＝ｘｙ＇＝ｙ可将圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝ｒ２变为椭圆Ｅ：ｘ＇２＋４ｙ＇２＝ｒ２。设圆Ｃ的两条互相垂直的直径ＡＢ和ＣＤ，且ＡＢ的斜率为ｋ（ｋ＞０）。则在上述变换下，ＡＢ、ＣＤ分别换成为椭圆过中心的弦Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇．
（１）求Ａ＇Ｂ＇、Ｃ＇Ｄ＇所在的直线方程；（２）Ｋ取何值时，Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇的夹角?兹最小？并求此最小值。
联想：由于椭圆上的动点（ｘ＇，ｙ＇）是由圆上对应的动点（ｘ，ｙ）经过变换得到的，换句话说，椭圆上的动点是随着圆上对应的动点（ｘ，ｙ）的运动而运动的。
解：（１）ＡＢ：ｙ＝ｋｘ，ＣＤ：ｙ＝－ｘ，将ｘ＝ｘ＇ｙ＝２ｙ＇代入，
得Ａ＇Ｂ＇：ｙ＇＝ｘ＇， Ｃ＇Ｄ＇：ｙ＇＝－ｘ＇．
（２）ｔａｎ?兹＝＝＋≥
∴ｋ＝１时，Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇Ｄ＇的夹角?兹最小等于ａｒｃｔａｎ．
（河南巩义市第二高级中学；４５１２００）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文