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【摘要】GPS高程为椭球高，非我们所需的正常高（水准高程）。针对公路的带状特点，提出了通过三次样条曲线和多项式曲线拟合将GPS高程转化为正常高的原理和计算方法，为公路测量提供了一套实用和高效的新途径。
【关键词】大地高程；正常高；高程异常值；似大地水准面；控制点；拟合方法；三次样条曲线；公路测量；多项式曲线拟合；水准高程
地形测图是为城市、矿区以及为各种工程提供不同比例尺的地形图，以满足城镇规划和各种经济建设的需要。GPS（全球卫星定位系统）自八十年代中叶投入民用后，已广泛地在导航、定位等各领域应用，尤其在测量界的控制测量中起了划时代的作用。随着科学技术突飞猛进的发展，全球定位系统（GPS）在国民经济建设中， 尤其在测量界所起的作用越来越大。 通过对GPS的广泛应用，人们也从早期的对其精度的怀疑，逐步过渡到对它的认可。 目前， GPS的定位技术以其经济 、高效、高精度、易掌握、全天候、不需通视、好操作的特点在测量界得以迅速推广。使人们普遍采用其来代替（逐渐地）常规的三角、三边、边角等方法，并在理论、实践中取得了可喜的成果。但是， 其高程问题一直是一个困扰人们的主要课题， 如何采用某种数学模型来解决各种情况下的GPS高程转换问题， 是业内人士最为关心的问题， 该问题一旦解决，那么GPS技术将有 可能代替水准测量，成为测量界的全能型控制测量仪器。但是截止目前为止， 人们推出各种利用GPS大地高拟合正常高程的数学模型，但仅局限于某一局部区域内的高程拟合， 对于范围较大的区域，单一的模型仍难以满足高程拟合精度的需要， 需人为的将其分为几个稍小的区域， 并选取必要的重合点 进行分区拟合。 近些年来，国土部门、 交通部门、水利部门在诸如高速公路以及河流河道的测量重要越来越多地采用了GPS定位技术， 如何解决GPS在带状区域内的正高转换问题显得越来越突出。笔者根据多年的实际经验总结出了几种情况下的解决办法和大家一起进行探讨。
1. GPS的高程拟合原理
GPS测量时，可获得较高的平面精度，但由于GPS技术采用的是WGS-84地心坐标系统， 得出的高程是大地高程， 为了使其高程在生产过程中能够得到充分利用， 就必须将其转化为实用的海拔高程，要做到这一点的前提是已知各GPS设站点的大地水准面差距，即各点的高程异常， 这样通过式（1）
h=H-N （1）
式中h为正常高，H为大地高，N为高程异常值
就可准确得到各点的正常高程。但实际上各点的高程异常值不可能是已知的，通常将GPS大地高转换为正常高的方法是采用GPS的大地高和水准高的多项式曲面拟合来求解地区的高程异常值，然后得出各GPS点的海拔高程，通常采用的模型为
N=b1+b2*db+b3*d1+b4*d1*db+b5*db2+b6*d12+b7*dh+Ttc （2）
1.1一个或两个水准点
此时不能利用式（2）的多项式模型确定正常高，仅采用平移的方法确定每个点的正常高，这种方法仅适用于小区域范围的平坦地区，无精度评定，无地形改正。只是简单的利用已知点的大地高和正常高得到该地区的高程异常值N=H-h，然后得出每个点的正常高h=H-N。
1.2三个已知水准点。此时仅可利用一阶三项式模型，即高程异常N=b1+b2*db+b3*d1来确定高程异常，有地形改正，但无法利用已知水准点作为检验点，不能反映其精度情况。
1.3三个以上已知水准点。此时可根据已知水准点的多少，根据计算精度情况，按式（2）选用3～7个参数模型。模型确立后，可利用GPS水准点的高程来对比拟合高程以进行外部检验，检验点的个数要求在确保模型计算精度的大前提下选用，即保证计算模型参数GPS水准点较为均匀地分布于测区周边和中部，根据所有检验点的模型误差计算出外附和精度。
2. 带状地形测量中水准点的情况
在诸如公路测量以及河流河道测量中，一般是沿公路设计中线或河堤附近首先布设四等和五秒平面控制，这些控制点分布较为密集，并且最低按四等水准精度要求施测直接水准，然后利用这些点布设图根点或像控点，这种情况下若采用水准仪或激光仪等常规仪器来测定高程，由于起算点相对较为密集，则显得较容易用，若GPS技术来进行测量，就涉及到一个高程转换的问题。
3. 几种高程转换的分析
在带状地形测量中，若想利用GPS技术进行正高转换，首先必须分析测区范围内的大地水准面差距等值线图，根据式（2）可以看出，理想的情况是， 测量线路严格沿经线或纬线方向，此时db或d1必有一项为零，可按式（2）进行拟合，拟合结果为一条二次曲线，这种情况为理想情况，一般在测量中是不可能遇到的。
一般情况是测量线路与大地水准面差距等值线斜交且有弯曲，如图1，这种情况利用式（2）进行高程拟合是很难达到精度要求的，利用放大的图形图2可以看出，此时影响大地高差和大地高差不符的主要因数是经度的变化，而纬度的变化对它影响很小，此时如果用式（2）进行高程拟合，会将纬度变化因素加进去，产生一个错误的模型，并且待定高程点离测量线路越远，其误差越大，使图1中P点的高程精度难以得到保证。
3.1方法一。在待定高程点附近选取两个高程起算点， 如图1中P1、P2可选1、2号点为起算点，利用测得GPS大地高差直接作为水准高差， 推求某个待定点高程，当两个高程的较差小于某一限差时，将其高程取中数作为最终高程使用。此种方法的优点是简单、易用，但使用时有一定的局限性，如图1中的1、20点为已知高程点，而其它点均为待定高程点的情况，此时推算出的高程精度就难以保证。
03.2方法二。此种方法可祢补方法一的不足，如图1所示，假设1、20点为已知高程，而其他各点均为待定高程点，从图中可以看出，影响大地高差和正常高差不符的主要原因在于经度的变化，而纬度的变化对它的影响很小，可以忽略不计。这样1号点和20号点之间有两组高差存在，即大地高差H和水准高差h，其不符值为△H=h-H，此时可将图1所示图形认为是一条附和水准路线，其闭合差即为△H， 需将△H改正至路线的每一测段中。 同时1号点至20号点有一经差△L存在，这样就可以计算出单位经差变化对大地高差和水准高差不符值的影响△Ｈ＇＝△Ｈ／△Ｌ，其含义是经度每跨＂Ｘ＂秒，大地高差改为水准高差的改正数为△Ｈ＇，这样将各待定点相对１号点的大地高差加上相应的改正数△Ｈ＇得到各点相对于１号点的水准高差，之后利用１号点的高程推算出各待定点高程。这种方法的优点是使用时的局限性较小，但计算相对繁琐、复杂，实际操作时必须认真检查。下面以我们单位在长泰县某一区域的测量研究结果中取一带状区域为例进行一下比较。该区域总长约为40ＫＭ，基本为东西走向，与大地水准面差距等值线基本正交，符合图１所示情况，下面选取一段长２５ＫＭ进行分析。
已知各点大地坐标和各点水准高程，我们利用各点的大地坐标，采用方法二求出各点高程和水准高程进行比较。
起始点的大地高差为：
H=1.799-（-0.178）=1.977m
起始点的水准高差为：
h=7.684-4.984=2.700m
H=h-H=2.700-1.977=0.723
L=L164-L123=117°52'30＂-117°35'27＂=1023＂
经度每跨１＂大地高差改为水准高差的改正数为
△Ｈ＇＝723mm/1023＂=0.706744868
详细计算情况见下表1：
表1中△Ｌ项为各点相对与起点123的经差，△h＇项为各点相对于123号点的大地高差改为水准高差的改正数，H项为各点的大地高程，△h项为各点相对于123号点改正后的高差，h＇项为利用各点的大地高计算出的正常高程，ｈ为各点的水准高程，△项为两个高程之差。
表1中所列12个点均为四等GPS点， 分为六对，每两对GPS点中间加密一级导线，共计五条导线，每条5公里，10个点。
从表1中可以看出，推算高程与已知高程相差最大63毫米，可以满足工程初步设计阶段的小比例尺地形图高程精度的要求。同时还可以发现，每对GPS点之间的推算高差与已知高差较为吻合，如果将推算路线缩短至5公里左右，利用两对四等GPS点的水准高程来推算中间的一级导线点、图根点或像控点高程，待定高程点的高程相对于高程起算点的高程中误差可以满足在3～5厘米的范围内。
【关键词】大地高程；正常高；高程异常值；似大地水准面；控制点；拟合方法；三次样条曲线；公路测量；多项式曲线拟合；水准高程
地形测图是为城市、矿区以及为各种工程提供不同比例尺的地形图，以满足城镇规划和各种经济建设的需要。GPS（全球卫星定位系统）自八十年代中叶投入民用后，已广泛地在导航、定位等各领域应用，尤其在测量界的控制测量中起了划时代的作用。随着科学技术突飞猛进的发展，全球定位系统（GPS）在国民经济建设中， 尤其在测量界所起的作用越来越大。 通过对GPS的广泛应用，人们也从早期的对其精度的怀疑，逐步过渡到对它的认可。 目前， GPS的定位技术以其经济 、高效、高精度、易掌握、全天候、不需通视、好操作的特点在测量界得以迅速推广。使人们普遍采用其来代替（逐渐地）常规的三角、三边、边角等方法，并在理论、实践中取得了可喜的成果。但是， 其高程问题一直是一个困扰人们的主要课题， 如何采用某种数学模型来解决各种情况下的GPS高程转换问题， 是业内人士最为关心的问题， 该问题一旦解决，那么GPS技术将有 可能代替水准测量，成为测量界的全能型控制测量仪器。但是截止目前为止， 人们推出各种利用GPS大地高拟合正常高程的数学模型，但仅局限于某一局部区域内的高程拟合， 对于范围较大的区域，单一的模型仍难以满足高程拟合精度的需要， 需人为的将其分为几个稍小的区域， 并选取必要的重合点 进行分区拟合。 近些年来，国土部门、 交通部门、水利部门在诸如高速公路以及河流河道的测量重要越来越多地采用了GPS定位技术， 如何解决GPS在带状区域内的正高转换问题显得越来越突出。笔者根据多年的实际经验总结出了几种情况下的解决办法和大家一起进行探讨。
1. GPS的高程拟合原理
GPS测量时，可获得较高的平面精度，但由于GPS技术采用的是WGS-84地心坐标系统， 得出的高程是大地高程， 为了使其高程在生产过程中能够得到充分利用， 就必须将其转化为实用的海拔高程，要做到这一点的前提是已知各GPS设站点的大地水准面差距，即各点的高程异常， 这样通过式（1）
h=H-N （1）
式中h为正常高，H为大地高，N为高程异常值
就可准确得到各点的正常高程。但实际上各点的高程异常值不可能是已知的，通常将GPS大地高转换为正常高的方法是采用GPS的大地高和水准高的多项式曲面拟合来求解地区的高程异常值，然后得出各GPS点的海拔高程，通常采用的模型为
N=b1+b2*db+b3*d1+b4*d1*db+b5*db2+b6*d12+b7*dh+Ttc （2）
1.1一个或两个水准点
此时不能利用式（2）的多项式模型确定正常高，仅采用平移的方法确定每个点的正常高，这种方法仅适用于小区域范围的平坦地区，无精度评定，无地形改正。只是简单的利用已知点的大地高和正常高得到该地区的高程异常值N=H-h，然后得出每个点的正常高h=H-N。
1.2三个已知水准点。此时仅可利用一阶三项式模型，即高程异常N=b1+b2*db+b3*d1来确定高程异常，有地形改正，但无法利用已知水准点作为检验点，不能反映其精度情况。
1.3三个以上已知水准点。此时可根据已知水准点的多少，根据计算精度情况，按式（2）选用3～7个参数模型。模型确立后，可利用GPS水准点的高程来对比拟合高程以进行外部检验，检验点的个数要求在确保模型计算精度的大前提下选用，即保证计算模型参数GPS水准点较为均匀地分布于测区周边和中部，根据所有检验点的模型误差计算出外附和精度。
2. 带状地形测量中水准点的情况
在诸如公路测量以及河流河道测量中，一般是沿公路设计中线或河堤附近首先布设四等和五秒平面控制，这些控制点分布较为密集，并且最低按四等水准精度要求施测直接水准，然后利用这些点布设图根点或像控点，这种情况下若采用水准仪或激光仪等常规仪器来测定高程，由于起算点相对较为密集，则显得较容易用，若GPS技术来进行测量，就涉及到一个高程转换的问题。
3. 几种高程转换的分析
在带状地形测量中，若想利用GPS技术进行正高转换，首先必须分析测区范围内的大地水准面差距等值线图，根据式（2）可以看出，理想的情况是， 测量线路严格沿经线或纬线方向，此时db或d1必有一项为零，可按式（2）进行拟合，拟合结果为一条二次曲线，这种情况为理想情况，一般在测量中是不可能遇到的。
一般情况是测量线路与大地水准面差距等值线斜交且有弯曲，如图1，这种情况利用式（2）进行高程拟合是很难达到精度要求的，利用放大的图形图2可以看出，此时影响大地高差和大地高差不符的主要因数是经度的变化，而纬度的变化对它影响很小，此时如果用式（2）进行高程拟合，会将纬度变化因素加进去，产生一个错误的模型，并且待定高程点离测量线路越远，其误差越大，使图1中P点的高程精度难以得到保证。
3.1方法一。在待定高程点附近选取两个高程起算点， 如图1中P1、P2可选1、2号点为起算点，利用测得GPS大地高差直接作为水准高差， 推求某个待定点高程，当两个高程的较差小于某一限差时，将其高程取中数作为最终高程使用。此种方法的优点是简单、易用，但使用时有一定的局限性，如图1中的1、20点为已知高程点，而其它点均为待定高程点的情况，此时推算出的高程精度就难以保证。
03.2方法二。此种方法可祢补方法一的不足，如图1所示，假设1、20点为已知高程，而其他各点均为待定高程点，从图中可以看出，影响大地高差和正常高差不符的主要原因在于经度的变化，而纬度的变化对它的影响很小，可以忽略不计。这样1号点和20号点之间有两组高差存在，即大地高差H和水准高差h，其不符值为△H=h-H，此时可将图1所示图形认为是一条附和水准路线，其闭合差即为△H， 需将△H改正至路线的每一测段中。 同时1号点至20号点有一经差△L存在，这样就可以计算出单位经差变化对大地高差和水准高差不符值的影响△Ｈ＇＝△Ｈ／△Ｌ，其含义是经度每跨＂Ｘ＂秒，大地高差改为水准高差的改正数为△Ｈ＇，这样将各待定点相对１号点的大地高差加上相应的改正数△Ｈ＇得到各点相对于１号点的水准高差，之后利用１号点的高程推算出各待定点高程。这种方法的优点是使用时的局限性较小，但计算相对繁琐、复杂，实际操作时必须认真检查。下面以我们单位在长泰县某一区域的测量研究结果中取一带状区域为例进行一下比较。该区域总长约为40ＫＭ，基本为东西走向，与大地水准面差距等值线基本正交，符合图１所示情况，下面选取一段长２５ＫＭ进行分析。
已知各点大地坐标和各点水准高程，我们利用各点的大地坐标，采用方法二求出各点高程和水准高程进行比较。
起始点的大地高差为：
H=1.799-（-0.178）=1.977m
起始点的水准高差为：
h=7.684-4.984=2.700m
H=h-H=2.700-1.977=0.723
L=L164-L123=117°52'30＂-117°35'27＂=1023＂
经度每跨１＂大地高差改为水准高差的改正数为
△Ｈ＇＝723mm/1023＂=0.706744868
详细计算情况见下表1：
表1中△Ｌ项为各点相对与起点123的经差，△h＇项为各点相对于123号点的大地高差改为水准高差的改正数，H项为各点的大地高程，△h项为各点相对于123号点改正后的高差，h＇项为利用各点的大地高计算出的正常高程，ｈ为各点的水准高程，△项为两个高程之差。
表1中所列12个点均为四等GPS点， 分为六对，每两对GPS点中间加密一级导线，共计五条导线，每条5公里，10个点。
从表1中可以看出，推算高程与已知高程相差最大63毫米，可以满足工程初步设计阶段的小比例尺地形图高程精度的要求。同时还可以发现，每对GPS点之间的推算高差与已知高差较为吻合，如果将推算路线缩短至5公里左右，利用两对四等GPS点的水准高程来推算中间的一级导线点、图根点或像控点高程，待定高程点的高程相对于高程起算点的高程中误差可以满足在3～5厘米的范围内。