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摘 要：复合函数的概念，复合函数的定义域，复合函数的值域或最值，判断复合函数的单调性，求参数的取值范围（或值）。
关键词：复合函数；题型；解法
函数y=f（u），而u=g（x），且函数g（x）的值域包含在f（u）的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，我们称y为x的复合函数，记为y=f（g（x）），其中u称为中间变量。下面就复合函数中常见的四类题型的解法归纳如下：
【题型一】求复合函数的定义域
【例1】函数y=xln（1-x）的定义域为（ ）
A. （0，1）
B. [0，1）
C. （0，1]
D. [0，1]
【解析】要使函数有意义，则x≥01-x>0，解得0≤x<1。选B。
【评注】偶次根式和对数函数有意义的条件可得不等式组。
【变式1】已知函数f（g（x））的定义域→求函数f（φ（x））的定义域
已知函数f（2x）的定义域为[-1，1]，求f（log2x）的定义域。
【解析】∵-1≤x≤1∴12≤2x≤2即f（x）的定义域为[12，2]。
∵12≤log2x≤2，∴2≤x≤4。
故f（log2x）的定义域为[2），（4]。
【题型二】求复合函数的值域或最值
【例2】已知函数f（x）=（log4x-3）·log44x。
（Ⅰ）当x∈[14，16]时，求该函數的值域；
（Ⅱ）令g（x）=f（x） log4x2-2a·log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值。
【解析】（Ⅰ）f（x）=（log4x）2-2log4x-3，令t=log4x，则x∈[14，16]时，t∈[-1，2]，
此时有y=t2-2t-3，∴y∈[-4，0]。
（Ⅱ）g（x）=（log4x）2-2a·log4x-3，令t=log4x，则x∈[42，44]时，t∈[2，4]，
此时有y=t2-2a·t-3，
①当a≤2时，当t=2时，ymin=1-4a；当t=4时，ymax=13-8a。
②当2 ③当3 ④当a≥4时，当t=4时，ymin=13-8a；当t=2时ymax=1-4a。
【评注】本题用“换元法”求复合函数值域，注意换元后字母的取值范围。
【变式2】用“配方法”→求复合函数最值
已知2x≤256且log2x≥12，求函数f（x）=log2x2·log2x2的最大值和最小值。
【解析】由2x≤256得x≤8，log2x≤3，即12≤log2x≤3，
f（x）=（log2x-1）·（log2x-2）=（log2x-32）2-14。
当log2x=32，f（x）min=-14，
当log2x=3，f（x）max=2。
【变式3】用“单调性法”→求复合函数值域
求函数y=log0.5（-x2 2x 3）的值域。
【解析】由-x2 2x 3>0得-1 令u=-x2 2x 3=-（x-1）2 4则0 ∵y=log0.5u在（0，4]上单调递减，∴y≥-2。
故所求函数的值域为[-2， ∞）。
【题型三】判断复合函数的单调性
【例3】（2014年天津卷）函数f（x）=log12（x2-4）的单调递增区间为（ ）
A.（0， ∞）
B.（-∞，0）
C.（2， ∞）
D.（-∞，-2）
【解析】由x2-4>0得f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2， ∞）。
令u=x2-4，则u在（-∞，-2）上递减，在（2， ∞）上递增。
因为y=log12u在其定义域上递减，
所以f（x）单调递增区间为（-∞，-2）。故选D。
【评注】复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。但函数的单调区间必须是其定义域的子集。本题是由对数函数与二次函数复合而成的。
【变式4】函数f（x）=x2-4的单调递增区间为 。
【答案】[2， ∞）
【变式5】函数f（x）=2x2-4的单调递增区间为 。
【答案】[0， ∞）
题型四：求参数的取值范围（或值）
【例4】（2014·江西理3）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2-x（a∈R）。若f[g（1）]=1则a=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. -1
【解析】∵g（1）=a-1∴f[g（1）]=f（a-1）=5|a-1|=1∴|a-1|=0∴a=1。
【评注】本题是“由内到外”求复合函数值而得到a。
【变式6】已知复合函数的定义域→求参数的取值范围
函数f（x）=mx2 mx 1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.[0，4]
B.[0，4）
C.[4， ∞）
D.（0，4）
【解析】f（x）=mx2 mx 1的定义域为R ∴mx2 mx 1≥0在R上恒成立。
①当m=0时，1≥0恒成立。
②当m≠0时
m>0△=m2-4m≤0即0 由①②得m∈[0，4]。
【变式7】已知复合函数的值域→求参数的取值范围
已知函数f（x）=log2（x2-ax-a）值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A. （-4，0）
B. [-4，0]
C. （-∞，-4]∪[0， ∞）
D. （-∞，-4）∪（0， ∞）
【解析】∵函数f（x）=log2（x2-ax-a）值域为R
∴x2-ax-a可以取一切正实数。
∴△=（-a）2-4×（-a）≥0即a≈-4或a≥0。
【变式8】已知复合函数的单调性→求参数的取值范围
已知函数f（x）=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，求a的取值范围。
【解析】由复合函数同增异减的原则可知a>1，又因为函数的定义域为[0，1]，
所以a<2。即a∈（1，2）。
A级练习
1. （2014·江西理2）函数f（x）=ln（x2-x）的定义域为（ ）
A. （0，1]
B. [0，1]
C. （-∞，0）∪（1， ∞）
D. （-∞，0]∪[1， ∞）
【解析】由x2-x>0，得x<0或x>1。应选C。
2. 设函数f（x）=2ex-1，x<2log3（x2-1），x≥2，则f（f（2））的值为 。
2. 【解析】f（f（2））=f（log33）=f（1）=2。
B级练习
3. 函数f（x）=log2（x2-5x 6）的单调递减区间为 。
3. 【答案】（-∞，2）。【解析】由x2-5x 6>0得x<2或x>3。
令u=x2-5x 6=（x-52）2-14，则u在（-∞，2）递减，在（3， ∞）递增。
因为y=log2u在其定义域单调递增，所以f（x）的单调递减区间为（-∞，2）。
4. 已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2-x）在[3，4]上是增函数，则a的取值范围 。
【答案】（1， ∞）。【解析】当a>1时，要使y=ax2-x在[3，4]上单调递增，且y=ax2-x>0
恒成立，则a>1，12a≤3，9a-3>0，解得a>1。
當00恒成立，
则00，解得a∈φ。
综上可知，a的取值范围是（1， ∞）。
5. 设函数f（x）=log3（9x）·log3（3x），且19≤x≤9。
（Ⅰ）求f（3）的值；
（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值。
5. 【解析】（Ⅰ）f（3）=log327·log39=3×2=6
（Ⅱ）由t=log3x，又∵19≤x≤9，∴-2≤log3x≤2，即-2≤t≤2
由f（x）=（log3x 2）·（log3x 1）=（log3x）2 3log3x 2=t2 3t 2
令g（t）=t2 3t 2=（t 32）2-14，t∈[-2，2]。
当t=-32时，g（t）min=-14，即log3x=-32，则x=3-32=39，
∴f（x）min=-14，此时x=39；
当t=2时，g（t）max=g（2）=12，即log3x=2，x=9
∴f（x）max=12，此时x=9。
作者简介：
杨树才，云南省曲靖市，云南省曲靖市陆良县教育局教研室。
关键词：复合函数；题型；解法
函数y=f（u），而u=g（x），且函数g（x）的值域包含在f（u）的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，我们称y为x的复合函数，记为y=f（g（x）），其中u称为中间变量。下面就复合函数中常见的四类题型的解法归纳如下：
【题型一】求复合函数的定义域
【例1】函数y=xln（1-x）的定义域为（ ）
A. （0，1）
B. [0，1）
C. （0，1]
D. [0，1]
【解析】要使函数有意义，则x≥01-x>0，解得0≤x<1。选B。
【评注】偶次根式和对数函数有意义的条件可得不等式组。
【变式1】已知函数f（g（x））的定义域→求函数f（φ（x））的定义域
已知函数f（2x）的定义域为[-1，1]，求f（log2x）的定义域。
【解析】∵-1≤x≤1∴12≤2x≤2即f（x）的定义域为[12，2]。
∵12≤log2x≤2，∴2≤x≤4。
故f（log2x）的定义域为[2），（4]。
【题型二】求复合函数的值域或最值
【例2】已知函数f（x）=（log4x-3）·log44x。
（Ⅰ）当x∈[14，16]时，求该函數的值域；
（Ⅱ）令g（x）=f（x） log4x2-2a·log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值。
【解析】（Ⅰ）f（x）=（log4x）2-2log4x-3，令t=log4x，则x∈[14，16]时，t∈[-1，2]，
此时有y=t2-2t-3，∴y∈[-4，0]。
（Ⅱ）g（x）=（log4x）2-2a·log4x-3，令t=log4x，则x∈[42，44]时，t∈[2，4]，
此时有y=t2-2a·t-3，
①当a≤2时，当t=2时，ymin=1-4a；当t=4时，ymax=13-8a。
②当2
【评注】本题用“换元法”求复合函数值域，注意换元后字母的取值范围。
【变式2】用“配方法”→求复合函数最值
已知2x≤256且log2x≥12，求函数f（x）=log2x2·log2x2的最大值和最小值。
【解析】由2x≤256得x≤8，log2x≤3，即12≤log2x≤3，
f（x）=（log2x-1）·（log2x-2）=（log2x-32）2-14。
当log2x=32，f（x）min=-14，
当log2x=3，f（x）max=2。
【变式3】用“单调性法”→求复合函数值域
求函数y=log0.5（-x2 2x 3）的值域。
【解析】由-x2 2x 3>0得-1
故所求函数的值域为[-2， ∞）。
【题型三】判断复合函数的单调性
【例3】（2014年天津卷）函数f（x）=log12（x2-4）的单调递增区间为（ ）
A.（0， ∞）
B.（-∞，0）
C.（2， ∞）
D.（-∞，-2）
【解析】由x2-4>0得f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2， ∞）。
令u=x2-4，则u在（-∞，-2）上递减，在（2， ∞）上递增。
因为y=log12u在其定义域上递减，
所以f（x）单调递增区间为（-∞，-2）。故选D。
【评注】复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。但函数的单调区间必须是其定义域的子集。本题是由对数函数与二次函数复合而成的。
【变式4】函数f（x）=x2-4的单调递增区间为 。
【答案】[2， ∞）
【变式5】函数f（x）=2x2-4的单调递增区间为 。
【答案】[0， ∞）
题型四：求参数的取值范围（或值）
【例4】（2014·江西理3）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2-x（a∈R）。若f[g（1）]=1则a=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. -1
【解析】∵g（1）=a-1∴f[g（1）]=f（a-1）=5|a-1|=1∴|a-1|=0∴a=1。
【评注】本题是“由内到外”求复合函数值而得到a。
【变式6】已知复合函数的定义域→求参数的取值范围
函数f（x）=mx2 mx 1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.[0，4]
B.[0，4）
C.[4， ∞）
D.（0，4）
【解析】f（x）=mx2 mx 1的定义域为R ∴mx2 mx 1≥0在R上恒成立。
①当m=0时，1≥0恒成立。
②当m≠0时
m>0△=m2-4m≤0即0
【变式7】已知复合函数的值域→求参数的取值范围
已知函数f（x）=log2（x2-ax-a）值域为R，那么a的取值范围是（ ）
A. （-4，0）
B. [-4，0]
C. （-∞，-4]∪[0， ∞）
D. （-∞，-4）∪（0， ∞）
【解析】∵函数f（x）=log2（x2-ax-a）值域为R
∴x2-ax-a可以取一切正实数。
∴△=（-a）2-4×（-a）≥0即a≈-4或a≥0。
【变式8】已知复合函数的单调性→求参数的取值范围
已知函数f（x）=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，求a的取值范围。
【解析】由复合函数同增异减的原则可知a>1，又因为函数的定义域为[0，1]，
所以a<2。即a∈（1，2）。
A级练习
1. （2014·江西理2）函数f（x）=ln（x2-x）的定义域为（ ）
A. （0，1]
B. [0，1]
C. （-∞，0）∪（1， ∞）
D. （-∞，0]∪[1， ∞）
【解析】由x2-x>0，得x<0或x>1。应选C。
2. 设函数f（x）=2ex-1，x<2log3（x2-1），x≥2，则f（f（2））的值为 。
2. 【解析】f（f（2））=f（log33）=f（1）=2。
B级练习
3. 函数f（x）=log2（x2-5x 6）的单调递减区间为 。
3. 【答案】（-∞，2）。【解析】由x2-5x 6>0得x<2或x>3。
令u=x2-5x 6=（x-52）2-14，则u在（-∞，2）递减，在（3， ∞）递增。
因为y=log2u在其定义域单调递增，所以f（x）的单调递减区间为（-∞，2）。
4. 已知a>0且a≠1，若函数f（x）=loga（ax2-x）在[3，4]上是增函数，则a的取值范围 。
【答案】（1， ∞）。【解析】当a>1时，要使y=ax2-x在[3，4]上单调递增，且y=ax2-x>0
恒成立，则a>1，12a≤3，9a-3>0，解得a>1。
當0
则0
综上可知，a的取值范围是（1， ∞）。
5. 设函数f（x）=log3（9x）·log3（3x），且19≤x≤9。
（Ⅰ）求f（3）的值；
（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值。
5. 【解析】（Ⅰ）f（3）=log327·log39=3×2=6
（Ⅱ）由t=log3x，又∵19≤x≤9，∴-2≤log3x≤2，即-2≤t≤2
由f（x）=（log3x 2）·（log3x 1）=（log3x）2 3log3x 2=t2 3t 2
令g（t）=t2 3t 2=（t 32）2-14，t∈[-2，2]。
当t=-32时，g（t）min=-14，即log3x=-32，则x=3-32=39，
∴f（x）min=-14，此时x=39；
当t=2时，g（t）max=g（2）=12，即log3x=2，x=9
∴f（x）max=12，此时x=9。
作者简介：
杨树才，云南省曲靖市，云南省曲靖市陆良县教育局教研室。