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很多同学们在刚刚学习概率统计时，由于对有些概念理解不清，有关思想方法灵活运用不够或与其它知识联系不到位，解题时常出现错误．现分析几种常见错误供大家参考．
一、基本概念理解不深刻导致概念性错误
概率与统计试题主要考查基本概念和基本公式，如等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件的概率；事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率及离散型随机变量分布列和数学期望等．其中容易混淆的概念主要有以下几个：
1．“非等可能”与“等可能”
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111．
分析：以上11种基本事件并不是等可能的，如点数和为2的只有（1，1），而点数和为6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536．
正解：掷两枚骰子共有36种等可能的基本事件，而点数和为6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536．
2．“互斥”与“对立”
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：
A．对立事件_____________ B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解：A
分析：本题错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C．
3．“互斥”与“独立”
例3 甲投篮命中率为80％，乙投篮命中率为70％，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B， 则所求事件为A+B，P（A+B）=P（A）+P（B）
分析：本题错误原因是把相互独立同时发生的事件当成了互斥事件．
正解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P（A·B）=P（A）×P（B）=0.169．
4．“条件概率”与“积事件的概率”
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，”第二次才取到黄球”为事件C，所以P（C）=P（B|A）=23．
分析：本题错误在于P（B|A）与P（A×B）的含义没有弄清， P（A×B）表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P（B|A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正解：P（C）=P（A×B）=P（A）×P（B|A）=410×69=415．
二、数学思想方法运用不灵活导致错误
概率是《新课程标准》 引入后的内容，在高中教学中，它以融入大量的数学思想方法著称，如分类讨论、等价转化思想、整体思想、数形结合、数学建模思想等，因此熟练应用常见的数学思想方法是很有必要的．
1．数形结合思想
例4 如果事件A，B互斥，那么（ ）
A． A+B是必然事件 B． A+B是必然事件
C． A与B一定不互斥 D． A与B一定互斥
分析：互斥，对立，必然，独立，这些概念一直都是学生容易混淆的，面对抽象的字母，我们可以借助集合图形来解答．
正解：用集合的观点发现A∪B不一定是全集，故A+B不一定是必然事件，从而可以检验出正确的选项是B．
2．补集思想
例5 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5．若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
错解：记“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，“至少有一人命中目标”为事件D．所以P（D）=P（A+B+C）=0.7+0.6+0.5=1.8．
分析：本题错误在于没有理解｛至少一人命中目标｝、｛至多0人命中目标｝、｛恰有2人命中目标｝的实际意义．
正解1：利用逆向思维考虑它的对立事件，E＝｛至多0个人命中目标｝＝｛全都没有命中目标｝，再由概率公式P（D）=1－P（E）可得．
正解2：D＝｛至少一个命中目标｝，可按常规思路分类成｛恰有一人命中目标｝、｛恰有2人命中目标｝、｛恰有3人命中目标｝的和事件．
对策：概率与统计的思维方式有很多自身特点，与确定性数学思维方式有很大的差异，因此在教学过程中要注意引导学生善于转变思维方式，从多种不同角度、多种途径进行思考，用不同的知识解决问题，鼓励解题策略的多样性．一些比较复杂的概率问题，一般可以通过数形结合，分类讨论，等价转化，互补思想，方程思想等把它转成熟悉常见的题型．
（作者：王慧娟，江苏省如皋中学）
一、基本概念理解不深刻导致概念性错误
概率与统计试题主要考查基本概念和基本公式，如等可能性事件的概率；互斥事件的概率；独立事件的概率；事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率及离散型随机变量分布列和数学期望等．其中容易混淆的概念主要有以下几个：
1．“非等可能”与“等可能”
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为P=111．
分析：以上11种基本事件并不是等可能的，如点数和为2的只有（1，1），而点数和为6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536．
正解：掷两枚骰子共有36种等可能的基本事件，而点数和为6的有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）共5种，所以“所得点数之和为6”的概率为P=536．
2．“互斥”与“对立”
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：
A．对立事件_____________ B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
错解：A
分析：本题错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C．
3．“互斥”与“独立”
例3 甲投篮命中率为80％，乙投篮命中率为70％，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B， 则所求事件为A+B，P（A+B）=P（A）+P（B）
分析：本题错误原因是把相互独立同时发生的事件当成了互斥事件．
正解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P（A·B）=P（A）×P（B）=0.169．
4．“条件概率”与“积事件的概率”
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，”第二次才取到黄球”为事件C，所以P（C）=P（B|A）=23．
分析：本题错误在于P（B|A）与P（A×B）的含义没有弄清， P（A×B）表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P（B|A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正解：P（C）=P（A×B）=P（A）×P（B|A）=410×69=415．
二、数学思想方法运用不灵活导致错误
概率是《新课程标准》 引入后的内容，在高中教学中，它以融入大量的数学思想方法著称，如分类讨论、等价转化思想、整体思想、数形结合、数学建模思想等，因此熟练应用常见的数学思想方法是很有必要的．
1．数形结合思想
例4 如果事件A，B互斥，那么（ ）
A． A+B是必然事件 B． A+B是必然事件
C． A与B一定不互斥 D． A与B一定互斥
分析：互斥，对立，必然，独立，这些概念一直都是学生容易混淆的，面对抽象的字母，我们可以借助集合图形来解答．
正解：用集合的观点发现A∪B不一定是全集，故A+B不一定是必然事件，从而可以检验出正确的选项是B．
2．补集思想
例5 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5．若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
错解：记“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，“至少有一人命中目标”为事件D．所以P（D）=P（A+B+C）=0.7+0.6+0.5=1.8．
分析：本题错误在于没有理解｛至少一人命中目标｝、｛至多0人命中目标｝、｛恰有2人命中目标｝的实际意义．
正解1：利用逆向思维考虑它的对立事件，E＝｛至多0个人命中目标｝＝｛全都没有命中目标｝，再由概率公式P（D）=1－P（E）可得．
正解2：D＝｛至少一个命中目标｝，可按常规思路分类成｛恰有一人命中目标｝、｛恰有2人命中目标｝、｛恰有3人命中目标｝的和事件．
对策：概率与统计的思维方式有很多自身特点，与确定性数学思维方式有很大的差异，因此在教学过程中要注意引导学生善于转变思维方式，从多种不同角度、多种途径进行思考，用不同的知识解决问题，鼓励解题策略的多样性．一些比较复杂的概率问题，一般可以通过数形结合，分类讨论，等价转化，互补思想，方程思想等把它转成熟悉常见的题型．
（作者：王慧娟，江苏省如皋中学）