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摘要：在高斯消元法教学中有一个怪现象：很多学员“讲解快懂，做题快懵”。作者查阅国内外经典教材中高斯消元法讲义后，发现导致上述现象的关键原因是：传统解法“消元一回代一写解”的步骤指代不清。在信息时代背景下，文章提出了“提取一变换一还原一移项一补齐”五步变换法，该方法更具体、更规范。结合数学软件MATLAB将该方法付诸教学实践，结果表明新方法过程具体、操作性强，可有效提高学员的学习效率。
关键词：课程设置;教学创新;线性代数;高斯消元法;数学软件
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 收稿日期：2019-06-04 文章编号：1674-120X（2019） 29-0104-02
一、引言
线性代数以向量、线性空间、线性变换和线性方程组等为对象，研究秩的等价不变性、特征值的相似不变性和惯性数的合同不变性，被广泛地应用于自然科学和社会科学中。在线性代数教材[1][2]的内容组织架构中，线性方程组是各章节的枢纽工具。因而，线性代数关注点可归结为两个方面：第一，回答线性方程解的唯一性、存在性和结构性问题;第二，相似性和二次型可以看成方程组的应用。高斯消元法（Gaussian Elimination）印证了线性方程组和线性代数的实用性。[3]查阅国外经典教材[4]和国内教材可发现高斯消元法解线性方程组的主要工作是对增广矩阵（Augmented Matrix）进行初等行变换，常把高斯消元法分解为三个步骤：步骤一，消元（Variable Elimination）：把增广矩阵化为行阶梯形，如果最后一个阶梯的非零元素出现在最后，则方程组无解，否则方程有解;步骤二，回代（BackSubstitution）：在有解的情况下把行阶梯形化为最简行阶梯形;步骤三，写解（Write Solution）：把最简行阶梯形还原为同解方程组，求出所有解。
上面的解题步骤存在三个问题：问题一：步骤一忽略了消元前的增广矩阵的提取过程，容易导致学员解题开端困难;问题二：步骤一和步骤二界线模糊，未考虑到常用数学软件MATLAB并没有行阶梯形对应的命令。因为行阶梯形 “不唯一”，容易导致学员解题不规范、易出错;问题三：步骤三中“求出所有解”指代不清，隐藏大量细节步骤，容易导致学员解题丢三落四、得分率低。下面将进一步分析传统高斯消元法的问题，最后给出对应的解决方案。
二、問题分析与解决方案
（一）问题分析
问题一：传统方法忽略了增广矩阵提取过程。例如，如图1所示，二维平面上的一条直线的方程为。1。该方程非常简单，而它的增广矩阵并不是显而易见的。教学实践中发现，大量学员提取出错误的增广矩阵，例如提取的增广矩阵为[A，b]=[1，1]。经分析，原因可归纳为两个方面：第一，自以为直线方程x=1是一维空间，其实该直线不经过零点，并不能构成线性空间，其实，该直线只是二维平面{[x，y]|x， y是实数}的一个子集，可表示为{[1，y]|y是实数};第二，方程x=1省略了0和1，实际上这是不规范的写作习惯，容易导致提取出错误的增广矩阵。实际上，x=1的完整式为1*x 0*y=1。对应的，增广矩阵为[A，b]=[1，0， 1]。
问题二：传统高斯消元法中，变换过程被分解为“消元”和“回代”两部分。但是由于行阶梯形不唯一，导致“消元”过程指代不清，不同学员获得的行阶梯形就不同，因而很难跟踪和判断答案是否正确。把“消元”和“回代”合二为一是必要的，即用“变换”直接获得最简行阶梯形，原因有两个：第一，最简行阶梯形是唯一的，学员能够清晰地跟踪和判断答案是否正确，“一杆到底”更符合多数人的解题心理。行阶梯形只是一个中间过程，不需要跟踪其正确性。正因如此MATLAB和MATHMATICA没有求解阶梯形的命令。第二，合二为一后，规则简单，容易上手，更符合信息时代背景。实际上MATLAB存在最简行阶梯形的命令，即RREF，为Reduce Row Echelon Form的缩写。传统的“消元”和“回代”的划分方法符合计算机资源匮乏的手算时代。尽管行阶梯形不唯一，但是若能提前判断方程没有解，则没有必要将增广矩阵化简为最简行阶梯形，这样就可以节约少量计算机资源。在信息时代背景下，教学计算机的计算性能冗余，笔者认为“规则简单，机器判别”比“节约少量日算资源”更加可取。
问题三：传统方法的“写解”非常笼统，过程任务指代不清，学员无法理解其中的内涵，在解题时不知如何下手。实际上，“写解”需要规范地分解为三个步骤：第一，把最简行阶梯形还原为线性方程组，“还原”是“提取”的逆过程，提取和还原构成了线性方程组求解的一个闭环;第二，移项：非阶梯元所对应的变量就是自由变量，将自由变量移到方程组的右边，即用自由变量表示非自由变量;第三，补齐：把自由变量代表的恒等式补齐。“补齐”是“省略”的逆过程，此时非齐次方程组的特解和导出组的基础解系已经出现。
（二）解决方案
基于上述分析，提出过程规范的、操作性更强的、更适合教员教学和学员解题的线性方程组解法，所示，该方法包含“提取一变换一还原一移项一补齐”五个步骤，因此又称该方法为“五步变换法”。
图2刻画了传统高斯消元法与五步变换法的对应关系，区别有三个方面：第一，增加了“提取”过程。第二，将“消元”和“回代”合并为“变换”。第三，将“写解”划分为 “还原”“移项”“补齐”。
接下来，用“五步变换法”求解二维平面上的直线方程x=1。步骤一，提取：从x=1提取出增广矩阵，得[A，b]=[1，0，1];步骤二，变换：将增广矩阵变换为最简行阶梯形，[A，b]=[1， 0， 1]本身是最简行阶梯形”y自由变量，x为非自由变量，rank[A，b]=rankA=1，故方程有解;步骤三，还原：将最简行阶梯形还原为阶梯方程组，得1*x 0*y=1;步骤四，移项：将自由变量移到方程右边，得1*x=1 0*y;步骤五，补齐：将自由变量恒等式补齐，得到线性方程组的规范答案1*x=1 0*y， y=0 1*y，即[x，y]=[1，0] y[0，1]。 三、新方法下的教学实践
线性方程组源于生活生产实践，也为其服务。我们选择了“营养医学”的“食物摄人量问题”。可以按照“生活驱动一演绎推理一驱动生活”的结构讲解五步变换法。
首先，可以从食材营养数据中提取出营养搭配方程组。假定每一种食材的食用量分别为（百克），则蛋白质、脂肪、糖类的摄人量满足具有6个未知数的营养搭配线性方程组。
其次，针对一般方程组，演绎方程组的同解变换，重点证明方程组的有解判别定理，进而获得求解方程的五步变换解法。注意增广矩阵[A，b]中有小数和素数，心算或手算很难获得最简行阶梯形，可以调用MATLAB命令rref ReducedRow Echelon Form）命令，复制下面这段代码即可：A=[13，7.5，1.1，2.0，12，17;15，0.5，0.1，0.4，0.8，29; 0.5，79，2，5，70，1.1];b=[50，50，200];Ab=[A，b]; Cd=rref（[A，b]）。
最后，利用五步变换法和MATLAB解决求解营养搭配方程组。当然，完美的算法遇到现实问题，往往漏洞百出，发现答案与常识相矛盾，进一步筛选特解。例如特解[3.32，2.84， -13.2， 0， 0， 01与常识相矛盾：因为3.32百克鸡蛋相当于7个鸡蛋，太多了，而且-13.2百克白菜相当于要“吐3斤白菜”，负数是不现实的。经过筛选，得到一个合理的特解，即[0.34，2.48，1.36，0，0，1，5]，相当于1个鸡蛋，5两大米，3两白菜，3两猪肉。
至此，“五步变换法”成功地回答了在富营养时代的“营养医学问题”。
四、结语
线性代数是一门理论性与应用性并重的课程，传统高斯消元法的教学思路是“消元一回代一写解”。该思路步骤少、每个步骤的内容比较多，尤其是最后“写解”过程非常抽象复杂，因此学员常有“脱离信息时代背景、过程指代不清”的困扰。“五步变换法”思路清晰、步骤界定规范，从简单的几何问题说起，再推广到一般线性方程解的求解问题，然后回归到营养医学的实际应用中。在未来教学工作中，应该注意三点：第一，线性代数教学应从传统的教学思路中解放出来，取传统教学之精华，同时结合信息时代背景，使學员、教员和课程收益;第二，要重视线性代数的应用能力，学会利用数学软件MATLAB解决现实问题，培养具有扎实理论基础和实践应用能力的复合型人才;第三，要重视解题规范性和严谨性，严谨性是数学的基本特点，它要求在应用数学知识解题中要规范、不得随意增加或者减少步骤。
参考文献：
[1]何章鸣，王炯琦，周海银，等.线性代数与解析几何学习及上机指导[M].北京：科学出版社，2017.
[2]冯良贵，戴清平，李超，等.线性代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2008.
[3]何章鸣，王炯琦，周海银，等.数据驱动的非预期故障诊断理论及应用[M].北京：科学出版社，2017.
[4]L.Mirsky.An Introduction to Linear Algebra[M].Nev，York：Dover Publications，1990.
基金项目：国防科技大学本科教育教学研究课题（U2017008）;国防科技大学研究生教育教学改革研究课题（yjsy2017019）;湖南省学位与研究生教育教学改革研究课题（JG20178008）;湖南省普通高等学校教学改革研究项目之“五位一体”本科全程导师制培养模式研究与实践（U2019003）。
作者简介：何章鸣（1985-），男，广东乐昌人，讲师，博士研究生，研究方向：数据处理;
马正芳（1986-），女，山东泰安人，二级教师，硕士研究生，研究方向：数学教育。
关键词：课程设置;教学创新;线性代数;高斯消元法;数学软件
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 收稿日期：2019-06-04 文章编号：1674-120X（2019） 29-0104-02
一、引言
线性代数以向量、线性空间、线性变换和线性方程组等为对象，研究秩的等价不变性、特征值的相似不变性和惯性数的合同不变性，被广泛地应用于自然科学和社会科学中。在线性代数教材[1][2]的内容组织架构中，线性方程组是各章节的枢纽工具。因而，线性代数关注点可归结为两个方面：第一，回答线性方程解的唯一性、存在性和结构性问题;第二，相似性和二次型可以看成方程组的应用。高斯消元法（Gaussian Elimination）印证了线性方程组和线性代数的实用性。[3]查阅国外经典教材[4]和国内教材可发现高斯消元法解线性方程组的主要工作是对增广矩阵（Augmented Matrix）进行初等行变换，常把高斯消元法分解为三个步骤：步骤一，消元（Variable Elimination）：把增广矩阵化为行阶梯形，如果最后一个阶梯的非零元素出现在最后，则方程组无解，否则方程有解;步骤二，回代（BackSubstitution）：在有解的情况下把行阶梯形化为最简行阶梯形;步骤三，写解（Write Solution）：把最简行阶梯形还原为同解方程组，求出所有解。
上面的解题步骤存在三个问题：问题一：步骤一忽略了消元前的增广矩阵的提取过程，容易导致学员解题开端困难;问题二：步骤一和步骤二界线模糊，未考虑到常用数学软件MATLAB并没有行阶梯形对应的命令。因为行阶梯形 “不唯一”，容易导致学员解题不规范、易出错;问题三：步骤三中“求出所有解”指代不清，隐藏大量细节步骤，容易导致学员解题丢三落四、得分率低。下面将进一步分析传统高斯消元法的问题，最后给出对应的解决方案。
二、問题分析与解决方案
（一）问题分析
问题一：传统方法忽略了增广矩阵提取过程。例如，如图1所示，二维平面上的一条直线的方程为。1。该方程非常简单，而它的增广矩阵并不是显而易见的。教学实践中发现，大量学员提取出错误的增广矩阵，例如提取的增广矩阵为[A，b]=[1，1]。经分析，原因可归纳为两个方面：第一，自以为直线方程x=1是一维空间，其实该直线不经过零点，并不能构成线性空间，其实，该直线只是二维平面{[x，y]|x， y是实数}的一个子集，可表示为{[1，y]|y是实数};第二，方程x=1省略了0和1，实际上这是不规范的写作习惯，容易导致提取出错误的增广矩阵。实际上，x=1的完整式为1*x 0*y=1。对应的，增广矩阵为[A，b]=[1，0， 1]。
问题二：传统高斯消元法中，变换过程被分解为“消元”和“回代”两部分。但是由于行阶梯形不唯一，导致“消元”过程指代不清，不同学员获得的行阶梯形就不同，因而很难跟踪和判断答案是否正确。把“消元”和“回代”合二为一是必要的，即用“变换”直接获得最简行阶梯形，原因有两个：第一，最简行阶梯形是唯一的，学员能够清晰地跟踪和判断答案是否正确，“一杆到底”更符合多数人的解题心理。行阶梯形只是一个中间过程，不需要跟踪其正确性。正因如此MATLAB和MATHMATICA没有求解阶梯形的命令。第二，合二为一后，规则简单，容易上手，更符合信息时代背景。实际上MATLAB存在最简行阶梯形的命令，即RREF，为Reduce Row Echelon Form的缩写。传统的“消元”和“回代”的划分方法符合计算机资源匮乏的手算时代。尽管行阶梯形不唯一，但是若能提前判断方程没有解，则没有必要将增广矩阵化简为最简行阶梯形，这样就可以节约少量计算机资源。在信息时代背景下，教学计算机的计算性能冗余，笔者认为“规则简单，机器判别”比“节约少量日算资源”更加可取。
问题三：传统方法的“写解”非常笼统，过程任务指代不清，学员无法理解其中的内涵，在解题时不知如何下手。实际上，“写解”需要规范地分解为三个步骤：第一，把最简行阶梯形还原为线性方程组，“还原”是“提取”的逆过程，提取和还原构成了线性方程组求解的一个闭环;第二，移项：非阶梯元所对应的变量就是自由变量，将自由变量移到方程组的右边，即用自由变量表示非自由变量;第三，补齐：把自由变量代表的恒等式补齐。“补齐”是“省略”的逆过程，此时非齐次方程组的特解和导出组的基础解系已经出现。
（二）解决方案
基于上述分析，提出过程规范的、操作性更强的、更适合教员教学和学员解题的线性方程组解法，所示，该方法包含“提取一变换一还原一移项一补齐”五个步骤，因此又称该方法为“五步变换法”。
图2刻画了传统高斯消元法与五步变换法的对应关系，区别有三个方面：第一，增加了“提取”过程。第二，将“消元”和“回代”合并为“变换”。第三，将“写解”划分为 “还原”“移项”“补齐”。
接下来，用“五步变换法”求解二维平面上的直线方程x=1。步骤一，提取：从x=1提取出增广矩阵，得[A，b]=[1，0，1];步骤二，变换：将增广矩阵变换为最简行阶梯形，[A，b]=[1， 0， 1]本身是最简行阶梯形”y自由变量，x为非自由变量，rank[A，b]=rankA=1，故方程有解;步骤三，还原：将最简行阶梯形还原为阶梯方程组，得1*x 0*y=1;步骤四，移项：将自由变量移到方程右边，得1*x=1 0*y;步骤五，补齐：将自由变量恒等式补齐，得到线性方程组的规范答案1*x=1 0*y， y=0 1*y，即[x，y]=[1，0] y[0，1]。 三、新方法下的教学实践
线性方程组源于生活生产实践，也为其服务。我们选择了“营养医学”的“食物摄人量问题”。可以按照“生活驱动一演绎推理一驱动生活”的结构讲解五步变换法。
首先，可以从食材营养数据中提取出营养搭配方程组。假定每一种食材的食用量分别为（百克），则蛋白质、脂肪、糖类的摄人量满足具有6个未知数的营养搭配线性方程组。
其次，针对一般方程组，演绎方程组的同解变换，重点证明方程组的有解判别定理，进而获得求解方程的五步变换解法。注意增广矩阵[A，b]中有小数和素数，心算或手算很难获得最简行阶梯形，可以调用MATLAB命令rref ReducedRow Echelon Form）命令，复制下面这段代码即可：A=[13，7.5，1.1，2.0，12，17;15，0.5，0.1，0.4，0.8，29; 0.5，79，2，5，70，1.1];b=[50，50，200];Ab=[A，b]; Cd=rref（[A，b]）。
最后，利用五步变换法和MATLAB解决求解营养搭配方程组。当然，完美的算法遇到现实问题，往往漏洞百出，发现答案与常识相矛盾，进一步筛选特解。例如特解[3.32，2.84， -13.2， 0， 0， 01与常识相矛盾：因为3.32百克鸡蛋相当于7个鸡蛋，太多了，而且-13.2百克白菜相当于要“吐3斤白菜”，负数是不现实的。经过筛选，得到一个合理的特解，即[0.34，2.48，1.36，0，0，1，5]，相当于1个鸡蛋，5两大米，3两白菜，3两猪肉。
至此，“五步变换法”成功地回答了在富营养时代的“营养医学问题”。
四、结语
线性代数是一门理论性与应用性并重的课程，传统高斯消元法的教学思路是“消元一回代一写解”。该思路步骤少、每个步骤的内容比较多，尤其是最后“写解”过程非常抽象复杂，因此学员常有“脱离信息时代背景、过程指代不清”的困扰。“五步变换法”思路清晰、步骤界定规范，从简单的几何问题说起，再推广到一般线性方程解的求解问题，然后回归到营养医学的实际应用中。在未来教学工作中，应该注意三点：第一，线性代数教学应从传统的教学思路中解放出来，取传统教学之精华，同时结合信息时代背景，使學员、教员和课程收益;第二，要重视线性代数的应用能力，学会利用数学软件MATLAB解决现实问题，培养具有扎实理论基础和实践应用能力的复合型人才;第三，要重视解题规范性和严谨性，严谨性是数学的基本特点，它要求在应用数学知识解题中要规范、不得随意增加或者减少步骤。
参考文献：
[1]何章鸣，王炯琦，周海银，等.线性代数与解析几何学习及上机指导[M].北京：科学出版社，2017.
[2]冯良贵，戴清平，李超，等.线性代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2008.
[3]何章鸣，王炯琦，周海银，等.数据驱动的非预期故障诊断理论及应用[M].北京：科学出版社，2017.
[4]L.Mirsky.An Introduction to Linear Algebra[M].Nev，York：Dover Publications，1990.
基金项目：国防科技大学本科教育教学研究课题（U2017008）;国防科技大学研究生教育教学改革研究课题（yjsy2017019）;湖南省学位与研究生教育教学改革研究课题（JG20178008）;湖南省普通高等学校教学改革研究项目之“五位一体”本科全程导师制培养模式研究与实践（U2019003）。
作者简介：何章鸣（1985-），男，广东乐昌人，讲师，博士研究生，研究方向：数据处理;
马正芳（1986-），女，山东泰安人，二级教师，硕士研究生，研究方向：数学教育。