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摘要：高中数学的作业主要由问题解决型作业组成，学生作业答案很多时候不能体现其思维过程，导致教师对其反馈不够精确，借助思维导图这个工具培养学生元认知的策略及数学思维可视化的手段，从而形成问题解决型作业练习的基本框架，为学生数学思维可视化打下基础。本文选择以几何图形为载体的应用题为例来进行具体的案例设计研究。
关键词：思维可视化;问题解决;思维导图
中图分类号：G633.63 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-085
一、研究背景
当前高中数学教学的难点在于知识多、深、繁、难，且知识的独立性大且较为抽象，这需要学生进行思维理解，而理解就是需要学生对知识进行思维加工，将其内化并建构为自己的知识体系。而高中数学的作业也偏向于问题解决型作业，学生的答案很多时候不能反映其思维，导致教师对其反馈及评价过于笼统，无法进行个人针对性反馈，这样的作业效果要打上折扣。因此，传统问题解决型作业需要考虑设计一些环节将学生的思维过程可视化，既利于教师了解学生个性的学习情况，也利于学生进行自我订正，从而实现作业效果的正反馈。
二、理论依据
思维可视化要想在数学问题解决型作业中能够顺利实施，需要借助以下理论及实施工具：
1.元认知提供数学思维可视化的需求
元认知是对自身认知过程的一种认知，匈菲尔德在讨论元认知对于数学问题解决的影响时，涉及以下三个涵盖的元认知成分：（1）个体对自己的认知特点的认知;（2）个体的自我调节程序，包括对认知过程的监督和“即时”作出决策;（3）个体对认知过程的反思和评价[1]。
学生在进行应用数学概念进行数学问题解决时，形成了各种控制和认知过程，而思维可视化在数学问题解决型作业中体现的恰好就是这样的功能，一开始采用较为直接的策略与告知讲解，使得学生充分了解这样的策略，体验到策略对其作业表现的促进作用，使其能够在日后的数学学习及作业中主动运用所习的策略知识。
2.思维导图提供数学思维可视化的支撑
思维可视化就是把学习过程中的思考方法和思考路径通过图示技术呈现出来[2]。知识可视化就是采用概念图、结构图等手段将数学知识构建成互相连通的体系。东尼·博赞发明的思维导图的主要要素包括中心节点、分支节、点、连线、注释和一些辅助信息。它将信息作为主题或者子主题，应用多样的颜色来呈现，加强了视觉冲击。因此，思维导图作为个性化的图示表示方式，能够有效沟通数学知识可视化和思维可视化，成为思维可视化的核心技术。
3.问题解决提供数学作业可视化的框架
美国教育学家G·波利亚在他的著作《怎样解题：数学思维的新方法》这一本书中提出“解题表”，他具体归结为四个阶段：第一，我们必须理解改题目，我们必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟定一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。[3]
这里将数学问题解决分为四个阶段：理解问题—分析问题—解答问题—回顾检验，并且将每个阶段所做的事进行集中说明：
波利亚的解题表正好搭建了数学作业可视化的框架，为数学作业的可视化打下坚实基础。
三、设计框架
传统数学问题解决型作业的可视化设计可以某一块内容的可视化作业设计作载体，研究可视化作业设计过程的一般流程，并在此基础上，将一般流程运用于高中数学其他内容的作业设计中，得到各章节可视化作业设计的具体案例。本篇主要以几何图形为载体的应用题为例进行说明。
设计可视化作业的目的是让教师更加关注学生的内隐的思维过程，了解学生利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程。可视化作业设计的过程中，可按照以下流程进行：
“备”：教师之间先进行集体备课，准备能够展现学生思维水平的问题解决型作业;
“设”：教师依照解题表，设计作业问题解决的各个环节，例如审题时，规定学生将数据和限制性条件可视化（列表、示意图等手段），解答时，要求学生用思维导图说明解题思路，强调思路的简洁性，方便教师的批阅;
“做”：学生认真按照教师的“设”进行问题解决作业的练习;
“批”：教师针对学生的“做”进行批改，重点在于指明学生思维误区;
“评”：师生共同参与下，教师讲解题目的典型错误，指明学生思维上误区，后续让学生自己进行错因分析，提高其学习的自主性;
“固”：学生在教师提供的错题推送后进行巩固练习。
四、具体应用
应用题是培养学生数学建模能力的有效载体，其解决过程为：实际问题转化为数学问题数学问题的求解数学解答回归实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题。
教师给学生设计的问题解决型作业在应用题方面的框架如下表：
下面以一道具体的以几何图形为载体的应用题为例进行说明。
如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD。在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）。
（1）探求△CPQ的周长l是否为定值;
（2）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值。
学生的“做”，教师的“批”以及师生共同参与的“评”“固”环节具体如下：
师生共同参与的“固”环节可以是教師提供同题的变式，也可以让学生间相互变式：
举一反三：如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km。
（1）设CE=x，CF=y，试求x，y之间的关系式;
（2）求△EAF的面积的最小值，并确定点E、F的位置。
实施可视化作业，让学生经历从具体到抽象的过程，可以既“看到”学生思考背后的思维、又能帮助他们“看透”其中的数学本质，而数学的思维恰恰就在这样的过程中不断提升。可视化作业，不仅仅是技术和数学内容的整合，更是数学内容呈现方式的革新，不仅仅是解决问题，更是让学生能够自我归因，正确评价，也能让学生将更多的精力集中在高层次的数学思考和问题解决上，形成数学学习上的“良性循环”。
（作者单位：无锡市堰桥高级中学，江苏 无锡214000）
关键词：思维可视化;问题解决;思维导图
中图分类号：G633.63 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-085
一、研究背景
当前高中数学教学的难点在于知识多、深、繁、难，且知识的独立性大且较为抽象，这需要学生进行思维理解，而理解就是需要学生对知识进行思维加工，将其内化并建构为自己的知识体系。而高中数学的作业也偏向于问题解决型作业，学生的答案很多时候不能反映其思维，导致教师对其反馈及评价过于笼统，无法进行个人针对性反馈，这样的作业效果要打上折扣。因此，传统问题解决型作业需要考虑设计一些环节将学生的思维过程可视化，既利于教师了解学生个性的学习情况，也利于学生进行自我订正，从而实现作业效果的正反馈。
二、理论依据
思维可视化要想在数学问题解决型作业中能够顺利实施，需要借助以下理论及实施工具：
1.元认知提供数学思维可视化的需求
元认知是对自身认知过程的一种认知，匈菲尔德在讨论元认知对于数学问题解决的影响时，涉及以下三个涵盖的元认知成分：（1）个体对自己的认知特点的认知;（2）个体的自我调节程序，包括对认知过程的监督和“即时”作出决策;（3）个体对认知过程的反思和评价[1]。
学生在进行应用数学概念进行数学问题解决时，形成了各种控制和认知过程，而思维可视化在数学问题解决型作业中体现的恰好就是这样的功能，一开始采用较为直接的策略与告知讲解，使得学生充分了解这样的策略，体验到策略对其作业表现的促进作用，使其能够在日后的数学学习及作业中主动运用所习的策略知识。
2.思维导图提供数学思维可视化的支撑
思维可视化就是把学习过程中的思考方法和思考路径通过图示技术呈现出来[2]。知识可视化就是采用概念图、结构图等手段将数学知识构建成互相连通的体系。东尼·博赞发明的思维导图的主要要素包括中心节点、分支节、点、连线、注释和一些辅助信息。它将信息作为主题或者子主题，应用多样的颜色来呈现，加强了视觉冲击。因此，思维导图作为个性化的图示表示方式，能够有效沟通数学知识可视化和思维可视化，成为思维可视化的核心技术。
3.问题解决提供数学作业可视化的框架
美国教育学家G·波利亚在他的著作《怎样解题：数学思维的新方法》这一本书中提出“解题表”，他具体归结为四个阶段：第一，我们必须理解改题目，我们必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须了解各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟定一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。[3]
这里将数学问题解决分为四个阶段：理解问题—分析问题—解答问题—回顾检验，并且将每个阶段所做的事进行集中说明：
波利亚的解题表正好搭建了数学作业可视化的框架，为数学作业的可视化打下坚实基础。
三、设计框架
传统数学问题解决型作业的可视化设计可以某一块内容的可视化作业设计作载体，研究可视化作业设计过程的一般流程，并在此基础上，将一般流程运用于高中数学其他内容的作业设计中，得到各章节可视化作业设计的具体案例。本篇主要以几何图形为载体的应用题为例进行说明。
设计可视化作业的目的是让教师更加关注学生的内隐的思维过程，了解学生利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程。可视化作业设计的过程中，可按照以下流程进行：
“备”：教师之间先进行集体备课，准备能够展现学生思维水平的问题解决型作业;
“设”：教师依照解题表，设计作业问题解决的各个环节，例如审题时，规定学生将数据和限制性条件可视化（列表、示意图等手段），解答时，要求学生用思维导图说明解题思路，强调思路的简洁性，方便教师的批阅;
“做”：学生认真按照教师的“设”进行问题解决作业的练习;
“批”：教师针对学生的“做”进行批改，重点在于指明学生思维误区;
“评”：师生共同参与下，教师讲解题目的典型错误，指明学生思维上误区，后续让学生自己进行错因分析，提高其学习的自主性;
“固”：学生在教师提供的错题推送后进行巩固练习。
四、具体应用
应用题是培养学生数学建模能力的有效载体，其解决过程为：实际问题转化为数学问题数学问题的求解数学解答回归实际问题，关键是将实际问题转化为数学问题。
教师给学生设计的问题解决型作业在应用题方面的框架如下表：
下面以一道具体的以几何图形为载体的应用题为例进行说明。
如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD。在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上）。
（1）探求△CPQ的周长l是否为定值;
（2）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值。
学生的“做”，教师的“批”以及师生共同参与的“评”“固”环节具体如下：
师生共同参与的“固”环节可以是教師提供同题的变式，也可以让学生间相互变式：
举一反三：如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km。
（1）设CE=x，CF=y，试求x，y之间的关系式;
（2）求△EAF的面积的最小值，并确定点E、F的位置。
实施可视化作业，让学生经历从具体到抽象的过程，可以既“看到”学生思考背后的思维、又能帮助他们“看透”其中的数学本质，而数学的思维恰恰就在这样的过程中不断提升。可视化作业，不仅仅是技术和数学内容的整合，更是数学内容呈现方式的革新，不仅仅是解决问题，更是让学生能够自我归因，正确评价，也能让学生将更多的精力集中在高层次的数学思考和问题解决上，形成数学学习上的“良性循环”。
（作者单位：无锡市堰桥高级中学，江苏 无锡214000）