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摘要：笔者结合自己多年的教学经验，以一道中考题为背景，分析了“重合”这个重要的却没有明确定义的概念，指出“重合”作为平面几何的研究方法之一，其定义是不应该缺少的，并认为在直线位置关系的教学中应强调指出“在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交”.
关键词：中考题；平面几何；重合；数学教学
前几年南京市中考题第四大题第27小题，用反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”，第一步是假设 （）
A.a∥b
B.a与c相交
C.a与c不平行
D.a与c既不平行又不相交
中考阅卷中，统计得到有31％的学生选B，也有46％的选C，有14％的竟然选B，C，问题究竟出在什么地方？到底选择什么？
几何学是研究现实世界空间形式的一门学科.作为平面几何，则是以平面图形为研究对象的一门基础学科，它主要研究图形的形状、大小和位置关系，它以少量的公理为基础，根据学生的接受能力和水平而设置.其中有这样一个公理：“在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交”.这就是说，两条直线的位置关系不是平行就是相交，从而否定了或者忽视了两条直线的重合关系，导致了那些死记硬背公理、定义的学生选择了B或C.
问题根源就在于忽视了“重合”.没有重合，在角的概念中就会出现矛盾，课本中对角的定义是“这种有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角”，这样周角就可以理解为不是角或一条射线，尽管教材中强调“周角的两边重合成同一射线，也不能说成一条射线，这里要求学生清楚这种区别.”作为平面几何，它研究图形的形状、大小和位置关系，图形的形状是什么，应该就是什么. 没有重合，会把简单的特殊问题弄得很复杂，而周角在几何圆中，圆心角是可能为周角的.
就上面提出的“在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交”这一结论和现实的空间存在矛盾.如：以课本每页的边为一直线，在合起来后，紧邻的两页的边所代表的直线就重合在一起. 如果按照课本的定义，此例要么不是现实空间存在的形式，要么一本书的一页就等于一本书，从而在教学中出现无法解释的现实.再如试题中，要求写出反证法证明的第一步，我们知道反证法证明的第一步是假设结论不成立，那就是假设a与c不平行，那当然选C；但喜欢动脑筋的同学却选择了B，他们的依据是在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交.也就是说，两条直线的位置关系不是平行就是相交，那当然是不平行就相交了.导致有的学生既选B又选C. 课本中把重合的直线（点）看成是同一条直线（点），这就更近一步地为以上的选择找到了依据，如果有重合的概念，就不会有选B的可能. 也就是说“在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行、相交或重合”，这样两条直线的位置关系不平行，有可能相交，有可能重合，但课本中并没有出现“重合”的概念.在我们的教材中却多次出现重合这两个字，如在线段的比较与度量中，“把线段AB放到线段A′B′上，使点A与点A′重合，…”；在角的比较与度量中，“把∠AOB放到∠A′O′B′上，使顶点O与O′重合，射线OA与O′A′重合，…”；在全等三角形中，“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.” 两个全等的三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 教材中多次出现“重合”，为什么不给一个明确的定义呢？在教学中到底要不要强调“重合”这一概念呢？是否真的可以忽视这一概念呢？
笔者认为在几何教学中，“重合”是一个非常重要的概念. “重合”作为平面几何的研究方法之一，其定义是不应该缺少的. 课本在引入三角形全等的条件中，条件1、条件2都是在承认重合的前提下得出的结论，用重合的方法展开了全等三角形的判定、性质的全面研究，在说明“边、边、边”定理中，就是先使其中一组对应边重合. 用重合的方法也使中心对称、轴对称及其性质在说明其他定理和解题中得到了应用，可以说初中平面几何里研究“相等”“全等”的方法都是通过搬移让它们重合而得到的. 由于课本前面不提“重合”这一概念，在后面只能默默地使用，导致了教学中难于强调它，总结它，从而给教学带来了不便，导致学生解题出现错误.
作为数学基础内容之一的平面几何学，它除了要体现现实，还要尊重学科的客观性和整个数学的相容性.在现实的生活中，点、线、面的重合是显而易见的. 如三角形三条中垂线两两相交，交点重合. 特别是前面提到的：在同一平面内，两条直线的位置关系中显然有重合关系. 因此在几何教学中，应强调“重合”这一概念，重视重合在平面几何教学中的作用.
在直线位置关系的教学中应强调指出：“在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交”，使学生清楚地知道，知识来源于现实生活，又区别于现实. 生活中处处有数学，我们要善于利用生活化的“数学材料”让学生去体验，去感受.当然，我们也应该知道：反证法的第一步是假设结论不成立，也就是说假设C“a与c不平行”是反证法证明的第一步，而B“a与c相交”那是证明的第二步了.从这个意义上讲，只谈第一步不谈第二步那就应该选C“a与c不平行”.但从平行的对立面来讲，不平行是个什么结果呢？
教材就是教科书，一般而言，教师读学教材必须要同步甚至超前一点，好好研读与教材有关的《课程标准》的教学要求，要尽可能去读一些教材编写者的关于教材编写的意图、体例、内容的文章.课本是教师教学的依据，教师教学离不开教材，教师要达到科学地、创造性地运用教材，就得要深入地研究教材，甄别教材.
关键词：中考题；平面几何；重合；数学教学
前几年南京市中考题第四大题第27小题，用反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”，第一步是假设 （）
A.a∥b
B.a与c相交
C.a与c不平行
D.a与c既不平行又不相交
中考阅卷中，统计得到有31％的学生选B，也有46％的选C，有14％的竟然选B，C，问题究竟出在什么地方？到底选择什么？
几何学是研究现实世界空间形式的一门学科.作为平面几何，则是以平面图形为研究对象的一门基础学科，它主要研究图形的形状、大小和位置关系，它以少量的公理为基础，根据学生的接受能力和水平而设置.其中有这样一个公理：“在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交”.这就是说，两条直线的位置关系不是平行就是相交，从而否定了或者忽视了两条直线的重合关系，导致了那些死记硬背公理、定义的学生选择了B或C.
问题根源就在于忽视了“重合”.没有重合，在角的概念中就会出现矛盾，课本中对角的定义是“这种有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角”，这样周角就可以理解为不是角或一条射线，尽管教材中强调“周角的两边重合成同一射线，也不能说成一条射线，这里要求学生清楚这种区别.”作为平面几何，它研究图形的形状、大小和位置关系，图形的形状是什么，应该就是什么. 没有重合，会把简单的特殊问题弄得很复杂，而周角在几何圆中，圆心角是可能为周角的.
就上面提出的“在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交”这一结论和现实的空间存在矛盾.如：以课本每页的边为一直线，在合起来后，紧邻的两页的边所代表的直线就重合在一起. 如果按照课本的定义，此例要么不是现实空间存在的形式，要么一本书的一页就等于一本书，从而在教学中出现无法解释的现实.再如试题中，要求写出反证法证明的第一步，我们知道反证法证明的第一步是假设结论不成立，那就是假设a与c不平行，那当然选C；但喜欢动脑筋的同学却选择了B，他们的依据是在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交.也就是说，两条直线的位置关系不是平行就是相交，那当然是不平行就相交了.导致有的学生既选B又选C. 课本中把重合的直线（点）看成是同一条直线（点），这就更近一步地为以上的选择找到了依据，如果有重合的概念，就不会有选B的可能. 也就是说“在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行、相交或重合”，这样两条直线的位置关系不平行，有可能相交，有可能重合，但课本中并没有出现“重合”的概念.在我们的教材中却多次出现重合这两个字，如在线段的比较与度量中，“把线段AB放到线段A′B′上，使点A与点A′重合，…”；在角的比较与度量中，“把∠AOB放到∠A′O′B′上，使顶点O与O′重合，射线OA与O′A′重合，…”；在全等三角形中，“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.” 两个全等的三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 教材中多次出现“重合”，为什么不给一个明确的定义呢？在教学中到底要不要强调“重合”这一概念呢？是否真的可以忽视这一概念呢？
笔者认为在几何教学中，“重合”是一个非常重要的概念. “重合”作为平面几何的研究方法之一，其定义是不应该缺少的. 课本在引入三角形全等的条件中，条件1、条件2都是在承认重合的前提下得出的结论，用重合的方法展开了全等三角形的判定、性质的全面研究，在说明“边、边、边”定理中，就是先使其中一组对应边重合. 用重合的方法也使中心对称、轴对称及其性质在说明其他定理和解题中得到了应用，可以说初中平面几何里研究“相等”“全等”的方法都是通过搬移让它们重合而得到的. 由于课本前面不提“重合”这一概念，在后面只能默默地使用，导致了教学中难于强调它，总结它，从而给教学带来了不便，导致学生解题出现错误.
作为数学基础内容之一的平面几何学，它除了要体现现实，还要尊重学科的客观性和整个数学的相容性.在现实的生活中，点、线、面的重合是显而易见的. 如三角形三条中垂线两两相交，交点重合. 特别是前面提到的：在同一平面内，两条直线的位置关系中显然有重合关系. 因此在几何教学中，应强调“重合”这一概念，重视重合在平面几何教学中的作用.
在直线位置关系的教学中应强调指出：“在同一平面内，两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交”，使学生清楚地知道，知识来源于现实生活，又区别于现实. 生活中处处有数学，我们要善于利用生活化的“数学材料”让学生去体验，去感受.当然，我们也应该知道：反证法的第一步是假设结论不成立，也就是说假设C“a与c不平行”是反证法证明的第一步，而B“a与c相交”那是证明的第二步了.从这个意义上讲，只谈第一步不谈第二步那就应该选C“a与c不平行”.但从平行的对立面来讲，不平行是个什么结果呢？
教材就是教科书，一般而言，教师读学教材必须要同步甚至超前一点，好好研读与教材有关的《课程标准》的教学要求，要尽可能去读一些教材编写者的关于教材编写的意图、体例、内容的文章.课本是教师教学的依据，教师教学离不开教材，教师要达到科学地、创造性地运用教材，就得要深入地研究教材，甄别教材.