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江苏扬州市江都区郭村镇二姜中学郭寅春 一、有理数的由来
在小学里，同学们学习了自然数、0和分数，现在，又学习了负数，这些数统称为有理数。但是，大家知
道有理数是怎么产生的吗？
很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果
和水里的鱼，终年靠狩猎为生。那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题。开始，人
们只是以“多”和“少”来区分。渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数，因为那时每天狩猎的结果也
只是“屈指可数”的水平。再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过10个以后，“屈指”
已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数。周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“
上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代。又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而
且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东
西的数目，于是出现了最早的数字。
数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便。但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个
问题，在中国人首先创造了十进位制记数法以后，才最终得到圆满的解决。
打猎时，有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获两头羊。如何分配这些食物呢？起初，
人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、
“五分之二”……这也是中国人首创的。《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100
～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年。我们现在所说的分数除法把除数“
颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话。
人类对零的认识比较晚。打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有。
后来，又用符号“”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了。
在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”。但学习了“有理教”的知识以后，我们就能解
决这个问题了。有理数包括正数、负数和0。正负效的概念也是从生产实际的需要中产生的。人们把私有
财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为
负……人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念。正数和负数既相互对立，又相互依存
。我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则，这在当时也是一件具有世
界意义的重大创造。
二、中学有理数的加减是小学加减计算的提升
进入中学以后，随着正、负数的引入，有理数加减运算的学习以及代数和形式的出现（即去掉括号的和）
，使学生头脑中原有的知识结构发生了根本的改变。我们可以清楚地发现在这部分教学内容中，成功地解
决了小学数学无法解决的三个问题：
1．解决了小数不能减大数的问题。第一次实现了减法运算的畅通无阻，即不仅大数可以减小数，小数也
可以减大数。也就是说，减法运算在有理数范围内总是能够进行的。
2．实现了运算符号与性质符号的完全统一。即“＋”号、“－”号，既表示是加法和减法的运算符号，
又表示该有理数是正数或负数的性质符号。
这种统一，实质上是加、减法互相转化的结果，用式子表示是：ａ－ｂ=ａ＋（－ｂ）=－ｂ＋ａ。原来算
式中的“减号”变成了性质符号“负号”，原来的性质符号“正号”，则变成了运算符号“加号”。这种
统一，使得减法可以用加法计算，加法也可以用减法计算，给计算带来了较大的方便。
3．完成了“同级”运算向“同种”运算的转化。即把同属于第一级运算的加、减法，通过代数和的形式
转化成属于同一种运算的加法。这样，打破了小学数学中那种“从左向右，依次计算”的规定，取而代之
的是利用加法的运算规律，怎样简便就怎样计算，使运算有了更多的“自由度”，更有利于简算。
（1）有理数加、减运算是小学加、减运算的延伸和发展。小学加、减法的意义、计算方法及定律，在有
理数范围内仍完全适用，有理数加减法是小学有关运算的更高一级的发展。
（2）在加、减混合计算中，通过求几个有理数的和，将加减混合运算转化成纯加法运算，不再考虑算术
计算规定的运算顺序，可按照最合理、简便的方法灵活计算。
在初中数学教学中通过归纳、整理，在适当时机给学生介绍知识间的联系、发展和变化过程，介绍数学知
识的和谐、简捷美，既有利于知识的迁移，又促进了中、小学知识的接轨，深化了学生对所学知识的理解
，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
综合来看，有理数真可谓是“来得自然，用的实际；去得其所，延得深远”。
在小学里，同学们学习了自然数、0和分数，现在，又学习了负数，这些数统称为有理数。但是，大家知
道有理数是怎么产生的吗？
很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果
和水里的鱼，终年靠狩猎为生。那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题。开始，人
们只是以“多”和“少”来区分。渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数，因为那时每天狩猎的结果也
只是“屈指可数”的水平。再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过10个以后，“屈指”
已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数。周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“
上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代。又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳’不但麻烦，而
且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东
西的数目，于是出现了最早的数字。
数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便。但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个
问题，在中国人首先创造了十进位制记数法以后，才最终得到圆满的解决。
打猎时，有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获两头羊。如何分配这些食物呢？起初，
人们只知道“二分一”、”五分二’；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、
“五分之二”……这也是中国人首创的。《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元前100
～50年）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年。我们现在所说的分数除法把除数“
颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话。
人类对零的认识比较晚。打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有。
后来，又用符号“”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现的“0”了。
在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”。但学习了“有理教”的知识以后，我们就能解
决这个问题了。有理数包括正数、负数和0。正负效的概念也是从生产实际的需要中产生的。人们把私有
财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为
负……人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念。正数和负数既相互对立，又相互依存
。我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则，这在当时也是一件具有世
界意义的重大创造。
二、中学有理数的加减是小学加减计算的提升
进入中学以后，随着正、负数的引入，有理数加减运算的学习以及代数和形式的出现（即去掉括号的和）
，使学生头脑中原有的知识结构发生了根本的改变。我们可以清楚地发现在这部分教学内容中，成功地解
决了小学数学无法解决的三个问题：
1．解决了小数不能减大数的问题。第一次实现了减法运算的畅通无阻，即不仅大数可以减小数，小数也
可以减大数。也就是说，减法运算在有理数范围内总是能够进行的。
2．实现了运算符号与性质符号的完全统一。即“＋”号、“－”号，既表示是加法和减法的运算符号，
又表示该有理数是正数或负数的性质符号。
这种统一，实质上是加、减法互相转化的结果，用式子表示是：ａ－ｂ=ａ＋（－ｂ）=－ｂ＋ａ。原来算
式中的“减号”变成了性质符号“负号”，原来的性质符号“正号”，则变成了运算符号“加号”。这种
统一，使得减法可以用加法计算，加法也可以用减法计算，给计算带来了较大的方便。
3．完成了“同级”运算向“同种”运算的转化。即把同属于第一级运算的加、减法，通过代数和的形式
转化成属于同一种运算的加法。这样，打破了小学数学中那种“从左向右，依次计算”的规定，取而代之
的是利用加法的运算规律，怎样简便就怎样计算，使运算有了更多的“自由度”，更有利于简算。
（1）有理数加、减运算是小学加、减运算的延伸和发展。小学加、减法的意义、计算方法及定律，在有
理数范围内仍完全适用，有理数加减法是小学有关运算的更高一级的发展。
（2）在加、减混合计算中，通过求几个有理数的和，将加减混合运算转化成纯加法运算，不再考虑算术
计算规定的运算顺序，可按照最合理、简便的方法灵活计算。
在初中数学教学中通过归纳、整理，在适当时机给学生介绍知识间的联系、发展和变化过程，介绍数学知
识的和谐、简捷美，既有利于知识的迁移，又促进了中、小学知识的接轨，深化了学生对所学知识的理解
，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
综合来看，有理数真可谓是“来得自然，用的实际；去得其所，延得深远”。