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摘 要：文章针对现代教育的特性，利用高等数学课程在大学教育中的重要地位，案例教学法的特点，列举四个典型案例来说明案例式教学法在《高等数学》教学中的重要作用。
关键词：案例式教学 高等数学 数学文化
中图分类号：F224 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2014）05-242-02
高等数学是应用型本科院校各专业必修的一门主干基础理论课。作为各专业的工具学科，肩负着培养学生的数学素养与创造能力、为学生后续发展打好基础的使命。高等数学以理论的抽象性、推理的严谨性著称，学生感到高等数学非常难学，同时传统的教学方法很难适应应用型人才的培养要求。所以，如何实施高等数学教学内容、教学方法的改革，以体现“贴近实际、面向专业、为专业服务”的思想，突出实用性、专业性，切实提高课堂教学质量，是我们每一位任课教师都必须认真思考的问题。
案例教学法，是教师根据教学目的和教学内容的需要，运用典型案例，创设情景，让学生进入角色，积极思考主动探索，以提高学生运用所学知识分析和解决问题能力的一种教学方法。针对于高等数学课程，可以通过对特定背景的教学案例进行分析，提炼出相应的数学问题，导入所要介绍的高等数学的基本概念及理论，再运用所介绍的基本概念及理论，分析解决问题，让学生充分领会高等数学在实际问题中的具体应用，是培养学生独立思考能力和解决实际问题能力。下面以四个典型案例为例，讨论了在高等数学教学中，能够从不同角度，不同方面引入案例，丰富教学，活跃课堂，提高兴趣。
案例一：数学文化融入教学
数学文化的魅力渗入教材、到达课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。真正使学生做到，在数学活动中感受数学的魅力、在数学应用中体会数学的价值、在数学交流中理解数学的形式、在数学史实中领悟数学的哲理。例如，我们在讲授极限的定义时引入案例：极限思想的萌芽以希腊的芝诺，中国古代的惠施名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭”、刘徽、祖冲之的“割圆术”为代表而使得人们开始意识到极限的存在，并运用极限思想解决一些实际问题，但还不能够对极限思想进行抽象的定义。直到16、17世纪，微积分的突飞猛进的发展，而使得极限的概念发展到了“如果n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限；x→∞，■会越来越小，越来越接近0，所以极限为0；x→0时，x+1会越来越接近于1，所以极限为1等”，开始了运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言做出的定性描述极限的概念。18世纪后人们认识到极限必须作为微积分的基础而需要严格意义上的定义，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义：所谓■an=A就是指“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当时n>N，不等式an-A<ε恒成立。”在这一定义中，“无限”、“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字极其大小关系，排除了极限概念中的直观痕迹，而被认为是严格的。数学极限的“ε-N”定义没有建立在运动和直观的基础上，而具有一定的抽象性，越抽象越远离原型，越精确地反映原型的本质。在极限思想的发展历程中，变量与常量，有限与无限，近似与精确的对立统一关系体现的淋漓尽致，亦体现了数学的美妙之处——“数学是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的”——华罗庚。
案例二：时代背景融入教学
例如，我们在讲授一阶线性差分方程时可以引入案例：国民经济持续稳定增长，社会保障不断加强，惠民政策稳步落实，使得中国人开始享受高质量的生活——买房、买车、买iphone。但并不是所有人都能买得起，然而他们也要享受生活，怎么办呢？现代人的生活理念造就了现代人的生活方式——花明天的钱，享受今天的生活——贷款买房、贷款买车、贷款买ipad等等，但我们不可以无限透支我们的未来，透支我们的人生，这就需要我们合理安排，理性的消费才会有幸福的明天。现在我们就设贷款本金为y0元，贷款年限为N年，年利率为r，那么我们每个月要偿还多少钱呢？设当月还款额为B，而第x个月尚欠银行款为yx元时，我们就可以得到yx=yx-1（1+r/12）-B——一阶线性差分方程，且y12N=0，我们把y0代入求出y1，再把y1代入求出y2，利用迭代得到yx=（1+r/12）x（y0-x）-x，其中表达式x=B/[1-（1+r/12）]，这样就得到了每个月贷款所要还款的数额。只有合理的理财，你才会学会节约、享受快乐。
案例三：感恩素质教育融入教学
感恩，是我们这一生的必修课，是我们人格的必备品。感恩帮助过我们的人，让我们懂得了知恩图报；感恩爱过我们的人，让我们感受到被爱的温暖；感恩父母，让我们体验到了生之喜悦。例如，我们在讲授二重积分的定义时可以引入案例：同学们已经离开妈妈的怀抱快一年了，有没有经常给父母打个电话，报一声平安，送一声祝福。是否妈妈的味道还时时萦绕在你的鼻头舌尖，这里有一块妈妈亲手烹制的薄饼，谁能计算一下它的质量呢，它承载了妈妈的多少爱呢？如果薄饼的面密度是均匀的我们可以很容易得到薄饼的质量，但这张薄饼的面密度是否均匀呢，它又为什么会不均匀呢，要如何计算它的质量呢？因为我们的妈妈给予我们生命，给予我们养育，给予我们力量，为我们遮风挡雨、为我们抹去内心乌云，劳心劳力，苍老了脸庞，苍老了身躯，更加苍老了自己的双手，使得手劲不太均匀而使得饼的薄厚不同。这时我们设薄饼占有xoy面上的闭区域D，薄饼在点（x，y）处的面密度为μ（x，y），这里μ（x，y）>0，且在D上连续，我们把薄饼D分成n个小块：△σ1，△σ2，…△σn用λi记△σi的直径，△σi既代表第i个小块又代表它的面积。当λ■λi很小时，由于μ（x，y）连续，每小块的质量可近似地看作是均匀的，那么第i个小块的近似质量可取为μ（ξi，ηi）△σi，？坌（ξi，ηi）？缀△σi，于是M=■■μ（ξi，ηi）△σi。我们得到了薄饼的质量，也得到了妈妈的爱，我们应该怀着一颗感恩的心，去看待我们的父母以及我们周围所有的人。 案例四：专业知识融入教学
例如：我们在讲授定积分的定义时引入案例：在矿井生产过程中，必须源源不断地将地面空气输送到井下各个作业地点，以供给人员呼吸，并稀释和排除井下各种有毒、有害气体和矿尘，创造良好的矿内工作环境，保障井下作业人员的身体健康和劳动安全。这就要利用机械或自然通风为动力，使地面空气进入井下，并在井巷中做定向和定量的流动，最后将污浊的空气排除矿井。自然通风就会产生自然风压，它既是矿井通风的动力，也可能是事故的肇因，因此必须研究自然风压，充分利用达到节能减排的作用。上图为一个简化的矿井通风系统，2-3为水平巷道，0-5为通过系统最高点的水平线。如果把地表大气视为断面无限大、风阻为零的假想风路，则通风系统可视为一个闭合的回路。在冬季，由于空气柱0-1-2比5-4-3的平均温度较低（0-1，0-5为外界温度，空气温度一致，但在内部的空气的温度会随着进入地面的深度而不断升高，因为进入地面后岩壁会对其传导热量——离地心越近温度越高）则0-1-2的平均空气密度较大（质量一定，温度越低，体积越小，密度越大），导致两空气柱作用在2-3水平面上的重力不等。其重力之差就是该系统的自然风压。它使空气源源不断地从井口1流入，从井口5流出。在夏季时，若空气柱5-4-3比0-1-2温度低，平均密度大，则系统产生的自然风压方向与冬季相反。地面空气从井口5流入，从井口1流出。这种由自然因素作用而形成的通风叫自然通风。因此，在一个有高差的闭合回路中，只要两侧有高差，巷道中空气的温度或密度不等，则该回路就会产生自然风压。根据自然风压的定义，得HN=m0-1-2g-m5-4-3g，但我们知道空气的温度和压力改变时，其体积会发生改变，所以空气的密度是随温度、压力而变化的，从而空气的密度是空间点坐标和时间的函数，现在设时间为定值，巷道的截面恒定，则空气密度就是关于巷道高度的函数，要计算其质量，我们怎么来计算呢？在各矿井深度0-1-2、3-4-5中任意插入若干个分点x0 通过上述四个案例可以看出，我们完全可以把不同类型的案例渗透到高等数学课程的教学内容中去，由“填鸭式”教育到“启发式”教育，由抽象教育到具体教育，由枯燥的理论知识教学转变为结合实际案例教学，进一步丰富了教学内容，优化了教学过程，引起了学习兴趣，达到了教育的目标。在新形势下，我们不仅要传授知识给学生，而且要着眼于学生的将来，着眼于学生适应社会的能力，着眼于学生将要面临的各种挑战，尽可能培养出一批同时具有良好的理性思维和感性思维的综合型人才。
[本文为黑龙江省高等教育教学改革项目（JGZ201201244）；黑龙江省高等教育学会“十二五”期间教育科学研究规划课题（HGJXH B2110886）]
参考文献：
[1] 张齐华.数学文化≠数学+文化——关于“数学文化”的三次探索、实践与思考.江西教育，2008（Z2）
[2] 同济大学数学系.高等数学[M].同济大学出版社，2010
[3] 张国枢.通风安全学[M].中国矿业大学出版社，2004
（作者单位：黑龙江科技大学理学院高等数学教研室 黑龙江哈尔滨 150027）
（责编：贾伟）
关键词：案例式教学 高等数学 数学文化
中图分类号：F224 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2014）05-242-02
高等数学是应用型本科院校各专业必修的一门主干基础理论课。作为各专业的工具学科，肩负着培养学生的数学素养与创造能力、为学生后续发展打好基础的使命。高等数学以理论的抽象性、推理的严谨性著称，学生感到高等数学非常难学，同时传统的教学方法很难适应应用型人才的培养要求。所以，如何实施高等数学教学内容、教学方法的改革，以体现“贴近实际、面向专业、为专业服务”的思想，突出实用性、专业性，切实提高课堂教学质量，是我们每一位任课教师都必须认真思考的问题。
案例教学法，是教师根据教学目的和教学内容的需要，运用典型案例，创设情景，让学生进入角色，积极思考主动探索，以提高学生运用所学知识分析和解决问题能力的一种教学方法。针对于高等数学课程，可以通过对特定背景的教学案例进行分析，提炼出相应的数学问题，导入所要介绍的高等数学的基本概念及理论，再运用所介绍的基本概念及理论，分析解决问题，让学生充分领会高等数学在实际问题中的具体应用，是培养学生独立思考能力和解决实际问题能力。下面以四个典型案例为例，讨论了在高等数学教学中，能够从不同角度，不同方面引入案例，丰富教学，活跃课堂，提高兴趣。
案例一：数学文化融入教学
数学文化的魅力渗入教材、到达课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。真正使学生做到，在数学活动中感受数学的魅力、在数学应用中体会数学的价值、在数学交流中理解数学的形式、在数学史实中领悟数学的哲理。例如，我们在讲授极限的定义时引入案例：极限思想的萌芽以希腊的芝诺，中国古代的惠施名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭”、刘徽、祖冲之的“割圆术”为代表而使得人们开始意识到极限的存在，并运用极限思想解决一些实际问题，但还不能够对极限思想进行抽象的定义。直到16、17世纪，微积分的突飞猛进的发展，而使得极限的概念发展到了“如果n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限；x→∞，■会越来越小，越来越接近0，所以极限为0；x→0时，x+1会越来越接近于1，所以极限为1等”，开始了运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言做出的定性描述极限的概念。18世纪后人们认识到极限必须作为微积分的基础而需要严格意义上的定义，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义：所谓■an=A就是指“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当时n>N，不等式an-A<ε恒成立。”在这一定义中，“无限”、“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字极其大小关系，排除了极限概念中的直观痕迹，而被认为是严格的。数学极限的“ε-N”定义没有建立在运动和直观的基础上，而具有一定的抽象性，越抽象越远离原型，越精确地反映原型的本质。在极限思想的发展历程中，变量与常量，有限与无限，近似与精确的对立统一关系体现的淋漓尽致，亦体现了数学的美妙之处——“数学是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的”——华罗庚。
案例二：时代背景融入教学
例如，我们在讲授一阶线性差分方程时可以引入案例：国民经济持续稳定增长，社会保障不断加强，惠民政策稳步落实，使得中国人开始享受高质量的生活——买房、买车、买iphone。但并不是所有人都能买得起，然而他们也要享受生活，怎么办呢？现代人的生活理念造就了现代人的生活方式——花明天的钱，享受今天的生活——贷款买房、贷款买车、贷款买ipad等等，但我们不可以无限透支我们的未来，透支我们的人生，这就需要我们合理安排，理性的消费才会有幸福的明天。现在我们就设贷款本金为y0元，贷款年限为N年，年利率为r，那么我们每个月要偿还多少钱呢？设当月还款额为B，而第x个月尚欠银行款为yx元时，我们就可以得到yx=yx-1（1+r/12）-B——一阶线性差分方程，且y12N=0，我们把y0代入求出y1，再把y1代入求出y2，利用迭代得到yx=（1+r/12）x（y0-x）-x，其中表达式x=B/[1-（1+r/12）]，这样就得到了每个月贷款所要还款的数额。只有合理的理财，你才会学会节约、享受快乐。
案例三：感恩素质教育融入教学
感恩，是我们这一生的必修课，是我们人格的必备品。感恩帮助过我们的人，让我们懂得了知恩图报；感恩爱过我们的人，让我们感受到被爱的温暖；感恩父母，让我们体验到了生之喜悦。例如，我们在讲授二重积分的定义时可以引入案例：同学们已经离开妈妈的怀抱快一年了，有没有经常给父母打个电话，报一声平安，送一声祝福。是否妈妈的味道还时时萦绕在你的鼻头舌尖，这里有一块妈妈亲手烹制的薄饼，谁能计算一下它的质量呢，它承载了妈妈的多少爱呢？如果薄饼的面密度是均匀的我们可以很容易得到薄饼的质量，但这张薄饼的面密度是否均匀呢，它又为什么会不均匀呢，要如何计算它的质量呢？因为我们的妈妈给予我们生命，给予我们养育，给予我们力量，为我们遮风挡雨、为我们抹去内心乌云，劳心劳力，苍老了脸庞，苍老了身躯，更加苍老了自己的双手，使得手劲不太均匀而使得饼的薄厚不同。这时我们设薄饼占有xoy面上的闭区域D，薄饼在点（x，y）处的面密度为μ（x，y），这里μ（x，y）>0，且在D上连续，我们把薄饼D分成n个小块：△σ1，△σ2，…△σn用λi记△σi的直径，△σi既代表第i个小块又代表它的面积。当λ■λi很小时，由于μ（x，y）连续，每小块的质量可近似地看作是均匀的，那么第i个小块的近似质量可取为μ（ξi，ηi）△σi，？坌（ξi，ηi）？缀△σi，于是M=■■μ（ξi，ηi）△σi。我们得到了薄饼的质量，也得到了妈妈的爱，我们应该怀着一颗感恩的心，去看待我们的父母以及我们周围所有的人。 案例四：专业知识融入教学
例如：我们在讲授定积分的定义时引入案例：在矿井生产过程中，必须源源不断地将地面空气输送到井下各个作业地点，以供给人员呼吸，并稀释和排除井下各种有毒、有害气体和矿尘，创造良好的矿内工作环境，保障井下作业人员的身体健康和劳动安全。这就要利用机械或自然通风为动力，使地面空气进入井下，并在井巷中做定向和定量的流动，最后将污浊的空气排除矿井。自然通风就会产生自然风压，它既是矿井通风的动力，也可能是事故的肇因，因此必须研究自然风压，充分利用达到节能减排的作用。上图为一个简化的矿井通风系统，2-3为水平巷道，0-5为通过系统最高点的水平线。如果把地表大气视为断面无限大、风阻为零的假想风路，则通风系统可视为一个闭合的回路。在冬季，由于空气柱0-1-2比5-4-3的平均温度较低（0-1，0-5为外界温度，空气温度一致，但在内部的空气的温度会随着进入地面的深度而不断升高，因为进入地面后岩壁会对其传导热量——离地心越近温度越高）则0-1-2的平均空气密度较大（质量一定，温度越低，体积越小，密度越大），导致两空气柱作用在2-3水平面上的重力不等。其重力之差就是该系统的自然风压。它使空气源源不断地从井口1流入，从井口5流出。在夏季时，若空气柱5-4-3比0-1-2温度低，平均密度大，则系统产生的自然风压方向与冬季相反。地面空气从井口5流入，从井口1流出。这种由自然因素作用而形成的通风叫自然通风。因此，在一个有高差的闭合回路中，只要两侧有高差，巷道中空气的温度或密度不等，则该回路就会产生自然风压。根据自然风压的定义，得HN=m0-1-2g-m5-4-3g，但我们知道空气的温度和压力改变时，其体积会发生改变，所以空气的密度是随温度、压力而变化的，从而空气的密度是空间点坐标和时间的函数，现在设时间为定值，巷道的截面恒定，则空气密度就是关于巷道高度的函数，要计算其质量，我们怎么来计算呢？在各矿井深度0-1-2、3-4-5中任意插入若干个分点x0
[本文为黑龙江省高等教育教学改革项目（JGZ201201244）；黑龙江省高等教育学会“十二五”期间教育科学研究规划课题（HGJXH B2110886）]
参考文献：
[1] 张齐华.数学文化≠数学+文化——关于“数学文化”的三次探索、实践与思考.江西教育，2008（Z2）
[2] 同济大学数学系.高等数学[M].同济大学出版社，2010
[3] 张国枢.通风安全学[M].中国矿业大学出版社，2004
（作者单位：黑龙江科技大学理学院高等数学教研室 黑龙江哈尔滨 150027）
（责编：贾伟）