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一、 用力系平衡的概念解题
力系平衡时，在各个方向上各分力的代数和为零.依此原理可解某些数学问题.
例1 求cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°的值.
解:上式恰好是五个作用点在原点，大小为1且与x轴正向分别成5°、77°、149°、221°、293°的力在水平方向上的分力的代数和，因为这五个单位力均匀地分布在圆周之内，所以力系平衡，在水平方向上的分力的代数和为零，故原式为零.
同理，当发现三角函数运算时，角度非特殊角，但角度间有着某些联系，如例题中的角度之间相差72°，又正好是5（将圆周5等分）个同三角函数的和；这题sin12°＋sin132°＋sin252°中3个同函数角度间相差120°，又如sin73°+cos107°＋cos197°＋cos287°，都可以运用这一原理来解.
二、 巧用杠杆原理解三角形
例2 如图，在任意△ABC中，AD、BE、CF分别为三个角的角平分线，且它们相交于点I，AD交△ABC于点D，BE交△ABC于点E，CF交△ABC于点F.已知AI∶DI＝3∶2，BI∶EI＝4∶1，求BD∶CD的值.
解:如果我们用几何知识解这题，还是非常的烦.但如果我们设AD、FC、BC、AC为杠杆，I为AD、FC支点，D为BC支点，E为AC支点的话，这道题就简单了.
因为在杠杆AD上，如果AI∶DI＝3∶2，那么可设在点A上挂2aN的重物，则点D上挂的重物应是3aN，支点I上挂的应是5aN，且BI∶EI＝4∶1，同理在杠杆BE点B上挂1aN重物，点E上挂4aN；在杠杆AC上，E是AC的支点，那么点C应挂2aN，再以BC为杠杆，根据点B挂1aN的重物可知，BD∶CD＝2∶1了.
用此原理，就可以求解某一点将线段一分为二的同直线上的比例线段问题.如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则 AF∶FC是多少？等等.
三、 巧设参照物
例3 某人划船逆流而上，途经一座桥时，掉下一物品.但此人尚未发现，继续逆流而上，而物品则随水漂流.5分钟后此人发现物品丢失，立即调转船头，顺流而下，去寻回该物，问此人几分钟后能寻回？
解:我们在做这题时，如果按照题目要设很多的未知数，如水流的速度V水，船的速度V船之类的，还要说明船逆流航行，顺流航行等一些逻辑关系.最后根据逻辑关系式可以列出等式：
从调头开始，顺流航行的路程＝逆流航行的路程＋物品随水漂流的路程
(V船＋V水) t＝(V船－V水)×5＋V水(t＋5)（其中t为调头后的寻回时间，单位：分钟）
如果在这一题中，我们将水流设为参照物，那么水就相当于静止不动.此人船的速度就相当于不受水流的影响.那么此人无论是顺流还是逆流，他总是以相同的速度.而物品是顺水而漂走的，所以它的速度相当于水流的速度，又因为水是静止的，所以该物品可视作静止.从以上看来，此人在桥下掉下物品，而又往上走了5分钟，那么他要回到桥上，也就需要5分钟的时间.同理，物品视作静止，所以物品是停留在桥下.也就是说，该人要寻回物品，只需要5分钟的时间.
我们在求解大多数的行程问题时，都是以地面作为参照物，如果能改变一下参照物的设立，可能解题就会相对轻松一些.如汽车在轿车的前面180m处以8m/s的速度匀速行驶，小轿车的速度为20m/s，为了避免相撞，则轿车应以多少的加速度减速行驶？
取前面的汽车作为参照物，则后面的轿车作匀减速直线运动，初速度为12m/s，由位移关系得：122=2×a×180，得a=0.4m/s2.
四、 利用力的平行四边形法则
例4 如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以每小时152千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.
（1） 甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
解:本题带有一些特殊角，利用几何知识解这题并不困难.现我们利用力的分解，将两船的速度进行分解，分别投影到轴上，可以看作是在x轴和y轴上的追击问题，联列出两个方程合成方程组.
根据逻辑关系：设甲船追赶速度为V甲千米/时，t小时追上；
x轴上的：甲在x轴上的追赶路程＝甲从A到C在x轴上的路程＋乙在x轴上的路程；
y轴上的：甲在y轴上的追赶路程＝甲从A到C在y轴上的路程－乙在y轴上的路程；
可以列出方程：
V甲cos15°t＝152×cos30°×2＋15×cos45°×(t＋2)
V甲sin15°t＝152×sin30°×2－15×sin45°×(t＋2)
从而可以求出t＝2，V甲＝15＋153
相类似的，在非同直线上的行程问题，可以利用这一原理来求解.例如，一轮船以10海里/时的速度由西向东行，台风中心以40海里/时的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心20海里的区域（包括边界）属台风区，当轮船到A时，测得台风中心移到位于点O处，且OA＝80海里.
（1） 若该船自A处按原航线继续航行，船速至少要提高到多少才能避开台风的影响？
（2） 若该船自A处发现，船体有裂缝，无法有效地提高船速，只能提高10%，能在台风影响前到达在A处正北方向23海里的C港吗？
新课程下的数学学科着重于培养学生的综合解题能力，实践应用能力.作为教学者应当鼓励学生学会换位思考，多角度的思考问题.
力系平衡时，在各个方向上各分力的代数和为零.依此原理可解某些数学问题.
例1 求cos5°＋cos77°＋cos149°＋cos221°＋cos293°的值.
解:上式恰好是五个作用点在原点，大小为1且与x轴正向分别成5°、77°、149°、221°、293°的力在水平方向上的分力的代数和，因为这五个单位力均匀地分布在圆周之内，所以力系平衡，在水平方向上的分力的代数和为零，故原式为零.
同理，当发现三角函数运算时，角度非特殊角，但角度间有着某些联系，如例题中的角度之间相差72°，又正好是5（将圆周5等分）个同三角函数的和；这题sin12°＋sin132°＋sin252°中3个同函数角度间相差120°，又如sin73°+cos107°＋cos197°＋cos287°，都可以运用这一原理来解.
二、 巧用杠杆原理解三角形
例2 如图，在任意△ABC中，AD、BE、CF分别为三个角的角平分线，且它们相交于点I，AD交△ABC于点D，BE交△ABC于点E，CF交△ABC于点F.已知AI∶DI＝3∶2，BI∶EI＝4∶1，求BD∶CD的值.
解:如果我们用几何知识解这题，还是非常的烦.但如果我们设AD、FC、BC、AC为杠杆，I为AD、FC支点，D为BC支点，E为AC支点的话，这道题就简单了.
因为在杠杆AD上，如果AI∶DI＝3∶2，那么可设在点A上挂2aN的重物，则点D上挂的重物应是3aN，支点I上挂的应是5aN，且BI∶EI＝4∶1，同理在杠杆BE点B上挂1aN重物，点E上挂4aN；在杠杆AC上，E是AC的支点，那么点C应挂2aN，再以BC为杠杆，根据点B挂1aN的重物可知，BD∶CD＝2∶1了.
用此原理，就可以求解某一点将线段一分为二的同直线上的比例线段问题.如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则 AF∶FC是多少？等等.
三、 巧设参照物
例3 某人划船逆流而上，途经一座桥时，掉下一物品.但此人尚未发现，继续逆流而上，而物品则随水漂流.5分钟后此人发现物品丢失，立即调转船头，顺流而下，去寻回该物，问此人几分钟后能寻回？
解:我们在做这题时，如果按照题目要设很多的未知数，如水流的速度V水，船的速度V船之类的，还要说明船逆流航行，顺流航行等一些逻辑关系.最后根据逻辑关系式可以列出等式：
从调头开始，顺流航行的路程＝逆流航行的路程＋物品随水漂流的路程
(V船＋V水) t＝(V船－V水)×5＋V水(t＋5)（其中t为调头后的寻回时间，单位：分钟）
如果在这一题中，我们将水流设为参照物，那么水就相当于静止不动.此人船的速度就相当于不受水流的影响.那么此人无论是顺流还是逆流，他总是以相同的速度.而物品是顺水而漂走的，所以它的速度相当于水流的速度，又因为水是静止的，所以该物品可视作静止.从以上看来，此人在桥下掉下物品，而又往上走了5分钟，那么他要回到桥上，也就需要5分钟的时间.同理，物品视作静止，所以物品是停留在桥下.也就是说，该人要寻回物品，只需要5分钟的时间.
我们在求解大多数的行程问题时，都是以地面作为参照物，如果能改变一下参照物的设立，可能解题就会相对轻松一些.如汽车在轿车的前面180m处以8m/s的速度匀速行驶，小轿车的速度为20m/s，为了避免相撞，则轿车应以多少的加速度减速行驶？
取前面的汽车作为参照物，则后面的轿车作匀减速直线运动，初速度为12m/s，由位移关系得：122=2×a×180，得a=0.4m/s2.
四、 利用力的平行四边形法则
例4 如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以每小时152千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.
（1） 甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？
（2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
解:本题带有一些特殊角，利用几何知识解这题并不困难.现我们利用力的分解，将两船的速度进行分解，分别投影到轴上，可以看作是在x轴和y轴上的追击问题，联列出两个方程合成方程组.
根据逻辑关系：设甲船追赶速度为V甲千米/时，t小时追上；
x轴上的：甲在x轴上的追赶路程＝甲从A到C在x轴上的路程＋乙在x轴上的路程；
y轴上的：甲在y轴上的追赶路程＝甲从A到C在y轴上的路程－乙在y轴上的路程；
可以列出方程：
V甲cos15°t＝152×cos30°×2＋15×cos45°×(t＋2)
V甲sin15°t＝152×sin30°×2－15×sin45°×(t＋2)
从而可以求出t＝2，V甲＝15＋153
相类似的，在非同直线上的行程问题，可以利用这一原理来求解.例如，一轮船以10海里/时的速度由西向东行，台风中心以40海里/时的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心20海里的区域（包括边界）属台风区，当轮船到A时，测得台风中心移到位于点O处，且OA＝80海里.
（1） 若该船自A处按原航线继续航行，船速至少要提高到多少才能避开台风的影响？
（2） 若该船自A处发现，船体有裂缝，无法有效地提高船速，只能提高10%，能在台风影响前到达在A处正北方向23海里的C港吗？
新课程下的数学学科着重于培养学生的综合解题能力，实践应用能力.作为教学者应当鼓励学生学会换位思考，多角度的思考问题.