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摘 要：不确定性是金融市场永恒的主题。本文在探究对银行信贷资产的保险定价和管理问题。文中引入了银行资产保险定价模型，以实现在不确定性条件下的对单一贷款的违约保险产品CDS（信用违约互换）进行的定价；随后在资产组合模型分析中引入频谱分析的方法，将资产组合看作是时间的一元函数，从而化为离散时间信号进行处理，得出利用频谱分析实现金融时间序列仿真模拟的可能性。
关键词： 资产定价；时间序列；频谱分析
一、银行信贷资产的利率不确定性模型
（一）模型准备
不確定性是金融市场永恒的主题。随着银行信贷规模的不断增加，对于银行信贷资产的风险管理便成为一个非常值得研究的问题。通过对银行信贷资产进行投保，可以实现银行资产与负债现金流方面的匹配，从而大大减少银行面临挤兑的风险。那么，这个问题最核心的便是保险产品的定价问题。这一问题的关键在于利率。一般来说，利率波动往往服从ARMA时间序列，这是货币政策和利率传导机制一同作用的结果，这种结果常常可以被银行合理地预测到，从而制定相应的应对策略。然而，损失的发生往往是在难以预测到的利率变化下，通过不断地积累从而被不断放大的。因此，我们研究的重点应该着重关注于那些未预测到的利率波动。根据相关的理论，未预测到的波动变化往往服从于布朗运动，鉴于利率的非负性特征，我们可以假设利率的波动服从对数正态随机游走[[]]，即, 其中为利率的漂移率，为标准差，X为布朗运动。
（二）模型建立
假设银行有一笔贷款A，其中银行为了规避贷款风险购买了CDS（信用违约互换），该CDS可以在贷款出现违约时使银行获得风险偿付，对于单笔贷款而言，CDS可有效地转移贷款的风险。假设贷款期限为20年，违约概率在[0,20]服从均匀分布[[]]。同时，假设在[0,15]内发生违约，[15,20]内不发生违约。设客户初始的贷款金额为P，在t时发生违约，违约赔付额按比例支付，即(15-t)P/15,这个赔付额就是在该笔银行贷款发生违约时保险公司给予银行的赔付额[[]]。
设t时刻的利率为随机变量，则所定义的对数正态随机游走为，其中X为布朗运动，μ为漂移量。
将r对数处理，取，应用伊藤引理得：，，两边对t积分，得：，取，可知应有：
由以上假定和推导可知比例赔付额为(15-t)P/15，则在发生赔付时，其现值为：，则现期购买CDS的价格为：。再根据无套利法则：，分别代入：和，其中：
（1）
根据布朗运动的性质：，可知：
（2）
同时，由：
（3）
代入，得到：
其中P为银行贷款总额，为利率对数正态分布下的漂移率，为利率正态分布的方差，此二值可由历史数据模拟加以估计，因此CDS价格可由此公式求出。
由以上求解过程和结果可以看出，银行可以通过购买CDS规避违约风险，该产品的市场价格可通过历史数据中利率波动的漂移率和方差计算求得，这对于在面临利率不确定性波动时的银行有着非常重要的意义。
二、银行信贷组合的风险管理
（一）银行信贷资产组合的概念
在前一个模型中介绍了有关银行信贷资产为了规避违约风险而需要购买的CDS的价格。然而，模型的前提假设是银行只具有单笔信贷资产，资产之间没有相关性，显然这一假设只能应用于单笔资产CDS的定价问题，而不能应用于整个银行系统。
对于银行而言，其贷款的期限，性质及贷款人多种多样，因此银行的贷款就相当于银行所持有的一组资产。因此，银行对信贷资产的风险管理就在于对资产组合的管理。资产组合可以有效地降低非系统性风险。
综上所述，资产组合管理应用在商业银行中最主要的就是表现为信贷组合的管理。银行通过吸储和房贷成为资产市场上最重要的投资者。投资者都满足理性人的假设，因此商业银行的目的也是在一定的风险水平下获得收益的最大化。同时，商业银行又与其他投资者有明显的不同，主要表现在资金来源、投资对象和投资期限范围上。
（二）信贷违约额度的频谱分析框架
事实上，所谓的时间序列从根本上说就是频谱分析。在信号理论领域，频谱分析分为连续频谱分析和离散频谱分析[[]]。信号就是携带信息的一元和多元函数，最简单的信号就是时间的一元函数，当这个函数为离散函数时，便称为时间序列。
在本文的第二部分，主要探究了为了为单笔信贷资产轧平风险头寸，所应购买的CDS的支付价格。然而，银行的信贷资产往往是由多种期限，不同用途的贷款组合而成，那么应该首先明确哪种贷款的违约概率更大，发生的损失额更多，进而再针对不同的贷款种类，为此贷款组合构造合理的CDS头寸。
设共有N中贷款构成贷款组合，其中各种贷款损失值组合集为，模型假设贷款的差别只在于期限不同，那么第i种贷款的损失函数便可以写为，其中为第i种贷款的贷款期限。如下图所示：
由于离散的点序列不便于进行频谱和能量分析，因此将其进行连续化处理，由离散信号变成连续信号可以通过以下方式来完成：
首先引入一个连续信号，其频谱为。通过与我们的原始离散信号进行相乘并累加，可以使离散信号成为连续信号，其图像就表现为的图像包络，即：
，
它的频谱可由傅里叶变换求出，即有：
其中，为两信号相差的时间差，为离散信号的频谱。
在将离散化的信号处理为连续信号之后，便可以对此信号进行傅里叶分析。傅里叶分析的精髓在于将不规则的一系列连续时间信号分解成为多个规则信号的叠加，该规则信号一般选用正弦波信号。当银行贷款组合损失额的信号被分解为多个规则正弦波信号叠加之后，便可以将具有不同频段分量的正弦波通过滤波器分离出来，分析其对应的贷款种类，从而对该种贷款进行合理的定价。
三、结论
本文所涉及的银行信贷资产利率不确定性模型突出了在利率不确定条件下对于购买CDS所应支付价格的均衡求解，主要创新点在于引入了卢卡斯的理性预期理论，对不可预期的利率波动进行定价，增强了模型的针对性。
在银行资产信贷组合管理模型中，针对不同种类贷款的违约损失额的不同，可以应用信号处理理论对它们进行分离，从而构建出更为合理的风险管理头寸。在这一方面，仍然需要更进一步的深入分析，主要体现在以下几个方面：
1.贷款期限的不同并不是贷款种类的唯一差别，贷款人的身份，背景和行为都在很大程度上影响着贷款的违约损失额。
2.频谱分析的关键环节是去噪处理，然而在模型中并没有涉及到有关噪音的问题。
3.数据缺乏可能导致最终的定价结果发生偏离。由于贷款损失额的数据很难找到，数据数量较少，因此对于结果的显著性可能并不能很好的保证。针对这一问题，许多学者，如郑纪安（2009），张洪哲（2010）利用小波分析和神经网络分析分别解决金融时间序列的高频性和数据匮乏问题，并得到了非常好的效果。
中国目前的金融创新步伐还有待提高，应该让金融工程师们放开胆子，大胆创新对于我们的国民经济发展有利的金融产品，而不要由于金融衍生品引起的金融危机而畏首畏尾，因噎废食。CDS引起了全世界的金融海啸，但是它也让数以万计的美国居民圆了住房梦。因此，我们应该加大在定量金融学方面的研究，合理应用精算方法进行产品设计，多开发出适于自己的金融创新产品。
参考文献：
Karlin S，Taylor H M． A first course in stochastic processes．
Gerber H． Actuarial Mathematics[M], Springer-Verlag, 1998：1-55．
Wilmott P．Introduces Quantitative Finance．China Machine Press:101．
白丽，李海刚．基于时间序列分析的寿险需求模型分析[J]．科学技术与工程第10卷第五期．
李希义，任若恩．国有商业银行效率变化及趋势分析[M]．中国软科学，2004．
张洪哲．小波变换在金融时间序列中的应用[J]．产力研究.2010,12
高春玲．时间序列分解模型在寿险保费收入预测中的作用[J]．金融与保险，2010,6．
刘晓曙．谱估计在金融时间序列模型验证中的应用[J]．清华大学学报，2008,48,9.．
郑纪安．基于小波分析和神经网络的金融时间序列分析研究[M]．厦门大学，2009,4．
刘冬．基于精算方法的数理金融模型[D]．大连理工大学硕士学位论文．
汤凌冰．基于支持向量机的金融时间序列回归分析[D]．上海交通大学博士学位论文，2010,1．
程乾生．数字信号处理简明教程[M]．高等教育出版社：P3．
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词： 资产定价；时间序列；频谱分析
一、银行信贷资产的利率不确定性模型
（一）模型准备
不確定性是金融市场永恒的主题。随着银行信贷规模的不断增加，对于银行信贷资产的风险管理便成为一个非常值得研究的问题。通过对银行信贷资产进行投保，可以实现银行资产与负债现金流方面的匹配，从而大大减少银行面临挤兑的风险。那么，这个问题最核心的便是保险产品的定价问题。这一问题的关键在于利率。一般来说，利率波动往往服从ARMA时间序列，这是货币政策和利率传导机制一同作用的结果，这种结果常常可以被银行合理地预测到，从而制定相应的应对策略。然而，损失的发生往往是在难以预测到的利率变化下，通过不断地积累从而被不断放大的。因此，我们研究的重点应该着重关注于那些未预测到的利率波动。根据相关的理论，未预测到的波动变化往往服从于布朗运动，鉴于利率的非负性特征，我们可以假设利率的波动服从对数正态随机游走[[]]，即, 其中为利率的漂移率，为标准差，X为布朗运动。
（二）模型建立
假设银行有一笔贷款A，其中银行为了规避贷款风险购买了CDS（信用违约互换），该CDS可以在贷款出现违约时使银行获得风险偿付，对于单笔贷款而言，CDS可有效地转移贷款的风险。假设贷款期限为20年，违约概率在[0,20]服从均匀分布[[]]。同时，假设在[0,15]内发生违约，[15,20]内不发生违约。设客户初始的贷款金额为P，在t时发生违约，违约赔付额按比例支付，即(15-t)P/15,这个赔付额就是在该笔银行贷款发生违约时保险公司给予银行的赔付额[[]]。
设t时刻的利率为随机变量，则所定义的对数正态随机游走为，其中X为布朗运动，μ为漂移量。
将r对数处理，取，应用伊藤引理得：，，两边对t积分，得：，取，可知应有：
由以上假定和推导可知比例赔付额为(15-t)P/15，则在发生赔付时，其现值为：，则现期购买CDS的价格为：。再根据无套利法则：，分别代入：和，其中：
（1）
根据布朗运动的性质：，可知：
（2）
同时，由：
（3）
代入，得到：
其中P为银行贷款总额，为利率对数正态分布下的漂移率，为利率正态分布的方差，此二值可由历史数据模拟加以估计，因此CDS价格可由此公式求出。
由以上求解过程和结果可以看出，银行可以通过购买CDS规避违约风险，该产品的市场价格可通过历史数据中利率波动的漂移率和方差计算求得，这对于在面临利率不确定性波动时的银行有着非常重要的意义。
二、银行信贷组合的风险管理
（一）银行信贷资产组合的概念
在前一个模型中介绍了有关银行信贷资产为了规避违约风险而需要购买的CDS的价格。然而，模型的前提假设是银行只具有单笔信贷资产，资产之间没有相关性，显然这一假设只能应用于单笔资产CDS的定价问题，而不能应用于整个银行系统。
对于银行而言，其贷款的期限，性质及贷款人多种多样，因此银行的贷款就相当于银行所持有的一组资产。因此，银行对信贷资产的风险管理就在于对资产组合的管理。资产组合可以有效地降低非系统性风险。
综上所述，资产组合管理应用在商业银行中最主要的就是表现为信贷组合的管理。银行通过吸储和房贷成为资产市场上最重要的投资者。投资者都满足理性人的假设，因此商业银行的目的也是在一定的风险水平下获得收益的最大化。同时，商业银行又与其他投资者有明显的不同，主要表现在资金来源、投资对象和投资期限范围上。
（二）信贷违约额度的频谱分析框架
事实上，所谓的时间序列从根本上说就是频谱分析。在信号理论领域，频谱分析分为连续频谱分析和离散频谱分析[[]]。信号就是携带信息的一元和多元函数，最简单的信号就是时间的一元函数，当这个函数为离散函数时，便称为时间序列。
在本文的第二部分，主要探究了为了为单笔信贷资产轧平风险头寸，所应购买的CDS的支付价格。然而，银行的信贷资产往往是由多种期限，不同用途的贷款组合而成，那么应该首先明确哪种贷款的违约概率更大，发生的损失额更多，进而再针对不同的贷款种类，为此贷款组合构造合理的CDS头寸。
设共有N中贷款构成贷款组合，其中各种贷款损失值组合集为，模型假设贷款的差别只在于期限不同，那么第i种贷款的损失函数便可以写为，其中为第i种贷款的贷款期限。如下图所示：
由于离散的点序列不便于进行频谱和能量分析，因此将其进行连续化处理，由离散信号变成连续信号可以通过以下方式来完成：
首先引入一个连续信号，其频谱为。通过与我们的原始离散信号进行相乘并累加，可以使离散信号成为连续信号，其图像就表现为的图像包络，即：
，
它的频谱可由傅里叶变换求出，即有：
其中，为两信号相差的时间差，为离散信号的频谱。
在将离散化的信号处理为连续信号之后，便可以对此信号进行傅里叶分析。傅里叶分析的精髓在于将不规则的一系列连续时间信号分解成为多个规则信号的叠加，该规则信号一般选用正弦波信号。当银行贷款组合损失额的信号被分解为多个规则正弦波信号叠加之后，便可以将具有不同频段分量的正弦波通过滤波器分离出来，分析其对应的贷款种类，从而对该种贷款进行合理的定价。
三、结论
本文所涉及的银行信贷资产利率不确定性模型突出了在利率不确定条件下对于购买CDS所应支付价格的均衡求解，主要创新点在于引入了卢卡斯的理性预期理论，对不可预期的利率波动进行定价，增强了模型的针对性。
在银行资产信贷组合管理模型中，针对不同种类贷款的违约损失额的不同，可以应用信号处理理论对它们进行分离，从而构建出更为合理的风险管理头寸。在这一方面，仍然需要更进一步的深入分析，主要体现在以下几个方面：
1.贷款期限的不同并不是贷款种类的唯一差别，贷款人的身份，背景和行为都在很大程度上影响着贷款的违约损失额。
2.频谱分析的关键环节是去噪处理，然而在模型中并没有涉及到有关噪音的问题。
3.数据缺乏可能导致最终的定价结果发生偏离。由于贷款损失额的数据很难找到，数据数量较少，因此对于结果的显著性可能并不能很好的保证。针对这一问题，许多学者，如郑纪安（2009），张洪哲（2010）利用小波分析和神经网络分析分别解决金融时间序列的高频性和数据匮乏问题，并得到了非常好的效果。
中国目前的金融创新步伐还有待提高，应该让金融工程师们放开胆子，大胆创新对于我们的国民经济发展有利的金融产品，而不要由于金融衍生品引起的金融危机而畏首畏尾，因噎废食。CDS引起了全世界的金融海啸，但是它也让数以万计的美国居民圆了住房梦。因此，我们应该加大在定量金融学方面的研究，合理应用精算方法进行产品设计，多开发出适于自己的金融创新产品。
参考文献：
Karlin S，Taylor H M． A first course in stochastic processes．
Gerber H． Actuarial Mathematics[M], Springer-Verlag, 1998：1-55．
Wilmott P．Introduces Quantitative Finance．China Machine Press:101．
白丽，李海刚．基于时间序列分析的寿险需求模型分析[J]．科学技术与工程第10卷第五期．
李希义，任若恩．国有商业银行效率变化及趋势分析[M]．中国软科学，2004．
张洪哲．小波变换在金融时间序列中的应用[J]．产力研究.2010,12
高春玲．时间序列分解模型在寿险保费收入预测中的作用[J]．金融与保险，2010,6．
刘晓曙．谱估计在金融时间序列模型验证中的应用[J]．清华大学学报，2008,48,9.．
郑纪安．基于小波分析和神经网络的金融时间序列分析研究[M]．厦门大学，2009,4．
刘冬．基于精算方法的数理金融模型[D]．大连理工大学硕士学位论文．
汤凌冰．基于支持向量机的金融时间序列回归分析[D]．上海交通大学博士学位论文，2010,1．
程乾生．数字信号处理简明教程[M]．高等教育出版社：P3．
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。